Алгебраический компонент — 140 часов

Пояснительная записка

 

Математика занимает одно из центральных мест в образовании как важное средство формирования общей культуры, интеллектуального развития современного человека. Математические знания необходимы для изучения явлений природы, без них невозможно достижение успехов в развитии производства и науки. Знания о количественных отношениях и пространственных формах окружающего мира необходимы практически во всех сферах деятельности человека.

Методы, применяемые в математике, необходимы для специалистов в любой сфере деятельности, особенно в сфере наукоемких технических производств. Поэтому развитие компетенций у учащихся средствами учебного предмета для продолжения образования на уровнях профессионально-технического, среднего специального и высшего образования является особо важным.

Содержание математики как учебного предмета базируется на теоретической основе трех подходов: знаниевого, личностно ориентированного, компетентностного.

Цели и задачи изучения учебного предмета на повышенном уровне при освоении содержания образовательной программы среднего образования:

§ продолжение формирования представлений о математике как части общечеловеческой культуры, ее роли в познании явлений и процессов действительности;

§ формирование математических знаний и умений, необходимых для изучения естественнонаучных учебных предметов на базовом и повышенном уровнях и для продолжения образования в областях, требующих углубленной математической подготовки;

§ формирование репродуктивного, репродуктивно-продуктивного и творческого видов деятельности при решении учебных и прикладных задач;

§ развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры и критического мышления на уровне, необходимом в повседневной жизни и будущей профессиональной деятельности;

§ формирование мотивации к самостоятельному приобретению математических знаний и умений, развитию компетенций, востребованных в условиях непрерывного образования и профессиональной деятельности;

§ воспитание культуры личности и личностных качеств (целеустремленность, самостоятельность, ответственность, самоконтроль и др.).

§ формирование мотивации к самостоятельному приобретению математических знаний и умений, развитию компетенций, востребованных в условиях непрерывного образования и профессиональной деятельности;

Содержание алгебраического компонента в X классе предусматривает изучение тригонометрических и степенных функций, их свойств, уравнений, неравенств и элементов комбинаторики, а содержание геометрического компонента — изучение взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве, свойства прямых и плоскостей в пространстве, метрические соотношения, свойства многогранников.

Содержание алгебраического компонента в XI классе предусматривает изучение показательных и логарифмических функций, их свойств, показательных и логарифмических уравнений, неравенств, и элементов теории вероятностей, рассматривается понятие производной функции и ее применение при исследовании функции и решении практических задач, а содержанием геометрического компонента является изучение многогранников и их свойств, объемов и площадей их поверхностей; тел вращения и их свойств, объемов и площадей их поверхностей.

Усилены требования к результатам учебной деятельности учащихся, обусловленные расширением содержания учебного предмета, способов деятельности учащихся, обобщением и систематизацией теоретических знаний и их применением при выполнении различных заданий.

 

Организация образовательного процесса

Образовательный процесс осуществляется с учетом возрастных особенностей учащихся, специфики учебного предмета, его места и роли в системе общего среднего образования.

Организация образовательного процесса должна быть направлена на достижение учащимися результатов, определенных настоящей учебной программой. Вместе с тем образовательный процесс должен быть поставлен так, чтобы у учащихся была возможность реализовать свои образовательные запросы. При этом необходимо, чтобы учащиеся не только усвоили определенные теоретические знания, но и научились использовать их при решении учебных задач и задач прикладного характера.

Обучение математике должно способствовать дальнейшему развитию культуры устной и письменной речи учащихся, умений работать с различными источниками информации, ставить цели, планировать и искать пути их достижения, анализировать и оценивать результаты.

Организуя образовательный процесс, учитель математики имеет право самостоятельно выбирать методы, приемы и технологии обучения, обеспечивающие достижение целей обучения и воспитания. Логическая строгость изложения учебного материала должна сочетаться с высокой степенью наглядности и доступности.

