Каковы должны быть размеры прямоугольного сосуда заданной ёмкости V с заданным значением величины k, чтобы расход металла на его изготовление был наименьшим?

Решение: если расход металла на швы не учитывать, а толщину стенок, дна и крышки считать одинаковой, то за параметр, определяющий расход металла на изготовление сосуда, принять площадь S его поверхности.

Обозначим размеры сосуда через x, y, z и пусть z=ky, то получим:

, где a=2k, .

Функция S имеет наименьшее значение при и что решение задачи задаётся формулами

, , .

Прямоугольные сосуды различной ёмкости производятся в стране в огромных количествах, то становится очевидным, что отступление от оптимальных размеров приводит к значительным убыткам.

Приведем условия задач и дополнительные задания к ним, позволяющие акцентировать внимание на динамическом характере математической модели, выработать первоначальные навыки уточнения модели. Такого рода упражнения могут быть использованы по усмотрению учителя при закреплении умений, связанных с решением задач одномерной оптимизации в домашних, самостоятельных, проверочных и других работах.

 

Задача № 10.

 

В начале боя, в игре "Мир танков", у каждой стороны было по 14 боевых машин. В итоге, после захвата базы, потери противника оказались втрое больше потерь вашей команды, и на поле в общей сложности осталось
12 машин. Сколько танков осталось у вашей команды к концу боя?

Составим математическую модель.

 

В начале игры на поле было 14 • 2 = 28 танков.
Примем за x количество танков потерянных вашей командой,
значит, потери врагов составят 3x.

1. x — ваши потери;
2. 3x — потери вражеской команды;
3. 28 — кол-во всех танков до боя;
4. 12 — кол-во всех танков после боя.

Составим уравнение, и решим его.

28 – x – 3x = 12
28 – 12 – x – 3x = 0
28 – 12 = 4x
16 = 4x
x = 4

Найдем ответ на вопрос задачи.

14 – 4 = 10 (танков).

Ответ: 10 танков осталось у нашей команды в конце боя.

Задача № 11.

Геометрически решить задачу линейного программирования:

,

 

Решение.

1. Строим область допустимых решений, т.е. геометрическое место точек, в котором одновременно удовлетворяются все ограничения данной ЗЛП. Каждое из неравенств системы ограничений нашей задачи геометрически в системе координат (, ) определяет полуплоскость соответственно с граничными прямыми.

Первому ограничению соответствует прямая, пересекающая координатные оси в точках с координатами (0, 6) и (6, 0).

Второму ограничению соответствует прямая, пересекающая координатные оси в точках с координатами (0, -1) и (1, 0).

Третьему ограничению соответствует прямая, пересекающая координатные оси в точке с координатами (1, 0) и проходящая параллельно оси .

Четвертому ограничению соответствует прямая, пересекающая координатные оси в точках с координатами (0, 6) и (3, 0).

Пятому ограничению соответствует прямая, пересекающая координатные оси в точках с координатами (0, 4) и (-8, 0).

Шестому ограничению соответствует прямая, пересекающая координатные оси в точке с координатами (0, 1) и проходящая параллельно оси .

 

Области, в которых выполняются соответствующие ограничения в виде неравенств, указаны на рисунке стрелками, направленными в сторону допустимых значений переменных.

Полученная область допустимых решений выделена на рисунке серым цветом.

 

1. Вектор градиента v определяется координатами (0.5, 2). Он перпендикулярен линиям уровня и указывает направление возрастания целевой функции. На рисунке красным цветом изображены линии уровня, заданные уравнениями и , т. е. когда целевая функция принимает значение 0 и 10 соответственно.

 

 

3. По графику видно, что касание линии уровня (ее уравнение ), перед выходом из области допустимых решений, произойдет в точке пересечения прямых и . Нетрудно подсчитать, что эта точка имеет координаты .

 

4. В этой точке значение целевой функции будет наибольшим, т.е.

.

Задача № 12.

Решить транспортную задачу.

 

Транспортная таблица имеет вид:

					Запасы
Заявки

 

Решение.

 

Найдём общую сумму запасов: = 70 + 70 + 110 = 250.

Найдём общую сумму заявок: =70 + 90 + 70 + 60 = 290.

В нашем случае запасы поставщиков (250 единиц продукции) меньше, чем потребность потребителей (290 единиц продукции) на 40 единиц. Введем в рассмотрение фиктивного поставщика с запасом продукции, равным 40. Стоимость доставки единицы продукции от данного поставщика ко всем потребителям примем равной нулю.

 

					Запасы
Заявки

 

Решение транспортной задачи начнем с построения допустимого базисного плана, для этого воспользуемся методом северо-западного угла.

