Тема: «Восстановление знаков действий и цифр натуральных чисел»

Цель: рассмотреть задачи, где часть цифр чисел известна, а большая часть нет; задачи на запись натуральных чисел с помощью сложения, вычитания, умножения, деления, а так же скобок. Обратить внимание на неоднозначность решения таких задач.

1. Восстановите запись:

1). +** Решение: Чему равна первая цифра суммы? Очевидно,

** только 1, поскольку слагаемые – числа двузначные.

* 97А какими могут быть эти слагаемые? Если попробовать сложить, например, 96 и 91, то получится 187 – слишком мало. Нужно брать максимально возможные слагаемые: 99+98=197. Если хотя бы одно из этих двух слагаемых уменьшить, то сумма станет меньшей 197. Ответ: 99+98=197

2) ***

- **

1 Ответ: 100 – 99 = 1

1) 91·** = *** Ответ: 91 · 10 = 910

4) *3·3* = 3**

Какова первая цифра первого множителя? Так как первая цифра произведения 3, то она может быть равна только 1. Найдём вторую цифру второго множителя. Если она равна 1, то получим: 13·31=403 – много. Следовательно, она меньше 1, т.е. равна 0. Ответ 13·30 = 390

1) ** · * - * = 1 Ответ: 10 · 1 – 9 = 1

6) **1 · 9 = *** Ответ: 101·9 = 909, 111·9 = 999

7)Сколько всего решений имеет задача? Восстановите запись: *** · 9=***

Ответ: 12

2. Задачи на сложение

В пустые клетки надо поместить такие цифры, чтобы пример был решён правильно. При этом в одной клетке должна быть только одна цифра, причём одна и та же цифра не должна встречаться дважды (это относится ко всем заданиям данного раздела).

1.

+

=

2. В этом задании все числа чётные.

+

=

3. В этом задании числа от 1 до 3.

+

=

Новые задания – равенства. Сумма чисел в его левой части должна быть равна сумме чисел в правой части. Дополнительное условие: сумма слагаемых может быть двузначным числом. Но в клетки, как и во всех остальных заданиях данного класса, записываются только однозначные числа.

4.

+

=

+

5.

+

=

+

6. В задании все числа чётные.

+

=

+

3. Задачи на сложение и вычитание

7.

+

=

8.

+

=

9.

–

=

4. Задачи и упражнения.

1. У Коли в тетради написано: 8 8 8 8 8 8 8 8=1000. Оказывается, он в некоторых местах забыл поставить знаки сложения. Где именно?

2. Коля написал 21:8-5*2+6:3=16.Потом выяснилось, что он забыл поставить скобки. В каких местах?

3. В записи 9*6+14:2+2:3+7=22 расставьте две пары скобок так, чтобы получилось верное равенство.

4. В записи 5 5 5 5 5 5=615 расставьте знаки сложения так, чтобы получилось верное равенство.

5. В записи 9 9 9 9 9 9 9 9 расставьте знаки сложения и вычитания так, чтобы значение получившегося выражения было равно 1998.

 

 

Приложение 9

Тема: «Числовые ребусы»

Цель: рассмотреть задачи, где одинаковые цифры обозначаются одинаковыми буквами. Если ответов несколько, то требуется найти их все. Развивать логическое мышление, внимание, вырабатывать собственную систему эвристических приёмов, позволяющих решать незнакомые задачи.

Игра «Математик – бизнесмен».

1. Задания, стоимостью 50 рублей.

(знаки умножения, деления и скобки не применять; напоминаем, что в этой главе при пооперационных вычислениях не должны получаться числа, большие, чем 10; во всех числовых выражениях цифры должны располагаться по порядку слева направо, начиная с единицы)

1. Представьте число 0 посредством нескольких последовательно расположенных цифр и знаков "плюс" и "минус" (как уже отмечалось, во всех подобных задачах данного раздела получившееся числовое выражение должно начинаться с цифры 1). Укажите два способа.