Образовательный процесс при изучении математики должен способствовать развитию у учащихся интереса к овладению знаниями, способами познания окружающего мира; созданию положительного эмоционального состояния; формированию адекватной самооценки; эстетическому воспитанию учащихся.

X класс

Содержание учебного предмета

Ч. (6 ч. в неделю)

Функция (20 ч.)

Функция числового аргумента. Свойства функции (область определения, множество значений, нули функции, промежутки знакопостоянства, четность и нечетность, периодичность, возрастание и убывание, точки максимума и минимума; максимум и минимум, наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке). Сложная функция. Обратная функция.

Построение графиков функций

y =f(x ± a), y =f(x) ± b, a, b ∈ R

y = kf (x), y = f (mx), k, m > 0, к, m ∈ R

y = f(x), y = f(-x), y =| f(x)| y =f(| x |)

с помощью преобразований графика функции y = f(x).

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия как функция натурального аргумента. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

основные Требования

к результатам учебной деятельности учащихся

Учащийся д о л ж е н:

знать термины и правильно применять понятия:

функция числового аргумента, сложная функция, обратная функция; область определения, множество значений, нули функции, промежутки знакопостоянства, четность и нечетность, периодичность и наименьший положительный период, возрастание и убывание, точки максимума и минимума, максимум и минимум функции, наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке;

бесконечно убывающая геометрическая прогрессия как функция натурального аргумента;

уметь:

находить область определения и множество значений функции, нули функции, промежутки знакопостоянства, наименьший положительный период, промежутки возрастания и убывания, точки максимума и минимума, максимум и минимум функции, наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке по аналитическому заданию функции и по графику функции;

находить сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии и переводить бесконечную периодическую дробь в обыкновенную (используя сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии);

исследовать функцию на четность и нечетность по аналитическому заданию функции и по графику функции;

строить график функции, обратной заданной функции;

выполнять построение графиков функций

у =f(x ± a), y =f(x) ± b, a, b ∈ R

y = kf(x), y =f (mx), k, m > 0, k, m ∈ R

y =-f(x), y =f(-x), y = | f(x) |, y =f(|x|)

с помощью преобразования графика функции y = f(x).

Тригонометрия (65 ч.)

 

Градусная и радианная мера произвольного угла. Единичная окружность. Определение синуса, косинуса, тангенса, котангенса произвольного угла.

Соотношения между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла (тригонометрические тождества).

Тригонометрические функции числового аргумента. Их свойства и графики. Преобразование графиков тригонометрических функций.

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа.

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.

Простейшие тригонометрические уравнения sin x  = а, cos x=а, tg x=а, сtg x=а.

Формулы приведения, суммы и разности аргументов, двойного и половинного аргументов, преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму и разность. Применение формул при преобразовании выражений и решении тригонометрических уравнений.

Основные Требования

к результатам учебной деятельности учащихся

 

Учащийся д о л ж е н:

знать термины и правильно применять понятия:

единичная окружность, синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла; тригонометрические функции числового аргумента; арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа; обратные тригонометрические функции;

знать:

свойства тригонометрических функций, доказательства тригонометрических тождеств; формулы приведения, сложения (вычитания) аргументов, двойного и половинного аргументов; преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму; правило приведения;

числовые значения выражений sina, cosa при a, равном:

 

0, , , , , p, , и tga, ctga для этих углов (в случае существования этих значений); значения выражений arcsin a и arccos a при a, равном 0, , , , и выражений arctg a и arcctg a при a, равном 0, , , ;

формулы решения простейших тригонометрических уравнений;

уметь:

переводить градусную меру углов в радианную и наоборот;

строить углы по заданной градусной или радианной мере; использовать единичную окружность для нахождения значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса заданных углов; строить углы по заданному значению их синуса, косинуса, тангенса и котангенса;

находить числовые значения тригонометрических выражений, используя значения тригонометрических функций и соответствующие формулы;

доказывать основные тригонометрические тождества;

выполнять тождественные преобразования тригонометрических выражений с помощью тригонометрических формул;

находить числовые значения выражений, содержащих обратные тригонометрические функции при заданном значении аргумента;

строить графики тригонометрических функций и обратных им, применять их свойства;

решать различные типы тригонометрических уравнений.

