Электромагнитные волны в идеальном диэлектрике

Знакомство с электромагнитными волнами для наглядности начнем с механических колебаний.Отличительной чертой многих движений является их периодичность, т.е. повторяемость через определенные интервалы времени.

Движения, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые промежутки времени, называются механическими колебаниями.

Если колебание совершается под действием внешних сил, которые и вынуждают тело совершать колебания, то такие колебания называются вынужденными.

Если же колебания, происходят под действием внутренних сил и возникают в системе после того, как система была выведена из состояния равновесия и предоставлена самой себе, то такие колебания называются свободными.

Отличительной особенностью систем, в которых происходят свободные колебания, является наличие у них положения устойчивого равновесия. Именно около этих положений и совершаются свободные колебания.

Для того чтобы в той или иной системе возникли свободные колебания, необходимо выполнение следующих условий:

1. Системе должна быть сообщена избыточная энергия. Эту энергию можно сообщить системе либо в виде потенциальной энергии. Либо в виде кинетической энергии, либо в виде той и другой.

2. Избыточная энергия, сообщенная системе, не должна в процессе возникшего движения полностью тратиться на преодоление трения.

Эти два условия являются необходимыми, но не достаточными для существования свободных колебаний.

Основные характеристики колебаний:

1. Амплитуда колебаний (А) – это максимальное расстояние, на которое удаляется колеблющееся тело от своего положения равновесия. Амплитуда свободных колебаний определяется начальными условиями, измеряется амплитуда в метрах;

2. Период колебания (Т) – это минимальный промежуток времени, по истечении которого система возвращается в прежнее состояние; иначе говоря, период колебания - это время, за которое совершается одно полное колебание;

3. Частота колебаний (f) – это число колебаний, совершаемых за 1 с, измеряется в герцах (Гц);

4. Циклическая частота ( - это величина, в 2 раз большая частоты.

= 2 f

Физический смысл циклической частоты заключается в том, что она показывает, какое число колебаний совершается за 2 секунды.

Если трение мало, что им можно пренебречь, то графиком зависимости координат колеблющегося тела от времени является синусоида. Колебания, при которых координата колеблющегося тела меняется с течением времени по закону синуса или косинуса, называют гармоническим.

Если момент начала отсчета времени колебаний совпадает с моментом максимального отклонения маятника от положения равновесия, уравнение колебаний имеет вид:

х = Аsin ,

т.е. колебания будут синусоидальными и происходить без начальной фазы , х – смещение маятника.

Если момент начала отсчета времени колебаний не совпадает ни с моментом максимального отклонения от положения равновесия. Ни с моментом прохождения им положения равновесия, то колебание происходит с начальной фазой и уравнение таких колебаний имеет вид:

 

х = Аcos( + ) или х = А sin ( + ).

 

Фаза колебания - это величина, которая позволяет определить, какая доля периода прошла с момента начала колебаний и наиболее полно характеризует колебательный процесс:

 

= +

 

 

 

Рис. 2. График гармонического колебания

 

Механические волны

 

 

Еще одним видом движения являются волны. Отличительной особенностью этого движения является то, что в волне распространяются не сами частицы вещества, а изменения их состоянии.

Волнами называются всякие возмущения состояния вещества или поля, распространяющиеся в пространстве с течением времени.

Волновой поверхностью (фронтом волны) называется совокупность точек среды, колеблющихся в одинаковых фазах. На волновой поверхности фазы колебаний различных точек в рассматриваемый момент времени имеют одно и то же значение.

Лучом называется линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением волны. В однородной изотропной среде луч является прямой, перпендикулярной к фронту волны, и совпадает с направлением переноса энергии волны. В плоской волне волновыми поверхностями являются плоскости, перпендикулярные к направлению распространения волны. Лучами являются параллельные прямые, совпадающие с направлением скорости распространения волны. Такие волны могут быть получены на поверхности воды с помощью колебаний плоского стержня.

Волна называется поперечной, если частицы среды колеблются в направлениях перпендикулярных к направлению распространения волны.

Волна называется продольной, если колебания частиц среды происходят в направлении распространения волны. В газах и жидкостях, которые не обладают упругостью формы, распространение поперечных волн невозможно. В твердых телах возможно распространение как продольных, так и поперечных волн, связанных с наличием упругости формы.

Каждая волна распространяется с некоторой скоростью. Под скоростью волны понимают скорость распространения возмущения.

 

Уравнение волны

 

 

Соберем установку, изображенную на рисунке.

