Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2017-08-23 | 221 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Неравенство Чебышёва.
Пусть случайная величина X такова, что математическое ожидание её квад-
рата существует и конечно: M (X 2)<+¥.
Тогда для любого e>0 справедливо неравенство:
P {| X |³e}£ .
Доказательство. Введём случайную величину Y:
|
Это дискретная случайная величина. Её закон распределения даётся двумя вероятностями:
P { Y =0}= P {| X |<e},
P { Y =e2}= P {| X |³e};
её математическое ожидание равно: MY =e2 P {| X |³e}.
Легко проверить, что Y £ X 2. В самом деле, если Y =0, то неравенство очевидно; если Y =e2, то при этом | X |³e Û X 2³e2. Отсюда: MY £ M (X 2), что можно переписать в виде:
P {| X |³e}£ .
Неравенство Чебышёва записывают и в других формах. Например, применим его к случайной величине X - MX, в предположении, что существует дисперсия DX:
P {| X - MX |³e}£ = .
Для противоположного события:
P {| X - MX |<e}³1- .
Применим неравенство Чебышёва в последней форме к среднему арифметическому попарно некоррелированных случайных величин X 1, X 2, ¼, Xn c одинаковыми математическими ожиданиями MXi = a и одинаковыми дисперсиями DXi =s2:
1³ P {| - a |<e}³1- , "e>0.
Перейдём здесь к пределу при n ®+¥:
P {| - a |<e}=1, "e>0.
Мы получили так называемый закон больших чисел в форме Чебышёва.
Закон больших чисел в форме Чебышёва
Среднее арифметическое отличается от истинного среднего значения
a меньше сколь угодно малого e>0 при достаточно большом числе наблюде-
ний с вероятностью, сколь угодно близкой к единице.
Это утверждение кратко записывается так: a – и читается: " схо-
дится по вероятности к a. "
|
В частности, закон больших чисел Чебышёва действует в схеме повторных независимых равноточных измерений без систематической погрешности любой физической величины a и оправдывает нашу интуитивную веру в среднее арифметическое как хорошее приближение для a. Мы получаем уверенность в том, что при достаточно большом числе измерений мы будем знать истинное значение измеряемой величины a сколь угодно точно со сколь угодно большой вероятностью. Однако закон больших чисел указывает лишь очень грубо, сколько наблюдений достаточно выполнить, чтобы добиться заданной точности: если мы хотим, чтобы P {| - a |<e}³1-d, достаточно произвести n ³ наблюдений.
Из закона больших чисел Чебышёва следует закон больших чисел Бернулли.
Закон больших чисел в форме Бернулли.
Относительная частота события A сходится по вероятности к вероят-
ности p события A: P {| - p |<e}=1 для "e>0.
Действительно, пусть проведено n независимых опытов, в которых событие A произошло m раз. Введём случайные величины
|
Это дискретные случайные величины, причём:
MXi =1× p +0×(1- p)= p, MXi 2=12× p +02×(1- p)= p, DXi = M (Xi 2)-(MXi)2= p - p 2= pq,
= (X i+ X 2+¼+ Xn)= .
Выполнены условия закона больших чисел Чебышёва, в котором a = p, s2= pq. Поэтому: p.
Закон больших чисел в форме Бернулли даёт обоснование нашей интуитивной веры в относительную частоту как приближение для вероятности: как бы ни было мало e>0, для достаточно большого числа наблюдений n относительная частота события A будет отличаться от его вероятности p меньше этого e с вероятностью, как угодно близкой к единице.
Возможно нам хотелось бы большего, а именно: = p. Но так много теория вероятностей дать не может. И это по существу! Например, при бросании монеты ничто не мешает ей всё время выпадать решкой, а для подобной серии испытаний относительная частота гербов равна нулю. Нетрудно также построить серию испытаний, для которой принимает любое заданное значение на отрезке [0, 1], либо не существует. Тем удивительнее усиленный закон больших чисел, доказанный Борелем.
|
Усиленный закон больших чисел (Борель).
Предел относительной частоты события A существует и равен вероят-
ности p этого события почти наверное: P { = p }=1.
Связь относительной частоты и вероятности позволяет дать ещё одну мотивировку принятого в теории вероятностей определения математического ожидания и его толкования как среднего значения. Пусть дискретная случайная величина X с возможными значениями xk и вероятностями pk наблюдается n раз независимым образом; пусть частота xk равна mk, Среднее арифметическое этих наблюдений равно
= xkmk = xk .
Можно думать, что истинное среднее мы получим, сделав бесконечно много наблюдений, а относительные частоты при этом почти наверное будут равны вероятностям pk. Это и даёт для истинного среднего выражение xkpk, т. е. MX.
|
|
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!