Степенная функция (40 ч.)

Корень n -й степени из числа а (n  ³   2, n  Î  N). Арифметический корень. Основные свойства корня n -й степени. Преобразование выражений, содержащих корни n -й степени.

Избавление от иррациональности в знаменателе дроби.

Степень с рациональным показателем. Свойства степени с рациональным показателем. Степень с действительным показателем.

Степенная функция с рациональным показателем y  =  x^k, y  = для

k  Î  N, свойства и график степенной функции.

Иррациональные уравнения. Иррациональные неравенства.

 

Основные Требования

к результатам учебной деятельности учащихся

Учащийся д о л ж е н:

иметь представление о степени с действительным показателем;

знать термины и правильно применять понятия:

корень n -й степени из числа а, показатель степени корня, подкоренное выражение, степень с рациональным показателем, степенная функция, иррациональное уравнение, иррациональное неравенство;

знать:

основные свойства корня n -й степени, свойства степеней с рациональным показателем; свойства и график степенной функции; формулы, выражающие свойства степеней и корней n -й степени;

основные методы решения иррациональных уравнений;

уметь:

вычислять корень n -й степени из действительного числа, представляющего n -ю степень; выносить множитель из-под корня;

оценивать значение корня;

представлять корень n -й степени в виде степени с рациональным показателем и наоборот; упрощать выражения, содержащие корни и степени с рациональным показателем;

избавляться от иррациональности в знаменателе дроби;

строить графики степенных функций y  =  x^k, для k  Î  Z, k  ¹   0, y  = , для k  Î  N;

решать уравнения вида xⁿ  =  а;

решать иррациональные уравнения, иррациональные неравенства;

выполнять преобразования графиков степенной функции.

XI класс

Содержание учебного предмета

Ч. (6 ч. в неделю)

Алгебраический компонент – 140 часов

Производная (26 ч.)

 

Производная, физический смысл производной, геометрический смысл производной. Производные функций:

y = c, y = ax + b, y = ax² + bx + c,

y = ,y = , n

Правила нахождения производных: (cf)¢ = cf¢, (f + g)¢ = f ¢ + g¢, (fg)¢ = f ¢g + fg¢, = .

Связь между знаком производной функции и её возрастанием или убыванием.

Уравнение касательной к графику функции.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке.

Применение производной к исследованию функций, решению уравнений и неравенств.

 

Основные Требования

к результатам учебной деятельности учащихся

Учащийся д о л ж е н:

знать:

физический и геометрический смысл производной; правила нахождения производной суммы, разности, произведения, частного функций; связь между возрастанием (убыванием) функции и знаком ее производной;

уметь:

находить производную функции по правилам нахождения производных;

находить значения производной в точке;

определять промежутки монотонности, точки экстремума, экстремумы функции;

решать задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке;

составлять уравнение касательной к графику функции;

уметь использовать производную при исследовании функций и построении графиков;

применять полученные знания при решении задач практической направленности.

Многогранники (16 ч.)

 

Понятие многогранника. Выпуклые многогранники.

Свойства призмы, правильной призмы, параллелепипеда. Площадь боковой и полной поверхностей призмы.

Свойства правильной пирамиды. Свойства пирамиды с равными или равно наклоненными боковыми ребрами. Свойства пирамиды с равными высотами боковых граней, опущенными из вершины пирамиды, или равно наклоненными боковыми гранями. Площадь боковой и полной поверхностей пирамиды. Усеченная пирамида. Усеченная правильная пирамида.

Правильные многогранники.

