Тема: «Задачи на переливание»

Цель: Научить решать задачи на переливание жидкостей. Рассмотреть задачи на деление некоторого количества жидкости с помощью двух пустых дополнительных сосудов за наименьшее число переливаний. Рассмотреть задачи на получение некоторого количества жидкости из большого или бесконечного по объему сосуда, водоема или источника с помощью двух пустых сосудов (при переливании можно сливать жидкость в исходный сосуд или водоем)

1. Головоломка. Малоопытный водитель автофургона пытался проехать во двор через туннель, но неточно рассчитал его высоту. В результате машина оказалась заклиненной, да так, что не могла тронуться с места. Шофёр то заводил машину, то выключал двигатель, пытался двигаться вперёд, назад – всё было безрезультатно. Люди останавливались около машины, давали разные советы. Так продолжалось до тех пор, пока рядом не остановился легковая машина, из которой вышел водитель, и что-то тихо сказал малоопытному шофёру. Виновник беспорядка горячо поблагодарил за совет и быстро выполнил несложную работу. Затем без каких-либо препятствий проехал во двор. Какое действие выполнил шофёр? Ответ: Шофёр слегка выпустил воздух из колёс.

2. Решение задач по теме.

Методические указания "Решение задач на переливание"

В задачах на переливания требуется указать последовательность действий, при которой осуществляется требуемое переливание и выполнены все условия задачи. Если не сказано ничего другого, считается, что

- все сосуды без делений,

- нельзя переливать жидкости "на глаз"

- невозможно ниоткуда добавлять жидкости и никуда сливать

Мы можем точно сказать, сколько жидкости в сосуде, только в следующих случаях.

1) знаем, что сосуд пуст,

2) знаем, что сосуд полон, а в задаче дана его вместимость,

3) в задаче дано, сколько жидкости в сосуде, а переливания с использованием этого сосуда не проводились

4) в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, и после переливания вся жидкость поместилась в один из них

5) в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, известна вместимость того сосуда, в который переливали, и известно, что вся жидкость в него не поместилась: мы можем найти, сколько ее осталось в другом сосуде

Рассмотрим задачи.

1) Задача№1. Парное молоко

Бидон емкостью 10 л наполнен парным молоком. Требуется перелить из этого бидона 5 л молока в семилитровый бидон, используя при этом трехлитровый бидон.

Решение: Будем "шаги" переливаний записывать в виде строки из трех чисел.

При этом сосуды размещены слева направо по мере убывания их вместимости:

 

 

Шаги	Бидон
10 л	7 л	3 л
1-й
2-й
3-й
4-й
5-й
6-й
7-й
8-й

Задача №2. У подножья высокого тасхыла, на берегу тихой речки был небольшой аул. Жили в нем два брата-охотника. Старшего брата звали Каалка, младшего Копчон. Отправляет старший брат младшего за водой и дает ему два бурдюка, вместимостью 8л и 5л и просит принести ровно 7л воды. Сможет ли Копчон выполнить просьбу старшего брата?

Решение:

Ходы
8л	–				–
5л		–					–

Задача №3. Жила-была девушка по имени Абахай Пахта, что означает красавица: сорок кос на плечах, тридцать кос на спине расстилались, точно струйки родниковой воды. Два охотника – Хара Моос и Хара Торгы – решили счастье свое испытать, пошли к ней, чтобы в жены взять. Девушка хитрая была и сказала: “Тому я в жены достанусь, кто сможет кумыс из 12л бурдюка перелить поровну”, - и подает им еще два бурдюка вместимостью 5л и 8л. Смогут ли охотники справиться с нелегкой задачей?

Решение:

Ходы
12л
8л
5л

Задача №4. Когда-то давным-давно жил, говорят, один сказитель и хайджи по имени Агол. Его знали во всех ближних и дальних аулах, и всюду он был желанным гостем. Узнал народ, что приехал сказитель и к вечеру и стар и мал собирался послушать знаменитого Агола. Приехал как-то Агол к баю по имени Хырна и привез ему в подарок 8л араки (вино домашнее). Обрадовался Хырна-бай и крикнул “Это все мне”. Но Хайджи подал ему бурдюки вместимостью 5л и 3л и сказал отлить ровно 1л, а остальным вином угостить своих братьев. Смогут ли братья попробовать араки знаменитого сказителя?