 

 

Рис. 3. Эффект Допплера

 

Синусоидальное напряжение от звукового генератора подается на динамик и одновременно – на один вход двухлучевого осциллографа, на экране которого видна осциллограмма этого колебания. Колебания динамика возбуждают упругую волну в воздухе. Возникающая плоская звуковая вона доходит до микрофона и вызывает колебания его мембраны. Звуковые колебания превращаются в электрические и подаются на второй вход осциллографа. На экране возникает вторая осциллограмма, соответствующая фронту волны вблизи микрофона. Перемещая микрофон, можно исследовать характер колебаний в каждом фронте волны.

Опыт показывает, что частоты обоих колебаний совпадают, что видно по осциллограмме, но фазы отличаются. Данное явление объясняется конечной скоростью распространения волны. Если расстояние между динамиком и микрофоном х, то колебания у микрофона возникают с запаздыванием

 

∆t = х/u,

 

где u – скорость распространения синусоидальной волны. Это запаздывание сохраняется все время в виде отставания по фазе ∆ . Его можно найти, учитывая, что за период Т фаза меняется на 2 :

 

= .

 

Подставив значение t, получим

 

 

= = .

 

Величина

= uT = =

 

Называется длиной волны. Если положить х = , получим = 2 . Следовательно, если расстояние между двумя колеблющимися точками равно длине волны, то эти точки колеблются одинаково.

Итак, длиной волны называется расстояние между двумя ближайшими точками, колеблющимися все время одинаково (т.е. со сдвигом фаз = 2 ). Короче длина волны – это пространственный период, аналогично временному периоду T.

 

Пусть колебания диффузора описываются уравнением

 

s = Acos ( + ).

Тогда колебания фронта волны, отстоящего от динамика на расстояние х, выразится так:

s =Acos [ (t - t)+ ].

 

Затуханием волны мы здесь пренебрегли. Подставив значение t, получим

 

s =Acos[ (t - )+ ].

 

Это и есть уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль оси абсцисс.

Величина k =

 

называется волновым числом. Сравнив с предыдущими выражениями для длины волны, получим

k = 2 /

 

Волновое число показывает, сколько длин волн укладывается на расстоянии, равном 2 метров. Это аналогично круговой частоте , которая показывает, сколько периодов укладывается в промежутке времени, равном 2 секунд.

Таким образом уравнение плоской синусоидальной волны можно записать:

 

s =A cos( t - kx+ ).

 

 

Рис. 4. Распределение смещения точек волны

На рисунке представлен характер распределения смещений всех точек в некоторый момент времени.

 

 

Эффект Допплера в акустике

 

 

До сих пор мы считали, что частота колебаний источника , частота волны и частота колебаний , регистрируемая приемником, равны между собой. Но это справедливо лишь в том случае, когда источник и приемник неподвижны относительно среды, в которой распространяется волна. Если же источник или приемник движутся относительно среды, то эти частоты будут различны. Это явление обнаружил Христиан Допплер в 1842 г.

Предположим, что источник волны движется относительно среды, а приемник покоится. Скорость источника обозначим v. Движение источника приведет к изменению длины волны: в направлении движения она сократиться и станет равна = (u– v) T; где u – скорость распространения волны. В противоположном направлении – удлинится по сравнению с длиной волны, которую излучает неподвижный источник, и будет равна = (u+ v) T. Скорость распространения волны определяется лишь упругими свойствами среды, и движение источника на нее не влияет.

Соотношение между длиной волны в направлении движения источника и длиной волны , которую излучает неподвижный источник, выразится так:

= .

 

Для длины волны в направлении противоположном направлению движения источника,

= .

 

Так как = 2 / и = 2 , то получим выражение для круговой частоты, которую приемник, неподвижный относительно среды, регистрирует в случае движения источника:

 

 

= (источник приближается),

 

(источник удаляется).

 

Интерференция и дифракция

 

1. Если двумя стерженьками одновременно коснуться поверхности воды, то от каждого из них побежит круговая волна, которая проходит сквозь другую, так как будто бы ее и не было. Аналогично распространяются звуковые волны, радиоволны, световые волны.

Таким образом, опыт показывает, что волны не взаимодействуют друг с другом и распространяются независимо друг от друга.

2. Поскольку волны не взаимодействуют, то каждая область пространства, куда приходят две или несколько волн, будет принимать участие в колебаниях, вызванных каждой волной в отдельности. Для того чтобы найти результирующее смещение в точке пространства, нужно найти смещение, вызванное каждой волной, а затем сложить их.

Сформулированное правило нахождения результирующего смещения называется принципом суперпозиции (наложения) волн.

В случае, когда колебания, обусловленные отдельными волнами в каждой точке среды, обладают постоянной разностью фаз, волны называются когерентными. Очевидно, что когерентными могут быть лишь волны, имеющие одинаковую частоту.

При сложении когерентных волн возникает явление интерференции, заключающееся в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других точках ослабляют друг друга.

