Дифференцирование неявных функций

Производная неявной функции , заданной с помощью уравнения , где дифференцируемая функция переменных и , может быть вычислена по формуле

при условии

Производные высших порядков неявной функции можно найти последовательным дифференцированием указанной формулы, рассматривая при этом как функцию от .

Аналогично, частные производные неявной функции двух переменных , заданной с помощью уравнения , где дифференцируемая функция переменных и , могут быть вычислены по формулам

при условии

Экстремум функции

Функция имеет максимум (минимум) в точке , если значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в любой другой точке некоторой окрестности точки , т.е. [соответственно ] для всех точек , удовлетворяющих условию , где достаточно малое положительное число.

Максимум или минимум функции называется ее экстремумом. Точка , в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.

Если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке , то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т.е.

(необходимые условия экстремума).

Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума.

Пусть стационарная точка функции . Обозначим

и составим дискриминант Тогда:

а) если то функция имеет в точке экстремум, а именно максимум при и минимум при

б) если то в точке экстремума нет (достаточные условия наличия или отсутствия экстремума);

в) если то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

7.7. Решение типового задания

Пример 1. Дана функция Найти и .

Решение.

Пример 2. Дана функция Найти dz.

Решение.

Следовательно,

Пример 3. Вычислить приближенно исходя из значения функции при

Решение. Искомое число есть наращенное значение функции z при Найдем значение z при имеем

Находим приращение функции:

Следовательно,

Пример 4. Вычислить приближенно исходя из значения функции при .

Решение. Значение функции z при x =1, y =1 есть

Найдем приращение функции при

=

Следовательно,

Пример 5. Найти

Решение. Здесь

Найдем

Следовательно,

Пример 6. Найти и

Решение. Здесь =

Находим

Тогда

Пример 7. Найти экстремум функции

Решение. Находим частные производные первого порядка: Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки:

откуда

Находим значения частных производных второго порядка в точке M:

и составляем дискриминант Следовательно, в точке заданная функция имеет минимум. Значение функции в этой точке

Пример 8. Найти экстремум функции

Решение. Находим частные производные первого порядка:

Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки:

Отсюда x =21, y =20; стационарная точка

Найдем значения вторых производных в точке M:

Тогда .

Так как A<0, то в точке функция имеет максимум:

Задачи № 241-270:

Найти частные производные первого порядка и :

241.	256.
242.	257.
243.	258.
244.	259.
245.	260.
246.	261.
247.	262.
248.	263.
249.	264.
250.	265.
251.	266.
252.	267.
253.	268.
254.	269.
255.	270.

Задачи № 271-300:

Вычислить приближенное значение функции в точке А.

271. , A (1,94; 3,02)	286. , A (0,98; 0,03)
272. , A (1,98; 3,92)	287. , A (1,04; 0,05)
273. , A (1,06; 2,92)	288. , A (1,96; 1,04)
274. , A (1,94; 1,03)	289. , A(2,02; 0,97)
275. , A (0,98; 2,03)	290. , A (2,03; 3,94)
276. , A (0,05; 1,96)	291. , A (1,98; 1,02)
277. , A (1,03; 0,98)	292. , A (0,05; 2,98)
278. , A (3,96; 1,03)	293. , A (0,96; 1,02)
279. , A (0,05; 2,97)	294. , A (2,04; 1,96)
280. , A (2,02; 2,97)	295. , A (1,97; 1,05)
281. , A (2,06; 1,96)	296. , A (0,02; 2,03)
282. , A (1,98; 3,91)	297. , A (4,03; 0,98)
283. , A (1,99; 0,02)	298. , A (0,97; 2,03)
284. , A (3,05; 1,98)	299. , A (1,03; 0,98)
285. , A (2,04; 3,95)	300. , A (2,04; 0,02)

Задачи № 301-330:

Найти производную от неявной функции, заданной уравнением.

301.	316.
302.	317.
303.	318.
304.	319.
305.	320.
306.	321.
307.	322.
308.	323.
309.	324.
310.	325.
311.	326.
312.	327.
313.	328.
314.	329.
315.	330.

 

Задачи №331-360:

Найти экстремум функции двух переменных .

331.
332.
333.
334.
335.
336.
337.
338.
339.
340.
341.
342.
343.
344.
345.
346.
347.
348.
349.
350.
351.
352.
353.
354.
355.
356.
357.
358.
359.
360.