Решение:

Ходы
8л
5л
3л

Задача №5. Имеются три сосуда вместимостью 8, 5 и 3 литра. Наибольший сосуд полон молока. Как разделить это молоко на две равные части, используя остальные сосуды?

Решение.

В таблице указан объем молока в литрах после каждого переливания.

8-литровый сосуд	5-литровый сосуд	3-литровый сосуд

После переливания, оказалось, по 4 л молока в 8-литровом и 5-литровом сосудах, а это и требовалось.

Задача №6. В бочке не менее 10 л бензина. Как отлить из неё 6 л с помощью девятилитрового ведра и пятилитрового бидона?

Решение. В таблице указан объем бензина в литрах после каждого переливания.

бочка	ведро	бидон
не менее 10
не менее 5
не менее 5
не менее 0
не менее 0
не менее 9
не менее 9
не менее 4
не менее 4

3. Конкурс«А ну-ка Математики» Все учащиеся разбиваются на 2-3 команды.

Решение необходимо представить в виде таблицы переливаний

1) Две группы альпинистов готовятся к восхождению. Для приготовления еды они используют примусы, которые заправляют бензином. В альплагере имеется 10-литровая канистра бензина. Имеются еще пустые сосуды в 7 и 2 литров. Как разлить бензин в два сосуда по 5 литров в каждом?

2) Как разделить поровну между двумя семьями 12 литров хлебного кваса, находящегося в двенадцатилитровом сосуде, воспользовавшись для этого двумя пустыми сосудами: 8-литровым и 3-литровым? [1]

3) У Карлсона есть ведро варенья, оно вмещает 7 литров. У него есть 2 пустых ведерка - 4-литровое и 3-литровое. Помогите Карлсону отлить 1 литр варенья к чаю в меньшее (3-литровое) ведерко, оставив 6 литров в большом (7-литровом) ведре.

4) Летом Винни Пух сделал запас меда на зиму и решил разделить его пополам, чтобы съесть половину до Нового Года, а другую половину - после Нового года. Весь мед находится в ведре, которое вмещает 6 литров, у него есть 2 пустые банки - 5-литровая и 1-литровая. Может ли он разделить мед так, как задумал?

5) На другой год Винни Пух запасся 10 литрами меда. Под руками у него два ведра - 7-литровое и 4-литровое. Как ему разделить мед пополам?

6) (Пересыпашка) Разбойники раздобыли 10 унций (1 унция - примерно 30 см³) золотого песка. У них имеется две пустые коробки, емкостью 6 и 4 унции. Как им разделить песок пополам? Если на одно пересыпание требуется 1 минута, то сколько времени они будут делить свою добычу?

7) Некто имеет полный бочонок сока емкостью 12 пинт (пинта - 0,57 литра) и хочет подарить половину своему другу. Но у него нет сосуда в 6 пинт, а есть два сосуда в 8 пинт и 5 пинт. Каким образом можно налить 6 пинт в сосуд емкостью 8 пинт? [1]

8)Белоснежка ждет в гости гномов. Зима выдалась морозной и снежной, и Белоснежка не знает наверняка, сколько гномов решатся отправиться в далекое путешествие в гости, однако знает, что их будет не более 12. В ее хозяйстве есть кастрюлька на 12 чашек, она наполнена водой, и две пустых - на 9 чашек и на 5. Можно ли приготовить кофе для любого количества гостей, если угощать каждого одной чашкой напитка?

9)Разрешима ли предыдущая задача, если в хозяйстве у Белоснежки имеются кастрюлька с водой на 12 чашек и пустые кастрюльки на 9 и 7 чашек?

10)Для путешествия по морю необходим запас пресной воды. В плавании вода расходуется со скоростью 1 бочка в сутки. В некоторый момент времени запас воды на берегу составлял 8 бочек, и вода находилась в баке, заполненном до краев. На яхте имеется такой же бак, объемом 8 бочек, но пустой. На сколько дней можно планировать путешествие, если с собой нельзя брать лишнюю воду, а в распоряжении имеется еще две пустых емкости объемом 3 и 6 бочек и их можно использовать для переливания воды?

