Фибоначчи, золотое сечение и пентакль

Последовательность Фибоначчи — не просто случайная числовая схема, придуманная этим итальянским математиком. Она является плодом осмысления пространственных отношений, имеющих место в природе и впоследствии получившими название золотое сечение.

 

 

На Западе числовая последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи (ок. 1170-ок. 1240 года н. э.). Происходивший из северной Африки, где его отец заведовал таможней — подсчет был их семейным делом — молодой Фибоначчи в дальнейшем обучался у арабских математиков, затем много путешествовал, всегда обращая внимание на способы записи чисел. Его работа «Liber abaci» («Книга абака», 1202 год н. э., на латыни) ознакомила европейцев с арабскими и индийскими математическими концепциями, включая десятичную систему и индо-арабские формы, которые мы теперь используем для записи чисел [1]. Наряду с латинским переводом «Арифметики» аль-Хорезми, работа Фибоначчи способствовала формированию европейской математической мысли.

В последовательности Фибоначчи каждое новое число является суммой двух предыдущих. Итак, начнем считать с 0, то есть 0+1. Сложив их вместе, вы вновь получите 1, так что корректное начало последовательности будет выглядеть следующим образом: 0, 1, 1.

Новое число — 1 — плюсуется с предыдущим числом — 1 — ив последовательность добавляется число 2: 0, 1, 1, 2.

Сложение финального числа — 2 — с предшествующим — 1 — Дает число 3.

Таким же образом, каждое последнее число добавляется к предыдущему:

0, 1, 1, 2, 3 = 5

0, 1, 1, 2, 3, 5 = 8

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8 = 13

Продолжая действовать в том же ключе, вы получите искомую по- ^СЛеДовательность Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ²³3, 377, 610, 987, 1597, 2584 и так до бесконечности.

Деление любого числа из последовательности Фибоначчи на непо­средственно предшествующее ему дает значение 1,618... (В математиче­ском контексте отточие служит указанием того, что перед нами иррацио­нальное число, то есть имеющее бесконечную десятичную дробь (рис. 75)).

Аналогично, любое число Фибоначчи, разделенное на стоящее не­посредственно перед ним, дает примерно 0,618... (рис. 76).

Точность приближения к 0,618... или 1,618... растет по мере возрас­тания значений используемых чисел. Эти два ключевых числа — 0,618... и 1,618... — являются пропорциональным соотношением между частя­ми золотого сечения — меньшего к большему и наоборот [2].

Те, у кого в школе было много математики, могут пока передохнуть. Остальным же, для кого знак фи, несомненно, является чем-то грече­ским, и не более того, объясняю — фи (phi), то есть Ф, используется как одно из обозначений соотношений Фибоначчи/золотого сечения. Раньше мы делили, теперь — будем умножать. Возрастающая послеДО' вательность (вправо от единицы, рис. 77) — 1, Ф, Ф², Ф³ означает, что.

 

1 — есть начальная точка последовательности Фибоначчи;

стоящая справа Ф — является первым выражением соотношения,

то есть, 1 х 1,618..;

ф2 — второе выражение, Ф х 1,618... и т. д.

Сопутствующее символу Ф число указывает на количество сделанных шагов в ряду Фибоначчи, что выражает соотношение между частями лучше, чем конкретные измерения в дюймах или сантиметрах. (При умножении, не включайте отточие.) Соответственно, при обратном счете (влево от единицы, рис. 77) символы обозначаются в виде долей. К примеру, 1/Ф означает 1 х 0,618...

Только решите, что берете за «1», а затем считаете: если в обратном направлении, то с приращением 0,618..., если в прямом — то с 1,618...

Использовать греческую букву фи или Ф в данном контексте предложил в начале XX века американский математик Майкл Барр.

Сделано это было в честь Фидия (ок. 490- 430 г. до н. э.), античного скульптора, который, по общему мнению, основывался в своих работах на принципах золотого сечения.

До предложения Барра золотое сечение обозначалось греческой буквой Т или may (tau), входящей в состав греческого слова то-ми (to-mi), означающего «кусок» или «часть» [3].

С точки зрения графического выражения золотого сечения, т имеет больше смысла, а будучи прописной — Т — приблизительно соответствует фактическим измерениям.

Крест тоу имеет Т-образную форму и используется в некоторых колодах Таро.

Например, в IV карте Старших Арканов, Император, он в соединении с окружностью образует скипетр. Неважно, шар это, сфера или простой круг, комбинация круглой формы с крестом may еще проявит себя и преподнесет нам кое-какие сюрпризы (рис. 78).