 

Основные Требования

к результатам учебной деятельности учащихся

Учащийся д о л ж е н:

знать и правильно использовать определения:

выпуклого многогранника, призмы, прямой призмы, правильной призмы, параллелепипеда, куба, пирамиды, правильной пирамиды, усеченной пирамиды, усеченной правильной пирамиды; тетраэдра; диагонального сечения призмы, пирамиды, усеченной пирамиды;

правильного многогранника, правильных: тетраэдра, гексаэдра, октаэдра, додекаэдра, икосаэдра;

знать свойства:

призмы, прямой призмы, правильной призмы, параллелепипеда, прямоугольного параллелепипеда, куба; правильной пирамиды, пирамиды с равными или равно наклоненными боковыми ребрами;

пирамиды с равными высотами боковых граней, опущенными из вершины пирамиды, или равно наклоненными боковыми гранями;

знать и уметь выводить формулы:

площади боковой поверхности призмы, площади боковой поверхности правильной пирамиды, площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды;

уметь:

применять формулы площади поверхности прямой призмы, правильной пирамиды, правильной усеченной пирамиды;

решать геометрические задачи на доказательство и вычисление с использованием известных свойств призмы, пирамиды, усеченной пирамиды;

применять полученные знания при решении задач практической направленности.

Тела вращения (24 ч.)

 

Сфера и шар. Сечения сферы и шара плоскостью. Касательная плоскость к сфере (шару). Площадь сферы. Объем шара.

Цилиндр. Осевое сечение цилиндра. Сечения цилиндра, параллельные и перпендикулярные оси цилиндра. Развертка боковой поверхности цилиндра. Площадь боковой и полной поверхностей цилиндра. Объём цилиндра.

Конус. Осевое сечение конуса. Развертка боковой поверхности конуса. Площадь боковой и полной поверхностей конуса. Объем конуса. Сечение конуса, перпендикулярное оси конуса.

Усеченный конус. Объем усеченного конуса.

Комбинации многогранников и тел вращения.

Основные Требования

к результатам учебной деятельности учащихся

Учащийся д о л ж е н:

знать и правильно использовать определения: сферы, шара, радиуса, хорды, диаметра сферы (шара), касательной плоскости к сфере (шару); касательной прямой к сфере (шару); секущей прямой к сфере (шару); сечения сферы и шара плоскостью; цилиндра, осевого сечения цилиндра, конуса, осевого сечения конуса, усеченного конуса, сферы (шара), описанной около многогранника, сферы (шара) вписанной в многогранник, цилиндра, вписанного в призму и описанного около призмы, конуса, вписанного в пирамиду и описанного около пирамиды.

знать: свойство касательной плоскости к сфере (шару), признак касательной плоскости к сфере (шару); свойства: сечения сферы и шара плоскостью, осевого сечения цилиндра, сечения параллельного и перпендикулярного оси цилиндра; осевого сечения конуса и сечения перпендикулярного оси конуса;

уметь доказывать: свойство касательной плоскости к сфере (шару), признак касательной плоскости к сфере (шару);

знать формулы: площади сферы, объема шара; площади боковой и полной поверхности цилиндра, объема цилиндра; площади боковой и полной поверхности конуса и усеченного конуса, объема конуса и усеченного конуса;

уметь выводить формулы: площади боковой поверхности цилиндра, конуса и усеченного конуса; объема цилиндра, конуса и усеченного конуса;

уметь:

находить объемы и площади поверхности тел вращения,

решать задачи на комбинацию тел вращения;

решать задачи на комбинацию тел вращения и многогранников;

находить радиус описанной сферы (шара) и радиус вписанной сферы (шара) для правильной и прямой призмы, правильной пирамиды,

решать задачи на комбинацию пирамиды и вписанной в нее призмы;

решать геометрические задачи на доказательство и вычисление;

решать задачи на сечение тел вращения;

применять полученные знания при решении задач практической направленности.

Пояснительная записка

 

Математика занимает одно из центральных мест в образовании как важное средство формирования общей культуры, интеллектуального развития современного человека. Математические знания необходимы для изучения явлений природы, без них невозможно достижение успехов в развитии производства и науки. Знания о количественных отношениях и пространственных формах окружающего мира необходимы практически во всех сферах деятельности человека.