Ответы:

1. Решение возможно за 3 хода.

N	Действие	А(10л)	Б(7л)	В(2л)
	А-Б
	Б-В
	В-А
4	Б-В	5	3	2
5	В-А	7	3	0
6	Б-В	7	1	2
7	В-А	9	1	0
8	Б-В	9	0	1
9	А-Б	2	7	1
10	Б-В	2	6	2
11	В-А	4	6	0
12	Б-В	4	4	2
13	В-А	6	4	0
14	Б-В	6	2	2
15	В-А	8	2	0
16	Б-В	8	0	2
17	В-А	10	0	0

Возможно получение любого количества литров:

1 литр - за 6 ходов (по схеме), min - за 2	6 литров - за 3 хода
2 литра - за 1 ход	7 литров - за 1 ход
3 литра - за 1 ход	8 литров - за 1 ход
4 литра - за 4 хода	9 литров - за 7 ходов
5 литров - за 2 хода

2. Решение возможно за 4 хода.

N	Действие	А(12л)	Б(8л)	В(3л)
	А-В
	В-Б
	А-В
	В-Б
5	А-В	3	6	3
6	В-Б	3	8	1
7	Б-А	11	0	1
8	В-Б	11	1	0
9	А-В	8	1	3
10	В-Б	8	4	0
11	А-В	5	4	3
12	В-Б	5	7	0
13	А-В	2	7	3
14	В-Б	2	8	2
15	Б-А	10	0	2
16	В-Б	10	2	0
17	А-В	7	2	3
18	В-Б	7	5	0
19	А-В	4	5	3
20	В-Б	4	8	0
21	Б-А	12	0	0

 

1 литр - за 6 ходов (по схеме) min - за 2 хода	7 литров - за 3 хода
2 литра - за 4 хода	8 литров - за 1 ход
3 литра - за 1 ход	9 литров - за 1 ход
4 литра - за 1 ход	10 литров - за 5 ходов
5 литров - за 2 хода	11 литров - за 7 ходов
6 литров - за 3 хода

3. Решение возможно за 4 хода.

N	Действие	А(7л)	Б(4л)	В(3л)
	А-Б
	Б-В
	В-А
	Б-В
5	А-Б	2	4	1
6	Б-В	2	2	3
7	В-А	5	2	0
8	Б-В	5	0	2
9	А-Б	1	4	2
10	Б-В	1	3	3
11	В-А	4	3	0
12	Б-В	4	0	3
13	В-А	7	0	0

Возможно получение любого количества литров:

1 литр - за 2 хода	4 литра - за 1 ход
2 литра - за 4 хода	5 литров - за 5 ходов
3 литра - за 1 ход	6 литров - за 3 хода

4. Решение возможно за 5 ходов.

N	Действие	А(6л)	Б(5л)	В(1л)
	А - Б
	Б - В
	В - А
	Б - В
	В - А
6	Б-В	3	2	1
7	В-А	4	2	0
8	Б-В	4	1	1
9	В-А	5	1	0
10	Б-В	5	0	1
11	В-А	6	0	0

Возможно получение любого количества литров:

1 литр - за 1 хода	4 литра - за 2 хода
2 литра - за 3 хода	5 литров - за 1 ход
3 литра - за 4 хода

5. Решение возможно за 8 ходов.

N	Действие	А(10л)	Б(7л)	В(4л)
	А-В
	В-Б
	А-В
	В-Б
	Б-А
	В-Б
	А-В
	В-Б
9	А-В	1	5	4
10	В-Б	1	7	2
11	Б-А	8	0	2
12	В-Б	8	2	0
13	А-В	4	2	4
14	В-Б	4	6	0
15	А-В	0	6	4
16	В-Б	0	7	3
17	Б-А	7	0	3
18	В-Б	7	3	0
19	А-Б	3	3	4
20	В-Б	3	7	0
21	Б-А	10	0	0

Возможно получение любого количества литров:

1 литр - за 4 хода	6 литров - ха 1 ход
2 литра - за 3 хода	7 литров - за 1 ход
3 литра - за 1 ход	8 литров - за 9 ходов
4 литра - за 1 ход	9 литров - за 5 ходов
5 литров - за 7 ходов

