Системы дискретных случайных величин

Пара (X, Y) – где X и Y – случайные величины, называется системой двух случайных величин. Если X и Y – дискретные случайные величины, то законом распределения системы двух случайных величин (X, Y) является множество всех пар возможных значений величин X и Y и вероятностей их совместного появления. Такой закон удобно задавать в виде таблицы, которая носит название таблицы распределения двумерной случайной величины (X, Y).

События, состоящие в том, что случайная величина Х примет значение (i = 1, 2, …, n), а случайная величина Y примет значение (j = 1, 2, …, m), несовместны и единственно возможны, т.е. образуют полную группу попарно несовместных событий, поэтому сумма всех вероятностей таблицы равна единице: .

 

Y	X
x 1	x 2	…	xn
y 1	P (x 1, y 1)	P (x 2, y 2)	…	P (xn, y 1)
…	…	…	…	…
ym	P (x 1, ym)	P (x 2, ym)	…	P (xn, ym)

 

По закону распределения двумерной случайной величины (X, Y) можно найти законы распределения каждой случайной величины X и Y. Для того, чтобы найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение , надо просуммировать вероятности столбца : . Аналогично, для того, чтобы найти вероятность того, что случайная величина Y примет значение , надо просуммировать вероятности строки : .

Вероятность — это вероятность того, что случайная величина Х примет значение , а случайная величина Y примет значение . Эту вероятность по теореме умножения вероятностей можно записать в виде: . Из этого равенства можно получить формулы:

 

, .

 

Функцией распределения системы двух случайных величин (X, Y) называется вероятность совместного выполнения двух неравенств Х < х, Y < y:

 

.

 

Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины Y при называется число, обозначаемое и вычисляемое по формуле:

 

.

 

Функцию , как функцию аргумента x, называют функцией регрессии Y на X.

Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины Х при называется число, обозначаемое и вычисляемое по формуле:

 

.

 

Функцию , как функцию аргумента y, называют функцией регрессии X на Y.

Корреляционным моментом (или ковариацией) случайных величин X и Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от их математических ожиданий:

 

.

 

Корреляционный момент можно найти по формуле:

 

.

 

Для независимых случайных величин X и Y .

Для дискретных случайных величин X и Y корреляционный момент равен:

 

.

 

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называется безразмерная величина:

 

,

где , .

 

Свойства коэффициента корреляции

 

1. Коэффициент корреляции характеризует тесноту и направление корреляционной связи.

2. ;

3. Если Х и Y — независимые случайные величины, то коэффициент корреляции равен 0.

4. Если , то между величинами Х и Y имеет место функциональная зависимость, а именно, линейная. Отсюда следует, что коэффициент корреляции измеряет тесноту линейной связи между величинами Х и Y.

5. Если , то связь между величинами прямая (положительная корреляция), т.е. при увеличении значений одного признака значения другого признака увеличиваются. Если , то связь обратная (отрицательная корреляция), т.е. при увеличении значений одного признака значения другого признака уменьшаются.

6. Если , то корреляционная связь очень слабая;

если , то корреляционная связь слабая;

если , то корреляционная связь умеренная;

если , то корреляционная связь умеренная;

если , то корреляционная связь тесная или сильная.

Две случайные величины называются коррелированными, если их коэффициент корреляции отличен от нуля, и некоррелированными, если он равен нулю.

При рассмотрении двумерной случайной величины (X, Y), где X и Y – зависимые случайные величины, используются различные приближения одной случайной величины с помощью другой. Важнейшим из них является линейное приближение.

Представим случайную величину Y в виде линейной функции величины Х:

 

,

 

где α и β – параметры, подлежащие определению. Если числа a и b подобраны так, что величина будет наименьшей, то числовая функция называется линейной средней квадратической регрессией Y на X. Нахождение такой прямой называют наилучшим приближением Y по методу наименьших квадратов. Коэффициент a называется коэффициентом регрессии Y на X. Известно, что

 

_, .

 

Уравнение с учетом предыдущих формул можно записать в виде:

 

.

 

Аналогично, уравнение называется линейной средней квадратической регрессией X на Y записывается в виде:

 

,

 

где , .

Задача. Система дискретных случайных величин задана таблицей:

 

X
Y

 

Найти:

1) корреляционный момент;

2) коэффициент корреляции;

3) функцию линейной регрессии Y на X;

4) функцию линейной регрессии X на Y.

 

Решение. 1) Корреляционный момент находится по формуле .

; ;

 

;

.

2) По формуле .

;

; ;

;

;

;

.

Коэффициент корреляции близок к единице, между случайными величинами существует тесная корреляционная зависимость.

3) Найдем коэффициенты функции регрессии Y на X:

;

.

Функция регрессии Y на X имеет вид: .

4) Найдем коэффициенты функции регрессии X на Y:

;

.

Функция регрессии X на Y имеет вид: .

 

Задания для контрольной работы

Слушатель выполняет те задачи, номера которых находятся в следующей таблице, в соответствии с последней цифрой номера зачетной книжки.

 

Таблица заданий контрольной работы

Последняя цифра номера зачетной книжки	Номер задачи контрольной работы
	1.1	2.1	3.1	4.1	5.1	6.1	7.1	8.1
	1.2	2.2	3.2	4.2	5.2	6.2	7.2	8.2
	1.3	2.3	3.3	4.3	5.3	6.3	7.3	8.3
	1.4	2.4	3.4	4.4	5.4	6.4	7.4	8.4
	1.5	2.5	3.5	4.5	5.5	6.5	7.5	8.5
	1.6	2.6	3.6	4.6	5.6	6.6	7.6	8.6
	1.7	2.7	3.7	4.7	5.7	6.7	7.7	8.7
	1.8	2.8	3.8	4.8	5.8	6.8	7.8	8.8
	1.9	2.9	3.9	4.9	5.9	6.9	7.9	8.9
	1.10	2.10	3.10	4.10	5.10	6.10	7.10	8.10