Рассмотрим две волны, распространяющиеся от точечных источников О и О , колеблющихся с постоянной разностью фаз. Определим результирующее колебание в какой-либо точке при условии, что оба колебания, вызываемые каждой из волн в отдельности, имеют одинаковое направление.

Пусть фазы колебаний источников О и О равны соответственно ( + ) и ( + ). Тогда колебание в данной точке будет равно сумме колебаний:

 

= а cos ( t + - kr ),

 

= a cos ( t + - kr ),

где а и а - амплитуды волн в рассматриваемой точке, k– волновое число, r и r - расстояние от источников волн до данной точки.

В точках, определяемых условием

 

k (r - r ) - ( - ) = 2 n (n = 0, 1, 2, …),

 

колебания усиливают друг друга и результирующее движение представляет собой гармоническое колебание частоты с амплитудой (a + а ).

В точках, для которых

 

k (r - r ) - ( - ) = 2 (n + ) (n = 0, 1, 2, …),

колебания ослабляют друг друга и результирующее движение является гармоническим колебанием с амплитудой, равной (a - а ). В частном случае, когда a = а , колебания в этих точках будут отсутствовать.

Последние два условия сводятся к тому, что

 

r - r = const.

 

Из аналитической геометрии известно, что это уравнение гиперболы с фокусами в точках О и О . Таким образом, геометрическое место точек, в которых колебания усиливают или ослабевают друг друга, представляют семейство гипербол отвечающих случаю - = 0.

 

 

 

 

Рис. 5. Интерференция двух когерентных колебаний

 

Волны, встретив на своем пути препятствие, огибают его. Это явление называется дифракцией. Возникновение дифракции можно объяснить с помощью принципа Гюйгенса, которым устанавливается способ построения фронта волны в момент времени t + tпо известному положению фронта в момент времени t. Согласно принципу Гюйгенса каждая точка, до которой доходит волновое движение, служит центром вторичных волн; огибающая этих волн дает положение фронта волны в следующий момент. Среда предполагается неоднородной – скорость волны в нижней части рисунка больше чем в верхней.

 

 

 

Рис.6. Формирование фронта волны

 

 

Пусть на плоскую преграду с отверстием падает параллельный ей фронт волны. По Гюйгенсу каждая точка выделяемого отверстием участка волнового фронта служит центром вторичных волн, которые в однородной и изотропной среде будут сферическими. Построив огибающую вторичных волн, мы убеждаемся в том, что за отверстием волна проникает в область геометрической тени (на рисунке границы этой области показаны пунктиром), огибая края преграды.

 

 

 

Рис. 7. Процесс огибания края препятствия

 

Стоячие волны

Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая волна и бегущая навстречу отраженная, налагаясь друг на друга, дают стоячую волну.

Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях:

 

= аcos( t – kx),

 

= а cos( t + kx).

 

Складывая вместе оба уравнения и преобразовывая результат по формуле для суммы косинусов, получаем:

 

= + = 2 a coskxcos t.

 

Заменив волновое число k его значением 2 / , выражению для можно придать следующий вид:

 

= (2 acos2 ) cos t.

 

Это уравнение стоячей волны. Из него видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, причем амплитуда оказывается зависящей от x:

 

амплитуда = .

 

В точках, где

 

2 = n (n = 0,1,2, …),

 

Амплитуда колебаний достигает максимального значения 2а. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Значения координат пучностей:

 

х = n (n = 0,1,2, …).

 

В точках, где

2 = (n + ) (n = 0,1,2, …),

 

амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах колебаний не совершают.

Координаты узлов имеют следующие значения:

 

х = (n + ) (n = 0,1,2, …).

 

Из последних выражений видно, что расстояние между соседними пучностями, так же как и расстояние между соседними узлами, равно /2. Пучности и узлы сдвинуты относительно друг друга на четверть длины волны.

Обратимся снова к уравнению стоячей волны. Множитель при переходе через нулевое значение меняет знак. В соответствии с этим фаза колебаний по разные стороны от узла отличаются на , т.е. точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе. Все точки. Заключенные между двумя соседними узлами, колеблются синфазно.

 

 

 

Рис. 8. Отклонение точек от положения равновесия

 

На рисунке дан ряд «моментальных фотографий» отклонений точек от положения равновесия. Первая «фотография» соответствует моменту, когда отклонения достигают наибольшего абсолютного значения. Последующие «фотографии» сделаны с интервалами в четверть периода. Стрелками показаны скорости частиц.

 

 

Электромагнитные волны

 

 

Для экспериментальной проверки уравнений Максвелла, Герц использовал колебательный контур. Частота собственных колебаний контура с малым омическим сопротивлением связана с остальными параметрами контура соотношением

= .