2. Изобразите таким же образом единицу (запись в виде одной цифры 1 в подобных задачах не допускается). Сколько цифр в получившемся числовом выражении?

3. Двумя способами выразите число 2 с помощью некоторого количества значащих цифр.

4. Напишите подобным же образом число 3. Также найдите два способа.

5. Представьте четвёрку посредством нескольких последовательно расположенных цифр.

6. Выразите таким же образом число 5.

7. Изобразите число 6 с помощью некоторого количества значащих цифр.

8. Напишите подобным же образом число 7.

9. Представьте восьмёрку через несколько последовательно расположенных цифр. Сколько цифр в получившемся числовом выражении?

10. Двумя способами изобразите число 9 с помощью некоторого количества значащих цифр.

11. Выразите подобным же образом число 10. Сможете ли вы указать два способа?

Ответы:

1. 1 + 2 – 3; 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8.

2. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6; шесть.

3. 1 + 2 + 3 – 4; 1 + 2 – 3 + 4 + 5 – 6 + 7 – 8.

4. 1 + 2; 1 + 2 – 3 + 4 + 5 – 6.

5. 1 + 2 – 3 + 4.

6. 1 + 2 + 3 + 4 – 5.

7. 1 + 2 + 3.

8. 1 + 2 + 3 – 4 + 5.

9. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7; семь.

10. 1 + 2 – 3 + 4 + 5; 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + 9.

11. 1 + 2 + 3 + 4; 1 + 2 – 3 + 4 + 5 – 6 + 7.

2. Задания стоимостью 100 рублей.

1) Разделить число 181 пополам так, чтобы в результате получилась 1. (Провести дробную черту).

2 ) Петух, стоя на одной ноге, весит 5 кг. Сколько он будет весить, если встанет на обе. Ответ: 5 кг.

3) Часы с боем отбивают один удар за одну секунду. Сколько времени потребуется часам, чтобы отбить 12 часов? Ответ: 11 секунд.

4) В семье у каждого из шести братьев есть по сестре. Сколько детей в этой семье? Ответ: 7.

3. Задания стоимостью 180 рублей.

Задача 1. Какую цифру заменяет квадратик?

В примере на сложение:

+ + ○○ = Δ Δ Δ

различные фигурки заменяют различные цифры. Какую цифру заменяет квадратик?

(A) 9; (B) 8; (C) 7; (D) 6; (E) 5;

Ответ: Максимальное значение суммы трех наших слагаемых равно 9 + 9 + 99 = 117. Значит, Δ Δ Δ = 111.

Минимальное значение числа ○○ равно 111 - 9 - 9 = 93, а само число равно 99.

На долю одного квадратика приходится (111 - 99): 2 = 6.

Ответ - (D).

Задача 2. Заполните свободные клетки!

Заполните свободные клетки "шестиугольника" целыми числами от 1 до 19,

чтобы во всех вертикальных и диагональных рядах сумма чисел, стоящих в одном ряду, была бы одна и та же.

 

 

Сумма чисел от 1 до 19 равна (1+19)· 19:2=190.

Все числа требуется расставить в пять рядов по одному из трех направлений (одна вертикаль и две диагонали).

Следовательно, сумма чисел в одном ряду равна 190:5=38.

Заполнение свободных клеток начинаем с рядов, в которых не хватает одного числа.

Это число должно дополнить сумму имеющихся в ряду чисел до 38. 1) 16+3=19; 38-19=19. 2) 18+3=21; 38-21=17. 3) 18+9=27; 38-27=11.

Рассмотрим диагональ, на которой расположены числа 10, 1, 18. Две пустые клетки на ней должны занимать два числа с суммой 9. Это могут быть только 4 и 5.

Теперь рассмотрим ту диагональ, на которой расположены числа 16, 2, 9. Две пустые клетки на ней должны занимать два числа с суммой 11. Это могут быть только 5 и 6.