6. Разделить пополам 10 унций, т.е. получить 5 и 5 унций с помощью коробок в 6 и 4 унций невозможно, т.к. невозможно получить нечетные числа путем вычитания и прибавления четных чисел к четному числу. Возможны следующие действия:

N	Действие	А(10ун)	Б(6ун)	В(4ун)
	А-Б
	Б-В
	В-А
	Б-В
	А-Б
	Б-В
	В-А
	Б-В
	В-А

Возможно получение четного количества унций:

2 унции - за 2 хода	6 унций - за 1 ход
4 унции- за 1 ход	8 унций - за 3 хода

7. Решение возможно за 7 ходов.

N	Действие	А(12п)	Б(8п)	В(5п)
	А-Б
	Б-В
	В-А
	Б-В
	А-Б
	Б-В
	В-А
	Б-В
	В-А
	Б-В
	А-Б
	Б-В
	В-А
	Б-В
	А-В
	Б-В
	В-А
	Б-В
	В-А
	Б-В
	А-Б
	Б-В
	В-А
	Б-В
	В-А

Возможно получение любого количества пинт:

1 пинта - за 5 ходов	7 пинт - за 1 ход
2 пинты - за 3 хода	8 пинт - за 1 ход
3 пинты - за 2 хода	9 пинт - за 3 хода
4 пинты - за 1 ход	10 пинт - за 5 ходов
5 пинт - за 1 ход	11 пинт - за 9 ходов
6 пинт - за 6 ходов

8. Приготовить можно любое количество порций:

N	Действие	А(12ч)	Б(9ч)	В(5ч)
	А-В
	В-Б
	А-В
	В-Б
	Б-А
	В-Б
	А-В
	В-Б
	А-В
	Б-В
	Б-А
	В-Б
	А-В
	В-Б
	А-В
	В-Б
	Б-А
	В-Б
	А-В
	В-Б
	А-В
	Б-А
	В-Б
	А-В
	В-Б
	Б-А

 

1 чашка - за 4 хода	7 чашек - за 1 ход
2 чашки - за 3 хода	8 чашек - за 3 хода
3 чашки - за 1 ход	9 чашек - за 1 ход
4 чашки - за 2 хода	10 чашек - за 11 ходов
5 чашек- за 1 ход	11 чашек - за 5 ходов
6 чашек - за 7 ходов

9. Для указанных объемов кастрюлек невозможно отмерить 6 чашек, т.е. невозможно разделить воду пополам.

N	Действие	А(12ч)	Б(9ч)	В(7ч)
	А-Б
	Б-В
	В-А
	Б-В
	А-Б
	Б-В
	В-А
	Б-В
	А-Б
	В-А
	Б-В
	В-А
	Б-В
	А-Б
	Б-В
	В-А
	Б-В
	А-Б
	Б-В
	В-А
	Б-В
	А-Б
	В-А
	Б-В
	В-А

Возможно получение любого количества чашек кроме 6:

1 чашка - за 5 ходов	7 чашек - за 1 ход
2 чашки - за 2 хода	8 чашек - за 7 ходов
3 чашки - за 1 ход	9 чашек - за 1 ход
4 чашки - за 6 ходов	10 чашек - за 3 хода
5 чашек - за 1 ход	11 чашек - за 12 ходов

10. Путешествие может планироваться на 2, 3, 5 или 6 дней.

N	Действие	А(8б)	Б(6б)	В(3б)
	А-Б
	Б-В
	В-А
	Б-В
	В-А

Возможно получение следующего запаса воды:

2 бочки - за 1 ход	5 бочек - за 1 ход
3 бочки - за 1 ход	6 бочек - за 1 ход

4. Задачи по теме на переливание из бесконечного по объёму сосуда.

1) Для разведения картофельного пюре быстрого приготовления "Зеленый великан" требуется 1 л воды. Как, имея два сосуда емкостью 5 и 9 литров, налить 1 литр воды из водопроводного крана?

2) Для марш-броска по пустыне путешественнику необходимо иметь 4 литра воды. Больше он взять не может. На базе, где имеется источник воды, выдают только 5-литровые фляги, а также имеются 3-литровые банки. Как с помощью одной фляги и одной банки набрать 4 литра во флягу?