 

Отсюда видно, что для увеличения собственной частоты колебаний контура надо уменьшить его емкость С и индуктивность L. Герц оставил в контуре один виток, а затем стал уменьшать площадь пластин конденсатора, и раздвигать их друг от друга. В результате вибратор Герца получил форму двух стерженьков с разрядным промежутком меду ними, к которому подводились провода от индикатора.

Принципиально важным для увеличения интенсивности излучения явилось то обстоятельство, что контур при этом стал открытым.

Используя такой вибратор, Герц получил электромагнитные колебания с частотой 10 Гц.

 

 

Рис. 9. Вибратор Герца

 

Для выяснения механизма образования электромагнитных волн этими излучателями представим излучатель схематически в виде колеблющегося электрического диполя. Такой простейший вибратор, состоит из двух зарядов

+ qи – q, гармонически колеблющихся с некоторой частотой вдоль вертикальной прямой в противоположные стороны. Амплитуда колебаний обоих зарядов одинаковая, а фазы противоположны. На рисунке изображены последовательные положения зарядов системы и линии электрического поля Е.

 

Рис. 10. Последовательные положения зарядов системы

 

 

В момент t = 0 оба заряда находятся в одной и той же начальной точке и электрическое поле отсутствует. На следующем рисунке изображено положение этих зарядов спустя некоторый промежуток времени t после начала движения. Заряды сместились на некоторое расстояние от равновесных положений, и система представляет собой электрический диполь, линии поля которого выходят из заряда +q и входят в заряд –q. Однако на более далеких расстояниях от диполя электрическое поле еще отсутствует. На следующих рисунках (в и г) показаны положения обоих зарядов спустя четверть периода и несколько позже. За это время электрическое поле успевает распространиться на некоторое расстояние от диполя. В момент t = 1/2T (рис. д) оба заряда проходят через положение равновесия и компенсируют друг друга. Однако электрическое поле, созданное в окружающем пространстве за предыдущее время, не исчезает, и линии этого поля отрываясь от заряда, замыкаются сами на себя. В следующий момент, t> 1/2T, заряды вновь расходятся и начинают создавать электрическое поле обратного направления. Замкнутые же линии вектора Е уходят от источника поля со скоростью с. По истечении первого периода колебания (t = T) от зарядов отделяется новая группа линий электрического поля как показано на рисунке (ж) и т.д.. Отделившееся поле будет содержать не только электрическую составляющую. С движущимся электрическим полем всегда связано магнитное поле. Часть электрического поля, отделившаяся от поля, связанного с зарядами, будет двигаться в пространстве, и ей будет сопутствовать магнитное поле, перпендикулярное к электрическому полю.

Если провести из центра колеблющегося диполя произвольный радиус-вектор (луч) r, то как видно из рисунка (ж), во всех точках луча вектор Е перпендикулярен к лучу и лежит в плоскости, проходящей через луч и ось диполя (плоскости рисунка). От точки к точке луча вектор Е периодически колеблется, изменяя свое направление на противоположное, но оставаясь в той же плоскости. Отделение поля излучения происходит не только от связанного с колеблющимися зарядами электрического поля, но и от связанного с ними магнитного поля.

 

Рис. 11. Различные стадии движения линий вектора Н

 

На представленном рисунке показаны различные стадии движения линий вектора Н, создаваемых движением зарядов, т.е. переменным током i. Проведя на рисунке (ж) луч r, мы видим, что вектор Н перпендикулярен к плоскости, содержащей луч и вектор Е рассмотренного выше поля, и также периодически колеблется в пространстве и во времени. С этим магнитным полем Н будет связано электрическое поле Е, обусловленное движением отделившегося поля Н.

В непосредственной близости от источника возникающее поле носит очень сложный характер. Основными слагающими здесь являются электростатическое поле, которое изменяется с расстоянием по закону

 

Е ~ ,

 

и магнитное поле тока, которое по закону Био-Савара-Лапласа убывает с расстоянием по закону

 

Н ~ ~ ,

 

где u = dx/dt – мгновенная скорость движения зарядов.

Эти поля взаимно перпендикулярны, и их колебания сдвинуты на /2, так же как сдвинуты колебания заряда и тока в колебательном контуре. Величины Е и Н в каждой точке поля пропорциональны друг другу, одновременно достигают максимума и одновременно переходят через ноль.

Можно показать, что в так называемой волновой зоне при r >> , электромагнитное поле сводится к индукционным полям где Е ~ Н ~ .

На больших расстояниях от излучающего диполя участок сферической волны можно считать плоским. На рисунке представлена структура такой плоской волны. Плоскости колебаний векторов Е и Н взаимно перпендикулярны, и сами векторы перпендикулярны к направлению распространения. Электромагнитные волны поперечны.

 

 

Рис. 12. Структура плоской электромагнитной волны