Значит, в центре стоит 5, а вторые числа на диагоналях — соответственно 4 и 6. Теперь уже можно однозначно заполнить всю таблицу.

 

Задача 3. Расставьте цифры!

Расставьте цифры 1, 2, 3,..., 8 в клетки неполного квадрата так,

чтобы получить одинаковые суммы по горизонталям, вертикалям и большой диагонали.

Ответ:

 

 

Сумма цифр, которые надо расставить в клетках квадрата, равна:

1 + 2 + 3 +... + 8= [(1 + 8) · 8]:2 = 36.

При равенстве сумм в строках, (в столбцах) сумма в строке, в столбце, а также на большой диагонали составит 36: 3 =12.

Сумму 12 в неполных строке и столбце можно набрать из имеющихся цифр двумя способами: 4 + 8 = 5 + 7 = 12.

Цифра 8 не может находиться на большой диагонали, поскольку на другом конце диагонали могут быть только цифры 5, либо 7 (оба конца большой диагонали принадлежат неполным строке и столбцу).

Ставим на одном конце диагонали цифру 4, на другом - 5 (или 7 - оба варианта идентичны).

В центральную клетку квадрата помещаем цифру 3, обеспечивая сумму цифр 12 по большой диагонали. Дальнейшее заполнение не представляет трудности.

Решение ребусов.

Требуется расшифровать запись арифметического равенства, в котором цифры заменены буквами, причем разные цифры заменены разными буквами, одинаковые - одинаковыми. Предполагается, что исходное равенство верно и записано по обычным правилам арифметики. В частности, в записи числа первая слева цифра не является цифрой 0; используется десятичная система счисления.
Сложение
№1. Животноводческий ребус
Б + Б Е Е Е = М У У У
Решение. Так как при сложении данных чисел цифра Е в разряде десятков поменялась на цифру У, то суммой однозначных чисел Б и Е является двузначное число, начинающееся с единицы. Так как помимо увеличения на единицу цифры в разряде десятков также изменилась и цифра в разряде сотен, то Е = 9, Б = 1, У = 0. Ответ.1 + 1999 = 2000.
2. Кока-Кола

+	К	О	К	А
К	О	Л	А
	_______
В	О	Д	А

№3. Драма

+	У	Д	А	Р
У	Д	А	Р
_________
Д	Р	А	М	А

№4. Кросс

+	С	П	О	Р	Т
С	П	О	Р	Т
К	Р	О	С	С

№5. Собаки

+	Б	А	Р	Б	О	С
	Б	О	Б	И	К
	_______
С	О	Б	А	К	И

№6. Дружба

+	А	Н	Д	Р	Е	Й
	Ж	А	Н	Н	А
	______
Д	Р	У	Ж	Б	А

№7. Молоко. Докажите, что у ребуса нет ни одной расшифровки.

+	К	О	Р	О	В	А
	Т	Р	А	В	А
	________
М	О	Л	О	К	О

№8. Удача

+	Т	Р	У	Д
В	О	Л	Я
_________
У	Д	А	Ч	А

Дополнительное условие: числа ТР и ВО делятся на 13.
№9. Реши, если силен

+	Р	Е	Ш	И
Е	С	Л	И
_________
С	И	Л	Е	Н

№10. Класс

+	С	Т	О	Л
С	Т	У	Л
_________
К	Л	А	С	С

№11. Коля и Оля.
К + О + Л + Я = О Л - Я
Расшифруйте при дополнительном условии: К + О + Л + Я = 21.

Расшифруйте без этого дополнительного условия (более 10 ответов).

 

Приложение 10

Тема: «Логические задачи»

Цель: Развитие у учащихся смекалки, сообразительности, умения рассуждать.

Задача №1. Сколько существует натуральных чисел?

Сколько существует натуральных чисел, меньших 100, которые:
а) делятся одновременно на 2 и на 3?
б) делятся на 2, но не делятся на 3?
в) делятся на 3, но не делятся на 2?
г) делятся на 3, или на 2 (по крайней мере на одно из этих двух чисел)?
д) не делятся ни на 2, ни на 3?

