Табличная форма производственной функции длительного периода

Данные, приведенные в табл. 2, отражают «закон снижающейся предельной производительности и труда, и капитала». Это выражает­ся в том, что значения величин в столбцах и строках растут медленнее, чем значения, отражающие увеличение соответственно количества при­меняемого труда и объема капитала. Эту особенность производственной функции в длительном периоде необходимо учитывать при выборе алгебраической формы ее представления. Для данной цели не подхо­дит, например, функция вида Q = aL+ bK, где а и b — константы, так как в этом случае предельные производительности факторов произ­водства неизменны.

Типичной формой производственной функции в длительном пери­оде является степенная функция вида:

Q = AL ^а K ^в, (4)

где А, а, в — положительные числа, характеризующие технологию про­изводства.

Широкое применение в экономическом анализе получила функция Кобба — Дугласа¹

Q = L ^α K ^{1– α}.

Таблица 1.2 представляет именно такую функцию. В ней данные, округленные до целых чисел, соответствуют формуле Q = L ^0,75 K ^0,25.

Показатели степеней α и β производственной функции равны ко­эффициентам эластичности выпуска по факторам:

Ε Q, L = MP _L AP_L

Ε Q, K = MP_K АP_{K (5)}

При попытке оценить результативность производства в длительном периоде путем деления общего выпуска продукции на количество ис­пользуемых факторов возникает затруднение из-за того, что нельзя суммировать число рабочих с числом станков или гектарами земли. Тем не менее, определенную характеристику технологии можно полу­чить, наблюдая за изменением выпуска при изменении объемов обоих факторов производства в одно и то же число раз, т.е. меняя масштаб производства. Результат воздействия на выпуск пропорционального изменения обоих факторов называют эффектом масштаба. (При непропорциональном изменении факторов меняется не только масштаб, но и соотношение между количеством труда и объемом капитала; оба они оказывают опре­деленное воздействие на выпуск, поэтому в данном случае изменения результативно­сти производства нельзя связывать лишь с изменением масштаба).

Рост объемов труда и капитала в n раз может сопровождаться уве­личением выпуска: 1) в n раз; 2) более чем в n раз; 3) менее чем в n раз. В первом случае говорят, что технология имеет неизменный эффект мас­штаба, во втором — растущий и в третьем — снижающийся.

Поскольку показатели степеней в производственной функции Q = АL^αKβ показывают, на сколько процентов возрастет выпуск при увеличении соответствующего фактора производства на 1%, то при а + в = 1 постоянный эффект масштаба; при а + в> 1 — растущий, а при а + в< 1 — снижающийся.

Для графического представления производственной функции в дли­тельном периоде в двухмерном пространстве используют семейство линий равного выпуска. Линия равного выпуска, или изокванта, пред­ставляет множество различных сочетаний объемов труда и капитала, при которых достигается один и тот же объем выпуска. Из табл. 2 сле­дует, что 57 ед. продукции можно выпустить при трех различных ком­бинациях труда и капитала: K ₁ = 4, L ₁ = 6; K ₂ = 3, L ₂ = 7; K₃ = 2, L₃ = 9.

Кроме этих трех комбинаций труда и капитала существует множество других, при кото­рых по технологии, характери­зующейся производственной функцией Q = L, K, тоже можно произвести 57 ед. про­дукции. Соединив все точки, представляющие эти комбина­ции в системе координат K,L, получим изокванту 57. Ана­логично строится изокванта для любого другого объема вы­пуска, в результате производ­ственная функция в длинном периоде предстает в виде се­мейства или карты изоквант (рис. 2). Изокванта является одним из основных инструментов графическо­го анализа технической результативности производства. Поэтому вы­ясним, чем определяются ее конфигурация и расположение в простран­стве K, L.

Поскольку производственная функция выражает зависимость меж­ду количеством используемых факторов и максимально возможным выпуском, то изокванта представляет множество сочетаний минималь­но необходимых объемов труда и капитала для заданного выпуска. Это означает, что изокванта не может иметь положительный наклон.

Расположение изокванты отно­сительно осей координат определя­ется соотношением эластичностей выпуска по факторам производства. Если ε _{Q , L} = ε _{Q , K}, то изокванта симметрична биссектрисе, ис­ходящей из начала координат. При ε _{Q , L} > ε _{Q , K} она имеет относительно больший наклон к оси, на которой откладывается объем труда, а при ε _{Q , K} > ε _{Q , L} — наоборот.

Карта изоквант наглядно ото­бражает эффект масштаба. Изокванты, соответствующие Q = Q ₀, Q = 2 Q ₀, Q = 3 Q ₀, …, Q = nQ ₀, при технологии с постоянным эффек­том масштаба располагаются от­носительно друг друга на одина­ковом расстоянии. При техно­логии с растущим эффектом от масштаба они приближаются друг к другу по мере увеличения выпуска, а с уменьшающим - ото­двигаются.

Изокванта нагляд­но представляет взаимозаменяе­мость факторов производства: за­данный объем продукции можно эффективно произвести при раз­личных сочетаниях труда и капитала (различной капиталовоору женности труда). В какой пропорции один из факторов можно заменить другим, зависит от исходной капиталовооруженности труда. Мерой взаимозаменяемости факторов производства служит предель­ная норма технического замещения MRTS (marginal rate of technical sub­stitution), которая показывает, на сколько единиц можно уменьшить один из факторов при увеличении другого на единицу, сохраняя выпуск неиз­менным.

Величина MRTS факторов производства определяется их предель­ной производительностью и равна соотношению этих показателей по труду и по капиталу.