Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2017-06-13 | 296 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Кроме пары чисел , которыми можно задать точку на плоскости, можно задать также и таким образом: соединим точку с началом координат, длину этого отрезка обозначим . Угол между осью и этим отрезком обозначим .
Так как это прилежащий катет, а гипотенуза, тогда , аналогично , откуда следуют такие формулы:
Также возможен обратный пересчёт: , а угол: (это верно для 4 и 1 четвертей, то есть там, где основная непрерывная ветвь тангенса) и для 2,3 четвертей.
Полярная система фактически применяется в жизни, например в городах с радиальной сеткой улиц. Так, в Москве есть юго-западный округ, северо-восточный и т.д. То есть там практически важно расстояние от центра (Кремля) и направление от центра (на юг, запад, восток, северо-запад и т.д.).
При замене переменных, соответственно, надо все переменные , присутствующие в функции, заменить на , а все на , то есть получим . Однако необходимо ещё заменить дифференциал, если помните, в 1-мерном случае это делали так: например, при было . В двумерном случае, дополнительный множитель также есть. Если бы просто написали вместо , то неверно задали бы искажение сетки координат при замене. Еслди изобразить дуги и радиусы, то сектора круга сужаются к центру, а когда переносим изображение в плоскость параметров то мы растягиваем эту сетку на некоторый прямоугольник, зелёный сектор по площади гораздо меньше красного, но без правильного пересчёта дифференциалов они получились бы равны. Чертёж - слева в плоскости параметров , справа в плоскости .
При том же растворе угла, чем ближе сектор к центру, тем меньше его площадь, и соответственно, меньше его влияние на интеграл. Для правильного учёта этих искажений, надо умножить на определитель матрицы линейного оператора порядка 2, эта матрица в то же время и является производной матрицей отображения .
|
При замене двух старых на две новые переменные в плоскости, существует уже 4 различных частных производных, и из них можно образовать матрицу 2-го порядка. Строение этой матрицы: .
Она называется матрицей Якоби, а её определитель - определителем Якоби, или «якобианом». В данном случае,
= , определитель: = .
Итак, доказали, что определитель Якоби полярной системы координат: . Выражение заменяется на .
Интеграл по той части фигуры, которая ближе к центру, как раз и будет взят с меньшим весом, а которая дальше от центра - с большим весом, ведь там больше. При замене , где , множитель фактически является одномерным якобианом, но только для матрицы порядка 1 определитель вычислять было не нужно, так как он совпадает с самим этим элементом.
При переходе к полярным координатам, фрагмент круга фактически отображается в прямоугольную область. А это удобнее для вычисления, так как границы внутреннего и внешнего циклов становятся независимы друг от друга.
Пример. Вычислить интеграл где D - четверть круга единичного радиуса в первой четверти плоскости.
В декартовых координатах, этот интеграл имеет такой вид:
, что при вычислении внутреннего интеграла дало бы , в итоге привело бы к и потребовало бы ещё серию подстановок. В полярных координатах, решение гораздо более просто и удобно.
Луч находится в 1 четверти при . Радиус 1. Тогда:
= = = =
= = =
= = = .
Кстати, множители, не зависящие от , можно было сразу вынести во внешний интеграл, как видим, они всё равно умножаются на первообразную по и остаются неизменными, и выносятся во внешний интеграл по .
Пример. Доказать формулу площади круга с помощью полярных координат.
Решение. Так как надо вычислить площадь, то считаем .
= = = = = .
|
|
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!