Решение: а) Среди первых 99-ти натуральных чисел делятся на 2 и на 3, т.е. делятся на 6 [99: 6] = 16 чисел.

б) Чисел, делящихся на 2 (четных), среди первых 99-ти [99: 2] = 49. Среди этих чисел есть 16, которые делятся и на 3. Поэтому чисел, которые делятся на 2, но не делятся на 3, в рассматриваемом интервале всего 49 - 16 = 33.

в) Чисел, делящихся на 3, в рассматриваемом интервале 99: 3 = 33. 16 из них делятся также и на 2. Поэтому, чисел, которые делятся на 3, но не делятся на 2, всего 33 - 16 = 17.

г) Количество чисел, которые делятся и на 2 или на 3, определим, добавив к 49 четным числам 17 чисел, которые делятся на 3, но не делятся на 2: 49 + 17 = 66.

д) Всего в рассматриваемом интервале 99 чисел, из них 66 делятся либо на 2, либо на 3. Остается 99 - 66 = 33 числа, которые не делятся ни на 2, ни на 3.

Задача № 2. Какая монета тяжелее?

Из 60-ти одинаковых по виду монет одна отличается от других по массе.
Двумя взвешиваниями на рычажных весах без гирь определить, легче она или тяжелее?

Решение: Разделим подлежащие проверке монеты на 3 равные группы, одну из которых используем в качестве контрольной.

При первом взвешивании кладем на чаши весов по 20 монет.

В случае равновесия, заключаем, что некондиционная монета - в третьей группе.

Убрав монеты с одной из чаш и поместив туда монеты третьей группы, определим, как соотносятся массы настоящей и фальшивой монет. Если при первом взвешивании перевесит одна из чаш, то, заменив монеты, на этой чаше монетами третьей группы (здесь все монеты настоящие),

мы определим, легче ли некондиционная монета настоящей (если чаша с монетами, оставшимися на весах после первого взвешивания, вновь поднимется), либо тяжелее (если весы уравновесятся).

Задача № 3. Лидер оппозиции и логика

В парламенте некоторой страны две палаты, имеющие равное число депутатов.
В голосовании по важному вопросу приняли участие все депутаты, причем воздержавшихся не было. Когда председатель сообщил, что решение принято с преимуществом в 23 голоса, лидер оппозиции заявил, что результаты голосования сфальсифицированы. Как это он понял?

Решение: Общее число депутатов в парламенте - четное (в обеих палатах равное число депутатов). Следовательно, четно суммарное число депутатов, голосовавших за принятие решения и против. Но при четной сумме двух величин четна и их разность. Поэтому, преимущество в 23 голоса. Т.е. разность между числом депутатов, голосующих за принятие решения, и числом депутатов, голосующих против есть не что иное, как фальсификация (либо, что менее вероятно, ошибка при подсчете голосов).

Задача № 4. Задача Костиного дедушки

Доказать, что полусумма двух последовательных простых чисел, начиная с 3, число составное.

Решение: Все простые числа, начиная с 3, - нечетные. Поэтому сумма двух простых чисел, больших 2, - число четное, и полусумма этих чисел (или их среднее арифметическое) - целое число. Среднее арифметическое двух чисел больше меньшего из чисел и меньше большего и располагается на числовой оси между этими числами. Поскольку взяты последовательные простые числа, то между ними всегда находится число составное.

Задача №5. Один мальчик и одна девочка ответили правильно

Четверо ребят обсуждали ответ к задаче. Коля сказал: "Это число 9". Роман: "Это простое число". Катя: "Это четное число". А Наташа сказала, что это число -15. Назовите это число, если и девочки, и мальчики ошиблись ровно по одному разу.
(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 9; (E) 15;

Решение: Предположим, что Коля прав. Тогда обе девочки неправы, так как 9 не равно 15 и 9 - нечетное число, а это противоречит условию задачи. Остается, что прав Роман и тогда не права Наташа, так как 15 не простое число. Остается предположить, что искомое число простое и четно (так как Катя права), а это только 2. Проверка подтверждает, что условие соблюдено.
Итак, верно (В).