 

Рассмотрим ячейку таблицы. Запасы поставщика составляют 70 единиц продукции, заявки потребителя составляет 70. Разместим в ячейку значение, равное min { 70, 70 } = 70, т.е. мы полностью израсходoвали запасы поставщика . Вычеркиваем строку 1 таблицы, т.е исключаем ее из дальнейшего рассмотрения. В то же время мы полностью удовлетворили потребность потребителя , но будем считать, что потребность данного потребителя составляют 0 единиц продукции (не будем одновременно вычеркивать строку и столбец).

 

Рассмотрим ячейку .Запасы поставщика составляют 70 единиц продукции. Потребность потребителя составляет 0. Разместим в ячейку значение, равное min { 70, 0 } = 0,т.е. мы полностью удовлетворили потребность потребителя . Поэтому исключаем 1ый столбец таблицы из дальнейшего рассмотрения.

 

Рассмотрим ячейку .Запасы поставщика составляют 70 единиц продукции. Потребность потребителя составляет 90. Разместим в ячейку значение, равное min { 70, 90 } = 70,т.е. мы полностью израсходoвали запасы поставщика . Вычеркиваем строку 2 таблицы, т.е исключаем ее из дальнейшего рассмотрения.

 

Рассмотрим ячейку .Запасы поставщика составляют 110 единиц продукции. Потребность потребителя составляет 90 – 70 = 20. Разместим в ячейку значение, равное min { 110, 20 } = 20,т.е. мы полностью удовлетворили запросы потребителя . Поэтому исключаем 2ой столбец таблицы из дальнейшего рассмотрения.

 

Рассмотрим ячейку .Запасы поставщика составляют 110 – 20 = 90 единиц продукции. Потребность потребителя составляет 70. Разместим в ячейку значение, равное min { 90, 70 } = 70, т.е. мы полностью удовлетворили запросы потребителя . Поэтому исключаем 3ий столбец таблицы из дальнейшего рассмотрения.

 

Рассмотрим ячейку . Запасы поставщика составляют 90 – 70 = 20 единиц продукции. Потребность потребителя составляет 60. Разместим в ячейку значение, равное min { 20, 60 } = 20,т.е. мы полностью израсходoвали запасы поставщика . Поэтому исключаем 3ью строку таблицы из дальнейшего рассмотрения.

 

Рассмотрим ячейку . Запасы поставщика составляют 40 единиц продукции. Потребность потребителя составляет 60 – 20 = 40. Разместим в ячейку значение, равное min { 40, 40 } = 40,т.е. мы полностью израсходoвали запасы поставщика . Поэтому исключаем 4ую строку таблицы из дальнейшего рассмотрения. В то же время мы полностью удовлетворили запросы потребителя .

 

Мы нашли начальное опорное решение, т.е. израсходовали все запасы поставщиков и удовлетворили все заявки потребителей. Занесем полученные значения в таблицу:

 

					Запасы
Заявки

Теперь, произведем его оценку. Общие затраты на доставку всей продукции, для данного решения, составляют

= 20 70 + 15 0 + 9 70 + 19 20 + 15 70 + 13 20 + 0 40 = 3720 единиц.

 

Найдем потенциалы поставщиков и потребителей . Примем = 0. Тогда:

= - = 19 - 0 = 19

= - = 15 - 0 = 15

= - = 13 - 0 = 13

= - = 0 - 13 = -13

= - = 9 - 19 = -10

= - = 15 – (-10) = 25

= - = 20 - 25 = -5

 

					Запасы	Потенциалы
						-5
						-10
						-13
Заявки
Потенциалы

 

Найдем оценки свободных ячеек следующим образом:

= - ( + ) = 13 - (-5 + 19) = -1

= - ( + ) = 8 - (-5 + 15) = -2

= - ( + ) = 11 - (-5 + 13) = 3

= - ( + ) = 17 - (-10 + 15) = 12

= - ( + ) = 18 - (-10 + 13) = 15

= - ( + ) = 21 - (0 + 25) = -4

= - ( + ) = 0 - (-13 + 25) = -12

= - ( + ) = 0 - (-13 + 19) = -6

= - ( + ) = 0 - (-13 + 15) = -2

Среди оценок есть отрицательные, следовательно, решение не оптимальное.

Из отрицательных оценок выбираем минимальную, она соответствует ячейке , ее оценка = -2.

Ячейки , , , , , образуют цикл для свободной ячейки . Цикл начинается в этой свободной ячейке. Пусть ячейка имеет порядковый номер 1.

