История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2017-07-01 | 673 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1. Тригонометрическая система. Ее ортогональность и замкнутость
Пусть одномерный тор, можно считать 2 p -периодической, если продолжить ее на всю прямую равенством
одномерный тор
Пусть интегрируемая по Риману функция на Т.
Тригонометрическая система имеет вид
Теорема. Тригонометрическая система ортогональна на Т.
Доказательство проведём в три этапа.
1)
2)
3) Найдём скалярные квадраты:
Доказано.
Теорема. Тригонометрическая система является замкнутой в пространстве
Доказательство. Полиномы порядка n по тригонометрической системе обычно записывают следующим образом: Размерность подпространства тригонометрических полиномов порядка n равна Доказательство теоремы будет осуществлено в несколько этапов с помощью метода промежуточного приближения.
Пусть
1) Любую интегрируемую функцию можно в среднеквадратичном приблизить кусочно-постоянной функцией. Пусть
Т.к. выполнены неравенства
Итак, существует кусочно-постоянная функция .
2) Любую кусочно-постоянную функцию можно в среднеквадратичном приблизить непрерывной 2 p -периодической функцией.
Пусть
3) Любую непрерывную 2 p- периодическую функцию можно приблизить тригонометрическим полиномом равномерно. Это есть
Теорема Вейерштрасса.
Из связи между среднеквадратичной и равномерной нормы вытекает, что этот полином близок к непрерывной функции и в среднеквадратичном:
4) Подведём итоги: любую интегрируемую функцию можно приблизить в среднеквадратичном тригонометрическим полиномом:
2. Тригонометрические ряды Фурье интегрируемых функций
Тригонометрический ряд Фурье обычно записывают следующим образом:
|
где коэффициенты Фурье вычисляются по следующим формулам:
В случае чётной и нечётной функций запись ряда Фурье можно упростить:
Выпишем тригонометрический ряд Фурье и коэффициенты Фурье для функции с периодом
3. Сходимость ряда Фурье в среднеквадратичном. Равенство Парсеваля
Из теоремы о замкнутости тригонометрической системы вытекают
Следствие 1. Тригонометрическая система является базисом в пространстве
в среднеквадратичном:
Следствие 2. справедливо равенство Парсеваля
Следствие 3. и для величины наилучшего среднеквадратичного приближения: справедливо равенство
Задача. Сформулировать следствия 1-3 для периодических функций с периодом l.
Пример 1. Написать ряд Фурье для функции
Т.к. разложение в тригонометрический ряд Фурье единственно и наша функция уже является тригонометрическим рядом, то данный ряд и есть ее разложение в ряд Фурье.
Пример 2. Написать ряд Фурье для функции
ЛЕКЦИЯ 14
|
|
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!