ОУМ 3. Дифференциальные уравнения.

3.1. Формулировка теоремы существования решения задачи Коши. Функции, удовлетворяющие условию Липшица. Доказательство существования решения задачи Коши (метод последовательных приближений). Доказательство единственности решения.

3.2. Линейная зависимость (независимость) системы функции. Фундаментальная система функций. Условия линейной зависимости (независимости) фундаментальной системы. Структура общего решения уравнения. Нахождение частного решения неоднородного уравнения по структуре правой части.

3.3. Метод Эйлера нахождения общего решения однородного уравнения. Линейная зависимость (независимость) частных решений. Вариация произвольных постоянных. Получение системы уравнений для определения коэффициентов.

3.4. Понятие устойчивости по Ляпунову. Понятие асимптотической устойчивости. Критерий устойчивости по первому приближению. Теорема Ляпунова об устойчивости. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости.

Литература

1. Степанов А.В. – Курс дифференциальных уравнений. М., физмат т.3, 1959.

2. Понтрягин Л.С. – Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1982.

3. Матвеев Н.М. - Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Высшая школа, 1963.

4. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М., Наука, 1980.

 

ОУМ 4. Функциональный анализ.

4.1. Определение метрического пространства. Примеры.

4.2. Определение полного метрического пространства. Примеры.

4.3. Определение сжимающего отображения.

4.4. Теорема о принципе сжимающих отображений и ее доказательство.

4.5. Определение линейного нормированного пространства и пространства Банаха. Примеры.

4.6. Определение компактного множества в нормированных пространствах. Примеры.

4.7. Дать понятие равномерной ограниченности и равностепенной непрерывности функций множества.

4.8. Привести доказательство теоремы Арцела.

4.9.Определение резольвенты и привести ее свойства.

4.10. Теоремы Фредгольма и их доказательства.

Литература

1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. – Элементы теории функции и функционального анализа. М., 1981.

2. Васильева А.З., Тихонов Н.А. – Интегральные уравнения. МГУ., 1989.

3. Люстерник А.А., Соболев Б.Ч. – Краткий курс функционального анализа. М., Наука, 1982.

4. Рисс С.Ф. Б. Секефальви-Над. Лекции по функциональному анализу. М., Наука, 1972.

5. Сабитов К.Б. – Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения. М., Высшая школа, 2005.

 

ОУМ 5. Теория функции комплексного переменного.

5.1. Определение производной функции комплексного переменного в точке.

5.2. Доказать теорему о необходимых и достаточных условиях дифференцируемости в точке области, т.е. получить условия Коши-Римана.

5.3. Определение однозначной аналитической функции в области. Привести доказательство интегральной теоремы Коши. Пример.

5.4. Сформулировать теорему о разложимости аналитической функции в ряд Тейлора и привести ее доказательство.

5.5. Определение ряда Лорана. Радиус сходимости ряда Лорана. Теорема Лорана с доказательством. Пример.

5.6. Классификация особых точек аналитической функции.

5.7. Определение вычета функции комплексного переменного относительно особой изолированной точки.

5.8. Основная теорема о вычетах и ее доказательство. Показать на примере применение теоремы о вычетах для вычисления интегралов.

Литература

1. Бицадзе А.В. – Основы теории функций комплексного переменного. М., Наука, 1984

2. Привалов И.В. Введение в теорию функции комплексного переменного. М., Наука, 1984.

3. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. М., Наука, т.1,2, 1968.

4. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. М., Наука, 1989.

ОУМ 6. Компьютерные науки.

Основные устройства и структура современных ЭВМ. Магистрально-модульный принцип построения компьютера. Магистраль. Процессор, оперативная память. Аппаратная реализация компьютера: системный блок, внешняя память, устройства вывода информации. Структура и назначение программного обеспечения. Операционная система, загрузка операционной системы. Программная обработка данных. Файлы и файловая система. Логическая структура дисков. Прикладное программное обеспечение. Основные понятия и принципы объективно-ориентированного программирования. Алгоритмическое (операционное) программирование. Структурное программирование. Объективно ориентированное программирование. Понятие инкапсуляции, наследования и полиморфизма. основные элементы и операторы языка программирования Паскаль. Алфавит, основные определения. Структура программы. Стандартные типы данных. Программирование алгоритмов линейной структуры. Операторы ввода и вывода данных, оператор присваивания, составной и пустой операторы. Управляющие конструкции языка. Условный оператор, оператор выбора, оператор перехода. Примеры программирования вычислительных процессов с разветвлениями. Организация циклических процессов. Оператор цикла с предварительным условием. Оператор цикла с последующим условием. Оператор цикла с параметром. Вложенные циклы. Сложный тип данных- массивы. Понятие массива, тип массива, упакованные массивы, многомерные массивы. Подпрограммы. Процедуры и функции. Ограниченный и примерный тип данных. Множества и записи. Файловый типа данных. Информация и сообщение. Понятие об информации, средствах ее обработки. Свойства информации как мера уменьшения неопределенности знаний. Содержательный и алфавитный подход ее определению количества информации. Формула Шеннона. Представление и кодирование информации. Двоичное кодирование в компьютере. Алгоритм, его свойства, методы проектирования, отладка Алгоритмы, основные свойства и способы представления. Объекты алгоритма: константа, переменная, имя объекта алгоритма, массивы. Обработка массивов. Структурный подход к разработке алгоритмов. Этапы разработки алгоритма: Анализ условия задачи, макет исходных данных, макет печати результатов, таблица идентификаторов, пошаговая детализация алгоритма, формальное исполнение алгоритма, формальное исполнение алгоритма. Информационные технологии обучения. Технические возможности персонального компьютера как основа его применения в учебном процессе. Основные направления использования новых информационных технологий в образовании. Развитие личностных качеств учащегося при использовании информационных технологий в процессе обучения. Формирование учебного опыта самостоятельной экспериментально- исследовательской деятельности. Программные средства учебно-методического назначения. Программные средства проектирования педагогических программных средств. Перспективы использования информационных технологий в процессе обучения. Экспертные обучающиеся системы. Видео, компьютерные системы, продукты мультимедиа технологии. Системы виртуальной реальности. Интернет- ресурсы образовательного типа.

Литература

1. Майер Б., Бодуев К. – Методы программирования т. 1,2, М., 1982.

2. Королев Л.Н. – Структуры ЭВМ и их математическое обеспечение. М., Наука, 1987.