3) В походе приготовили ведро компота. Как, имея банки, вмещающие 500г и 900г воды, отливать компот порциями по 300 г?

4) Нефтяники пробурили скважину нефти. Необходимо доставить в лабораторию на экспертизу 6 литров нефти. В распоряжении имеется 9-литровый и 4-литровый сосуды. Как с помощью этих сосудов набрать 6 литров?

5) Как решить предыдущую задачу, если на экспертизу необходимо доставить 5 литров нефти, а емкости сосудов составляют соответственно 7 литров и 3 литра?

Как с помощью двух бидонов емкостью 17 литров и 5 литров отлить из молочной цистерны 13 литров молока?

6) Современный вариант старинной задачи.

К продавцу, стоящему у бочки с квасом, подходят два веселых приятеля и просят налить им по литру кваса каждому. Продавец замечает, что у него есть лишь две емкости в 3 л и 5 л, и поэтому он не может выполнить их просьбу. Приятели продолжают настаивать и дают продавцу 100 рублей (сумма зависит от финансово-экономической ситуации в стране и соответственно варьируется) с одним условием, что они получат свои порции одновременно. После некоторого размышления продавец сумел это сделать. Каким образом?

Решения. Для решения приведенных задач требуется 4, 6, 8 и более ходов.

Приведем решения без полного возможного набора ходов. Объем жидкости в условном сосуде А будет соответствовать объему слитой жидкости, объемы Б и В - заданным объемам по условию задачи. Действие, обозначенное одной буквой, например, Б, означает наполнение сосуда из источника (водоема, исходного сосуда).

1. Задача имеет решение за 4 хода.

N	Действие	А	Б(9л)	В(5л)
	В
	В-Б
	В
	В-Б

2. Задача решается за 6 ходов. Лишнюю воду сливаем в водоем.

N	Действие	А	Б(5л)	В(3л)
	Б
	Б-В
	В-А
	Б-В
	Б
	Б-В

3. Для решения требуется 8 ходов. Компот сливаем в ведро.

N	Действие	А	Б(900г)	В(500г)
	Б
	Б-В
	В-А
	Б-В
	Б
	Б-В
	В-А
	Б-В

4. Решение достигается за 8 ходов. Нефть из сосуда В два раза выливается.

N	Действие	А	Б(9л)	В(4л)
	Б
	Б-В
	В-А
	Б-В
	В-А
	Б-В
	Б
	Б-В

5. Задача также решается за 8 ходов, аналогично предыдущей.

N	Действие	А	Б(7л)	В(3л)
	Б
	Б-В
	В-А
	Б-В
	В-А
	Б-В
	Б
	Б-В

6. Задача имеет решение за 14 переливаний. Молоко из 17-литрового бидона сливается в цистерну.

N	Действие	А	Б(17л)	В(5л)
	В
	В-Б
	В
	В-Б
	В
	В-Б
	В
	В-Б
	Б-А
	В-Б
	В
	В-Б
	В
	В-Б

Можно дать достаточно короткое словесное решение задачи: с помощью 5-литрового бидона налить в 17-литровый бидон 15 литров молока. Затем, наполнив еще раз 5-литровый бидон, налить недостающие 2 литра в больший бидон. Тогда в 5-литровом бидоне останется 3 литра молока. Вылив 17 литров молока обратно в цистерну, налить эти 3 литра молока в 17-литровый бидон. Остается добавить туда еще 10 литров молока.

7. Секрет задачи в том, что предложенная сумма, по-видимому, превышает стоимость всего кваса в бочке, а это значит, что в некоторый момент продавец имеет возможность вылить остатки кваса из бочки и использовать ее как дополнительную емкость. Для определения того, в какой момент надо выливать квас из бочки, надо обратиться к предлагаемой в [2] модели решения задачи, аналогии с движением шарика и начертить эту схему. Из нее следует, что для решения задачи мы должны получить 7 литров. А задача получается комбинированной: сначала надо решить задачу II типа, а потом вариант I-го типа.