Задача №6. Сколько серых мышей у Йозефа?

У Йозефа 100 мышей, некоторые из них белые, некоторые - серые.

Известно, что хотя бы одна мышь серая, а из двух мышей хотя бы одна - белая.

Сколько серых мышей у Йозефа?

(A) 1; (B) 49; (C) 50; (D) 99; (E) невозможно определить

Решение: Вариант 1. Устроим перебор пар мышей так, чтобы одна мышь серая (упомянутая в условии), а другая, - какая придется. Из условия следует, что все мыши, которых мы присоединяем к серой - белого цвета. Ответ: (А) (одна мышь серая).

Вариант 2. Предположим, что имеются две, или более серых мышей.

В этом случае существует, по меньшей мере, пара мышей серого цвета, что противоречит условию. Следовательно, предположение наше ошибочно и в хозяйстве Йозефа имеется лишь одна серая мышь, факт существования которой оговорен условием.

Задача №7. Что вырастет у рассеянной хозяйки?

У рассеянной хозяйки есть три ящика для рассады с надписью "Огурцы", "Цветы" и "Ромашки". Она посадила семена ромашек, огурцов и колокольчиков в эти ящики так, что все надписи оказались неверными. Что вырастет в ящике с надписью "Ромашки"? (A) огурцы; (B) колокольчики; (C) ромашки; (D) нельзя определить; (E) арбузы.

Решение: В силу своей рассеянности, хозяйка не могла посадить в ящик с названием "Цветы" ни ромашки, ни колокольчики. Следовательно, она посадила в этом ящике огурцы. Теперь осталось ей посадить ромашки и колокольчики. Для них осталось два ящика с надписями: "Ромашки" и "Огурцы". Но рассеянная хозяйка не посадила ромашки в ящик с названием "Ромашки", как они того они заслуживали, а посадила их в ящик под названием "Огурцы". А колокольчики она посадила в ящик с надписью "Ромашки". Так что в ящике с названием "Ромашки" у нее вырастут колокольчики. Верный ответ - (B).

Задача №8. Кто ближе к сыру: кошка или мышка?

Когда идет дождь, кошка сидит в комнате или в подвале. Когда кошка в комнате, мышка сидит в норке, а сыр лежит в холодильнике. Если сыр на столе, а кошка - в подвале, то мышка в комнате. Сейчас идет дождь, а сыр лежит на столе. Тогда обязательно:
(A) кошка в комнате; (B) мышка в норке; (C) кошка в комнате или мышка в норке; (D) кошка в подвале, а мышка в комнате.

Сначала поищем, где сидит кошка в этот дождливый день. По условию задачи, она может быть в двух местах: в комнате или в подвале. Но в комнате кошка не может быть, так как сыр не лежит в холодильнике (он лежит на столе). Следовательно, кошка находится в подвале. Итак, нам известно, что сыр лежит на столе, а кошка - в подвале. По условию, в этом случае мышка - в комнате. Верный ответ - (D).

Задача №9. Кто сидит рядом с мамой Мари?
На скамейке сидит Мари, ее мама, бабушка и кукла. Бабушка сидит рядом с внучкой, но не рядом с куклой. Кукла не сидит рядом с мамой. Кто сидит рядом с мамой Мари? (A) Мари; (B) бабушка; (C) Мари и бабушка; (D)Мари и кукла; (E) бабушка и кукла.

Решение: С бабушкой, по условию, сидит внучка. То есть остается пристроить куклу и маму. Поскольку кукла не может сидеть рядом с мамой, то кукла и мама сидят по разные стороны от бабушки с внучкой. Остается, что бабушка сидит рядом с мамой. Легко проверить, что эти расположения удовлетворяют условию. Верный ответ - (В).

 

 

Приложение 11