Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Топ:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2017-07-01 | 400 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1. Степенные ряды. Поточечная сходимость
Степенным рядом называется ряд вида коэффициенты степенного ряда,
Нашей основной задачей будет исследование области поточечной сходимости, равномерной сходимости и свойств суммы (1).
2. Радиус и интервал поточечной сходимости. Формула Коши-Адамара
Положительное число называется радиусом сходимости ряда (1), если при ряд (1) сходится, а при Интервал называется интервалом сходимости.
Теорема 1(об области поточечной сходимости). Любой ряд вида (1) имеет радиус сходимости Точнее:
1) если то область сходимости
2) если
3) если то при ряд (1) сходится, а при ряд (1) - расходится, причём в интервале сходимости ряд (1) будет сходиться абсолютно.
Доказательство. При доказательстве будем использовать радикальный признак Коши в следующей форме:
1) если то ряд (2) сходится;
2) если то ряд (2) расходится и
Исследуем абсолютную сходимость ряда (1):
1)
2) сходится абсолютно.
Доказано.
Пример. Исследовать сходимость ряда
Исследуем абсолютную сходимость ряда.
Итак, область абсолютной сходимости - область сходимости ряда -
ЛЕКЦИЯ 6
Равномерная сходимость степенного ряда. Свойства суммы степенного ряда
1. Равномерная сходимость степенного ряда
Теорема 2 (область равномерной сходимости). Степенной ряд (1) сходится равномерно на любом отрезке, лежащим в интервале сходимости Если ряд (1) сходится при то он сходится равномерно на любом отрезке вида , где Если ряд (1) сходится при то он сходится равномерно на любом отрезке вида где Если ряд (1) сходится при то он сходится равномерно на отрезке
Доказательство. Пусть (1) сходится в интервале Покажем, что ряд (1) сходится равномерно на отрезке Т.к. ряд (1) сходится при абсолютно, то мы можем воспользоваться признаком равномерной сходимости Вейерштрасса:
|
Пусть (1) сходится при Достаточно доказать равномерную сходимость на отрезке Воспользуемся признаком равномерной сходимости Абеля:
1)
2) равномерная ограниченность
3) ряд
Условия выполнены и значит ряд (1) сходится равномерно на
Доказано.
2. Свойства суммы степенного ряда
Теорема 3. Степенной ряд в интервале сходимости является бесконечно дифференцируемой функцией и его можно дифференцировать и интегрировать в интервале сходимости почленно:
Доказательство вытекает из описания области равномерной сходимости степенного ряда и трёх теорем о свойствах суммы функционального ряда и того, что при почленном интегрировании и дифференцировании радиус сходимости не меняется: радиус сходимости ряда (1).
радиус сходимости продифференцированного ряда (1).
радиус сходимости проинтегрированного ряда (1), т.е. радиус сходимости не изменился.
Доказано.
Замечание. Непрерывность суммы степенного ряда можно гарантировать на множестве если в область сходимости входит точка Пример:
ЛЕКЦИЯ 7
Ряд Тейлора. Единственность разложения функции в степенной ряд. Достаточное условие разложимости. Ряд Тейлора-Маклорена для функций
1. Ряд Тейлора. Единственность разложения функции в степенной ряд
Если функция раскладывается в степенной ряд (1) в некоторой окрестности точки а, то эта функция является бесконечно дифференцируемой в этой окрестности.
Пример.
непрерывна и имеет производные любого порядка и при
Производная в нуле:
Теорема (о единственности разложения функции в степенной ряд). Если в некоторой окрестности точки а
Степенной ряд вида называется рядом Тейлора в окрестности точки а.
Таким образом, если функция раскладывается в степенной ряд, то он является рядом Тейлора. Например:
Доказательство.
|
Доказано.
Вернёмся к предыдущему примеру. Если ранее введённая функция раскладывается в степенной ряд в некоторой окрестности точки противоречие с возможностью разложения некоторой функции в некоторой окрестности. Т.е. одной бесконечной дифференцируемости функции недостаточно для разложения в ряд.
2. Достаточное условие разложимости
Исследуем условия разложимости функции в степенной ряд. Для этого воспользуемся формулой Тейлора:
Отсюда, раскладывается в степенной ряд в точке а тогда и только тогда, когда:
Таким образом, вопрос о разложимости связан с ростом производных функции f. Укажем достаточные условия на рост производных для разложимости функций в степенной ряд.
Теорема. Если то
.
Доказательство. Имеем
Убедимся, что Удобнее всего для этого рассмотреть ряд и доказать его сходимость По признаку Даламбера получаем:
ряд сходится, и в таком случае предел общего члена равен нулю.
Доказано.
3. Ряд Тейлора-Маклорена для элементарных функций
Последнее разложение получено почленным дифференцированием предыдущего разложения.
ЛЕКЦИЯ 8
|
|
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!