Методы, применяемые в математике, необходимы для специалистов в любой сфере деятельности, особенно в сфере наукоемких технических производств. Поэтому развитие компетенций у учащихся средствами учебного предмета для продолжения образования на уровнях профессионально-технического, среднего специального и высшего образования является особо важным.

Содержание математики как учебного предмета базируется на теоретической основе трех подходов: знаниевого, личностно ориентированного, компетентностного.

Цели и задачи изучения учебного предмета на повышенном уровне при освоении содержания образовательной программы среднего образования:

§ продолжение формирования представлений о математике как части общечеловеческой культуры, ее роли в познании явлений и процессов действительности;

§ формирование математических знаний и умений, необходимых для изучения естественнонаучных учебных предметов на базовом и повышенном уровнях и для продолжения образования в областях, требующих углубленной математической подготовки;

§ формирование репродуктивного, репродуктивно-продуктивного и творческого видов деятельности при решении учебных и прикладных задач;

§ развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры и критического мышления на уровне, необходимом в повседневной жизни и будущей профессиональной деятельности;

§ формирование мотивации к самостоятельному приобретению математических знаний и умений, развитию компетенций, востребованных в условиях непрерывного образования и профессиональной деятельности;

§ воспитание культуры личности и личностных качеств (целеустремленность, самостоятельность, ответственность, самоконтроль и др.).

§ формирование мотивации к самостоятельному приобретению математических знаний и умений, развитию компетенций, востребованных в условиях непрерывного образования и профессиональной деятельности;

Содержание алгебраического компонента в X классе предусматривает изучение тригонометрических и степенных функций, их свойств, уравнений, неравенств и элементов комбинаторики, а содержание геометрического компонента — изучение взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве, свойства прямых и плоскостей в пространстве, метрические соотношения, свойства многогранников.

Содержание алгебраического компонента в XI классе предусматривает изучение показательных и логарифмических функций, их свойств, показательных и логарифмических уравнений, неравенств, и элементов теории вероятностей, рассматривается понятие производной функции и ее применение при исследовании функции и решении практических задач, а содержанием геометрического компонента является изучение многогранников и их свойств, объемов и площадей их поверхностей; тел вращения и их свойств, объемов и площадей их поверхностей.

Усилены требования к результатам учебной деятельности учащихся, обусловленные расширением содержания учебного предмета, способов деятельности учащихся, обобщением и систематизацией теоретических знаний и их применением при выполнении различных заданий.

 

Организация образовательного процесса

Образовательный процесс осуществляется с учетом возрастных особенностей учащихся, специфики учебного предмета, его места и роли в системе общего среднего образования.

Организация образовательного процесса должна быть направлена на достижение учащимися результатов, определенных настоящей учебной программой. Вместе с тем образовательный процесс должен быть поставлен так, чтобы у учащихся была возможность реализовать свои образовательные запросы. При этом необходимо, чтобы учащиеся не только усвоили определенные теоретические знания, но и научились использовать их при решении учебных задач и задач прикладного характера.

Обучение математике должно способствовать дальнейшему развитию культуры устной и письменной речи учащихся, умений работать с различными источниками информации, ставить цели, планировать и искать пути их достижения, анализировать и оценивать результаты.

Организуя образовательный процесс, учитель математики имеет право самостоятельно выбирать методы, приемы и технологии обучения, обеспечивающие достижение целей обучения и воспитания. Логическая строгость изложения учебного материала должна сочетаться с высокой степенью наглядности и доступности.

Образовательный процесс при изучении математики должен способствовать развитию у учащихся интереса к овладению знаниями, способами познания окружающего мира; созданию положительного эмоционального состояния; формированию адекватной самооценки; эстетическому воспитанию учащихся.

X класс

Содержание учебного предмета

Ч. (6 ч. в неделю)

Алгебраический компонент — 140 часов

Функция (20 ч.)

