Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Топ:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2017-08-11 | 203 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Рассмотрим линейное однородное уравнение
где р и q — вещественные числа. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка, как следует из теоремы 10.1, может иметь множество решений. Однако среди них выделяют базисные решения, по которым строится общее решение уравнения. Таких решений для уравнения второго порядка — два, каков и порядок уравнения.
Определение 3. Решения у 1 (х) и у 2 (х) уравнения (10.9) называются линейно независимыми, если их линейная комбинация равна нулю:
лишь в том случае, когда С 1 = C 2 = 0.
В том случае, когда можно найти такие числа С 1 и С 2, не равные нулю одновременно, что для функций у 1 (х) и у 2 (х) на некотором интервале (a, b) выполняется равенство (10.10) для любого х (а, b), эти функции называются линейно зависимыми на интервале (а, b). Линейная зависимость функций означает их пропорциональность, например, у 1 (х)/у 2 (х) = —С 2 /С 1, при у 2 (х) ≠ 0 и С 1 ≠ 0.
ТЕОРЕМА 2. Пусть решения у1(х) и у2(х) уравнения (10.9) линейно независимы на интервале (а, b). Тогда функция
где С1 и С2 — произвольные постоянные, является общим решением однородного уравнения (10.9).
Эта теорема, по сути дела, выражает метод нахождения общего решения однородного дифференциального уравнения второго порядка: нужно отыскать два линейно независимых решения и взять их линейную комбинацию вида (10.11).
Будем искать решение уравнения (10.9) в виде у = еkx, где k — некоторое число. Подставляя эту функцию в уравнение (10.9), получаем
Сокращая обе части этого равенства на еkx, получаем квадратное уравнение относительно k
Стало быть, если число k является корнем уравнения (10.12), то функция у = еkx есть решение однородного уравнения (10.9). Уравнение (10.10) называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения (10.9).
|
Вид общего решения уравнения (10.9) существенно зависит от того, какие корни имеет характеристическое уравнение (10.10). Обозначим эти корни через k 1 и k 2. Справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА 3. А) Если корни характеристического уравнения вещественные и k1 ≠ k2, то общее решение однородного дифференциального уравнения (10.9) имеет вид
Б) если корни уравнения (10.12) вещественные и равные между собой (k1 = k2 = k), то общее решение уравнения (10.9) имеет вид
В) если корни характеристического уравнения комплексные (k1 = а + bi, k2 = а — bi, где i = , a и b — вещественные числа), то общее решение уравнения (10.9) имеетвид
где а = -р/2, b = . Во всех трех случаях С1 и С2 — произвольные постоянные.
Заметим, что когда дискриминант характеристического уравнения (10.12) отрицательный, корни характеристического многочлена с действительными коэффициентами представляют собой комплексно-сопряженные числа; в случае В использована их алгебраическая форма.
Рассмотрим примеры отыскания общих решений однородных дифференциальных уравнений второго порядка.
Решение. Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет вид
Его корни вещественные и различны: k 1 = 1, k 2 = 4. Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид
Решение. Составим характеристическое уравнение:
Оно имеет кратный корень k =3; следовательно, общее решение данного однородного уравнения имеет вид
Решение. Соответствующее характеристическое уравнение
имеет дискриминант, равный —1, и, значит, комплексно-сопряженные корни таковы: k 1 = 1 + i, k 2 = 1 — i, где i = — мнимая единица. Следовательно, общее решение данного уравнения дается формулой
|
|
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!