Среди ячеек цикла , , , номера которых четные, выберем ячейку , как обладающую наименьшим значением 70. От ячеек цикла с четными номерами, мы отнимаем 70. К ячейкам с нечетными номерами мы прибавляем 70. Ячейка выйдет из базиса, ячейка станет базисной.

					Запасы
Заявки

Общие затраты на доставку всей продукции, для данного решения, составляют

= 8 70 + 15 70 + 19 90 + 13 20 + 0 40 = 3580 единиц.

 

Найдем потенциалы поставщиков и потребителей . Примем = 0. Тогда:

= - = 19 - 0 = 19

= - = 15 - 0 = 15

= - = 13 - 0 = 13

= - = 0 - 13 = -13

= - = 8 - 15 = -7

= - = 9 - 19 = -10

= - = 15 – (-10) = 25

 

					Запасы	Потенциалы
						-7
						-10
						-13
Заявки
Потенциалы

 

Найдем оценки свободных ячеек следующим образом:

= - ( + ) = 20 - (-7 + 25) = 2

= - ( + ) = 13 - (-7 + 19) = 1

= - ( + ) = 11 - (-7 + 13) = 5

= - ( + ) = 17 - (-10 + 15) = 12

= - ( + ) = 18 - (-10 + 13) = 15

= - ( + ) = 21 - (0 + 25) = -4

= - ( + ) = 0 - (-13 + 25) = -12

= - ( + ) = 0 - (-13 + 19) = -6

 

Среди оценок есть отрицательные, следовательно, решение не оптимальное.

Из отрицательных оценок выбираем минимальную, она соответствует ячейке , ее оценка = -12.

Ячейки , , , , , образуют цикл для свободной ячейки . Цикл начинается в этой свободной ячейке. Пусть ячейка имеет порядковый номер 1.

Среди ячеек цикла , , , номера которых четные, выберем ячейку , как обладающую наименьшим значением 40. От ячеек цикла с четными номерами, мы отнимаем 40. К ячейкам с нечетными номерами мы прибавляем 40. Ячейка выйдет из базиса, ячейка станет базисной.

					Запасы
Заявки

 

Общие затраты на доставку всей продукции, для данного решения, составляют

= 8 70 + 15 30 + 9 40 + 19 50 + 13 60 + 0 40 = 3100 единиц.

 

Найдем потенциалы поставщиков и потребителей . Примем = 0. Тогда:

= - = 19 - 0 = 19

= - = 15 - 0 = 15

= - = 13 - 0 = 13

= - = 8 - 15 = -7

= - = 9 - 19 = -10

= - = 15 – (-10) = 25

= - = 0 - 25 = -25

					Запасы	Потенциалы
						-7
						-10
						-25
Заявки
Потенциалы

Найдем оценки свободных ячеек следующим образом:

= - ( + ) = 20 - (-7 + 25) = 2

= - ( + ) = 13 - (-7 + 19) = 1

= - ( + ) = 11 - (-7 + 13) = 5

= - ( + ) = 17 - (-10 + 15) = 12

= - ( + ) = 18 - (-10 + 13) = 15

= - ( + ) = 21 - (0 + 25) = -4

= - ( + ) = 0 - (-25 + 19) = 6

= - ( + ) = 0 - (-25 + 15) = 10

= - ( + ) = 0 - (-25 + 13) = 12

Среди оценок есть отрицательные, следовательно, решение не оптимальное.

Из отрицательных оценок выбираем минимальную, она соответствует ячейке , ее оценка = -4. Ячейки , , , образуют цикл для свободной ячейки . Цикл начинается в этой свободной ячейке. Пусть ячейка имеет порядковый номер 1.

Среди ячеек цикла , ,номера которых четные, выберем ячейку , как обладающую наименьшим значением 30. От ячеек цикла с четными номерами, мы отнимаем 30. К ячейкам с нечетными номерами мы прибавляем 30. Ячейка выйдет из базиса, ячейка станет базисной.

					Запасы
Заявки

Общие затраты на доставку всей продукции, для данного решения, составляют

= 8 70 + 9 70 + 21 30 + 19 20 + 13 60 + 0 40 = 2980 единиц.

 

Найдем потенциалы поставщиков и потребителей . Примем = 0. Тогда:

= - = 21 – 0 = 21

= - = 19 - 0 = 19

= - = 15 - 0 = 15

= - = 13 - 0 = 13

= - = 0 - 21 = -21

= - = 8 - 15 = -7

= - = 9 - 19 = -10

 

					Запасы	Потенциалы
						-7
	⇐ Предыдущая12 Поделиться с друзьями: Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления... Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности... Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается... Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...  © cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста. Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы! 0.102 с.