Сначала получим 7 литров с помощью 5 и 3-литровых сосудов:

N	Действие	А	Б(5л)	В(3л)
	Б
	Б-В
	В-А
	Б-В
	Б

Далее сливаем квас из бочки и переливаем в нее 7 литров из емкостей. Теперь решаем задачу по типу I:

N	Действие	А(7л)	Б(5л)	В(3л)
	А-В
	В-Б
	А-В
	В-Б

Так как приятели должны получить порции по 1 л одновременно из сосудов Б и В, придется Б освободить и перелить 1 л из бочки.

Приложение 12

Тема: «Задачи на перевозки»

Цель: отработать навыки решения задач на перевозки с помощью интерактивного модуля.

1. Решение задач по теме.

Переправы без условий. Переправляющиеся находятся на одном берегу.

Переправы без условий. Переправляющиеся находятся на разных берегах.

Переправы с условиями. Условия на вместимость лодки.

Переправы с условиями. Затрудненные переправы. Возможно наличие острова.

Рассматривается разное количество героев, участвующих в переправе, и различная вместимость лодки.

1. Паромщик многие годы зарабатывал на жизнь тем, что перевозил через реку людей, их скарб и животных. Платы он большой не взимал, поэтому люди охотно пользовались его услугами, но за всю жизнь так и не удалось ему скопить денег на новый большой паром. На его маленьком паромчике хватало место только для самого паромщика и ещё чего-нибудь одного. Однажды ему надо было переправить через реку волка, козу и капусту. Но вот неудача волка с козой без присмотра оставлять нельзя, козу с капустой тоже. Объясните паромщику как в целости и сохранности переправить через реку капусту животных?

Ответ: Сначала переправить на другой берег козу, оставив волка с капустой. За тем перевезти капусту, а козу вернуть назад. Оставив козу и переправив волка на берег, где лежит капуста, паромщик может спокойно вернуться и переправить волка.

2. Волк и волчонок, медведь и медвежонок, лис и лисёнок решили переправиться с левого берега реки на правый берег. У них была лодка, в которую помещались любые двое из них. Как им переправиться на другой берег, если нельзя оставлять детёнышей с чужими папами без своего папы.

3. Отряд солдат подходит к реке, через которую необходимо переправиться. Но мост сломан, а река глубока. Как быть? Вдруг командир замечает двух мальчиков, которые - катаются на лодке недалеко от берега. Но лодка так мала, что на ней может переправиться только один солдат или только двое мальчиков - не больше! Однако все солдаты переправились через реку именно на этой лодке. Как это было сделано?

4. Три рыцаря, каждый в сопровождении оруженосца, съехались на берегу реки, намереваясь переправиться на другую сторону. Им удалось найти маленькую двухместную лодку, и переправа произошла бы легко, но все оруженосцы, словно сговорившись, наотрез отказались оставаться в обществе незнакомых рыцарей без своих хозяев. И все же переправа состоялась, все шесть человек благополучно перебрались на другой берег с помощью одной двухместной лодки. При этом соблюдалось условие, на котором настаивали оруженосцы. Как это было сделано?

Составьте решение и апробируйте его с помощью мультимедийных средств.

5. Двое мальчиков катались на лодке. К берегу подошел отряд солдат. Лодка так мала, что на ней может переправиться только один солдат или двое мальчиков. Однако все солдаты переправились через реку именно на этой лодке. Как?

6. По длинному узкому каналу один за другим идут три парохода. Навстречу им – еще три парохода (см. рисунок). Канал такой узкий, что два парохода в нем разъехаться не могут, но в канале есть залив, где может поместиться один пароход. Могут ли пароходы разъехаться?

7. В кабине лифта 20-этажного дома есть две кнопки. При нажатии на одну из них лифт поднимается на 13 этажей, а при нажатии на другую опускается на 8 этажей. Как попасть с 13-го этажа на 8-й?

8. На рисунке изображен план яблоневого сада (точки - яблони). Садовник собирал яблоки со всех яблонь. Начал он с клетки, отмеченной звездочкой, и обошел одну за другой все клетки, как занятые яблонями, так и свободные, ни разу при этом, не возвращаясь на пройденную клетку. По диагонали он не ходил и на заштрихованных клетках не был, так как там помещались различные строения. Закончив обход, садовник оказал