Функция числового аргумента. Свойства функции (область определения, множество значений, нули функции, промежутки знакопостоянства, четность и нечетность, периодичность, возрастание и убывание, точки максимума и минимума; максимум и минимум, наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке). Сложная функция. Обратная функция.

Построение графиков функций

y =f(x ± a), y =f(x) ± b, a, b ∈ R

y = kf (x), y = f (mx), k, m > 0, к, m ∈ R

y = f(x), y = f(-x), y =| f(x)| y =f(| x |)

с помощью преобразований графика функции y = f(x).

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия как функция натурального аргумента. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

основные Требования

к результатам учебной деятельности учащихся

Учащийся д о л ж е н:

знать термины и правильно применять понятия:

функция числового аргумента, сложная функция, обратная функция; область определения, множество значений, нули функции, промежутки знакопостоянства, четность и нечетность, периодичность и наименьший положительный период, возрастание и убывание, точки максимума и минимума, максимум и минимум функции, наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке;

бесконечно убывающая геометрическая прогрессия как функция натурального аргумента;

уметь:

находить область определения и множество значений функции, нули функции, промежутки знакопостоянства, наименьший положительный период, промежутки возрастания и убывания, точки максимума и минимума, максимум и минимум функции, наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке по аналитическому заданию функции и по графику функции;

находить сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии и переводить бесконечную периодическую дробь в обыкновенную (используя сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии);

исследовать функцию на четность и нечетность по аналитическому заданию функции и по графику функции;

строить график функции, обратной заданной функции;

выполнять построение графиков функций

у =f(x ± a), y =f(x) ± b, a, b ∈ R

y = kf(x), y =f (mx), k, m > 0, k, m ∈ R

y =-f(x), y =f(-x), y = | f(x) |, y =f(|x|)

с помощью преобразования графика функции y = f(x).

Тригонометрия (65 ч.)

 

Градусная и радианная мера произвольного угла. Единичная окружность. Определение синуса, косинуса, тангенса, котангенса произвольного угла.

Соотношения между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла (тригонометрические тождества).

Тригонометрические функции числового аргумента. Их свойства и графики. Преобразование графиков тригонометрических функций.

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа.

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.

Простейшие тригонометрические уравнения sin x  = а, cos x=а, tg x=а, сtg x=а.

Формулы приведения, суммы и разности аргументов, двойного и половинного аргументов, преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму и разность. Применение формул при преобразовании выражений и решении тригонометрических уравнений.

Основные Требования

к результатам учебной деятельности учащихся

 

Учащийся д о л ж е н:

знать термины и правильно применять понятия:

единичная окружность, синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла; тригонометрические функции числового аргумента; арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа; обратные тригонометрические функции;

знать:

свойства тригонометрических функций, доказательства тригонометрических тождеств; формулы приведения, сложения (вычитания) аргументов, двойного и половинного аргументов; преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму; правило приведения;

числовые значения выражений sina, cosa при a, равном:

 

0, , , , , p, , и tga, ctga для этих углов (в случае существования этих значений); значения выражений arcsin a и arccos a при a, равном 0, , , , и выражений arctg a и arcctg a при a, равном 0, , , ;

формулы решения простейших тригонометрических уравнений;

уметь:

переводить градусную меру углов в радианную и наоборот;

строить углы по заданной градусной или радианной мере; использовать единичную окружность для нахождения значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса заданных углов; строить углы по заданному значению их синуса, косинуса, тангенса и котангенса;

находить числовые значения тригонометрических выражений, используя значения тригонометрических функций и соответствующие формулы;

доказывать основные тригонометрические тождества;

выполнять тождественные преобразования тригонометрических выражений с помощью тригонометрических формул;

находить числовые значения выражений, содержащих обратные тригонометрические функции при заданном значении аргумента;

строить графики тригонометрических функций и обратных им, применять их свойства;

решать различные типы тригонометрических уравнений.