Если вы еще не наигрались с соотношениями Фибоначчи, то возьмите лист Рис. 78. Тау и треугольники

бумаги в клеточку и нарисуйте на нем квадраты, площадь которых будет выражать последовательность Фибоначчи, то есть 1, 1, 2, 3, 5 и т. д. У вас получатся два квадрата 1 на 1, квадраты 2 на 2, 3 на 3 и т. д. (рис. 79). Если вы проведете диагонали через эти квадраты, то обнаружите, что они пересекают стартовый квадрат, иногда называемый «глазом» и отмеченный здесь серым цветом (рис. 80).

Все это также работает, если последовательность чисел Фибоначчи выразить в виде прямоугольников. Их стороны соответствуют значениям смежных чисел последовательности Фибоначчи — 1 на 1,1 на 2,2 на 3, 3 на 5 и т. д. Вновь каждый новый прямоугольник будет располагаться точно вдоль сторон предыдущего, и хотя стартовый квадрат на этот раз находится в другом месте, прочерченные вами диагонали опять пересекут его (рис. 82).

Но и это еще не все. Теперь, по-прежнему используя клетчатую бумагу, нарисуйте спираль, каждый виток которой основывается на числах из последовательности Фибоначчи (рис. 83). Эта спираль Фибоначчи, быстро раскручиваясь из стартовой точки и словно бы «вставая на дыбы», отражает параметры золотого сечения, по мере ее бурного, резкого, расширения.

Для контраста нарисуйте другую спираль, раскручивающуюся за шаг всего лишь на один ряд квадратиков. Это будет архимедова спираль (рис. 84).

Вещи, создаваемые людьми, изготавливаются, согласно принципам построения архимедовой спирали: шаг за шагом, виток за витком, слой за слоем, винтик за винтиком — когда каждое последующее действие базируется на уже произведенной операции. Так прядут ткань, лепят

 

 

горшки, строят дома или собирают машины. Гравитация и материя — вот определяющие факторы для нас. Мы имеем дело со статичными материалам и прослойками, которым требуется опора друг на друга.

Мать-природа, однако, творит из живых материалов и не терпит принуждения. Она работает естественно и изящно, используя алгоритм спирали Фибоначчи во всех сферах своей деятельности. Данная спираль соответствует кривой роста еще формирующихся человеческих и животных зародышей, ее форма совпадает с изгибом главной сердечной мышцы [4, 5]. Ее очертание повтореются в морских раковинах, вроде той, которую танцующий бог Шива использует в качестве трубы для призыва к дальнейшему созиданию. Количество лепестков цветов семейства астровых всегда равно числу Фибоначчи, и соотношение количества пчел мужского и женского пола в улье также основывается на пропорции Фибоначчи [6]. Структура семян в огромном подсолнухе следует двум различным логарифмическим спиралям золотого сечения, равно как и строение сосновых шишек и ананасов. Характер расположения новых листьев, по мере роста растения, также находится в прямой зависимости от Фибоначчи [7]. Параметры золотого сечения специально внедрялись (и продолжают внедряться) в зодчество, в особенности, сакральное, служа основой всего: от размера кирпичей до архитектурных пропорций. Когда мы сжимаем ладонь, то тем самым воссоздаем внешним вид спирали Фибоначчи (рис. 85). Это всего лишь несколько примеров.

Человеческое воплощение Фибоначчи

Вы можете использовать числа Фибоначчи для создания прямоугольника с приятными глазу пропорциями, например, коврика размером 5 на 8 футов. Космически важным является то, что человеческая фигура тоже отражает пропорции золотого сечения.

 

Все начинается с малого: от кончика пальца к ладони каждая фаланга пальца увеличивается примерно на 1,618% (рис. 86). При измерении в противоположном направлении следует обратный отсчет (рис. 87).

Продолжим рассмотрение параметров человеческого тела. Так, величина, соответствующая расстоянию от кончика пальца до запястья, взятая 1,618 раза, будет примерно равна длине руки от запястья до локтя. А расстояние от запястья до локтя, взятое 1,618 раза, даст величину, близкую к вашему личному кубиту, с которым мы сталкивались в главе № 3, то есть, расстоянию от локтя до кончика пальца.

Обратившись к своему телу, замерьте длину отрезка от пола (между стоп, без обуви) до пупка и умножьте это число на 1,618. Результат будет весьма схож с расстоянием от кончика до кончика указательных пальцев при распростертых руках, то есть с вашей личной саженью.

Пропорция, лежащая в основе всех этих вещей, известна под разными именами — золотое сечение, золотая середина, золотая пропорция, aurea section (золотое сечение на латыни), сакральное деление, золотое деление, Божественная пропорция. Название немецкого термина — Goldene Schnitt, созвучно золотому снитчу из книг о Гарри Поттере [8].