Умножение вектора на число (определение).

БИЛЕТ № 1.

УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО (ОПРЕДЕЛЕНИЕ).

Произведением вектора (а1, а2) на число К называется вектор (kа1, kа2), т. е. (а1, а2) k = { ka1; kа2). По определению (а1, а2) k = k(а1, а2). Из определения операции умножения вектора на число следует, что Абсолютная величина вектора равна |. Направление вектора при совпадает с направлением вектора , если , и противоположно направлению вектора , если . Абсолютная величина вектора равна:

 

ПРИЗНАК ДИАГОНАЛЕЙ ПАРАЛЛЕЛОГРАММ (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО).

Теорема: Если диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
	Дано: АВСD-четырехугольник. АС∩BD=т.О АО=ОС,DО=ОВ
Док-ть: АВСD-параллелограмм
Доказательство

БИЛЕТ№2.

СВОЙСТВА ДИАГОНАЛЕЙ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА.

Теорема: Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам
	Дано: АВСD-параллелограмм
Док-ть АС∩BD=т.О АО=ОС,DО=ОВ
Доказательство

БИЛЕТ №3.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС.

Параллельный перенос — это преобразование плоскости, при котором точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Определение Параллельный перенос — это такое преобразование фигуры F, при котором её произвольная точка (x;y) переходит в точку (x+a; y+b), где a и b — некоторые числа, одинаковые для всех точек (x;y) фигуры F. Формулы параллельного переноса Если при параллельном переносе точка A(x;y) переходит в точку A1(x1;y1) то параллельный перенос задаётся формулами: Свойства параллельного переноса 1) Параллельный перенос есть движение (то есть параллельный перенос сохраняет расстояние). 2) При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние. 3) При параллельном переносе каждая прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя). 4) Каковы бы ни были точки A и A1, существует единственный параллельный перенос, при котором точка A переходит в точку A1. В алгебре параллельный перенос широко используется для построения графиков функций.

 

СВОЙСТВО ПРОТИВОЛЕЖАЩИХ СТОРОН И УГЛОВ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА.

Теорема: У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны
	Дано: АВСD-параллелограмм
Док-ть: ВС=АD, АВ=СD, ∟А=∟В=∟С=∟D
Доказательство

БИЛЕТ№4.

ПОВОРОТ.

Поворотом на плоскости около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из этой точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении. Угол на который поворачивается фигура, относительно точки, называется углом поворота.

 

ПРИЗНАК ПРОТИВОЛЕЖАЩИХ СТОРОН ПАРАЛЛЕЛОГРАММА.

Теорема: Если у четырехугольника две противолежащие стороны параллельны и равны, то он является паралелограммом
	Дано: АВСD- четырехугольник ВС=АD, АВ=СD, ВС║АD, АВ║СD
Док-ть АВСD-. параллелограмм
Доказательство

 

БИЛЕТ№5.

БИЛЕТ №6

БИЛЕТ№7.

1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИНУСА, КОСИНУСА, ТАНГЕНСА И КОСИНУСА ДЛЯ ЛЮБОГО УГЛА ОТ 0° ДО 180°.

Возьмем окружность на плоскости ху с центром в начале координат и радиусом R (рис. 180). Отложим от положительной полуоси X в верхнюю полуплоскость (полуплоскость, где y>0) угол а. Пусть х и у — координаты точки А. Значения sin а, cos а и tg а для острого угла а выражаются через координаты точки А, а именно: Определим теперь значения sin а, cos а и tg а этими формулами для любого угла а. (Для tg а угол а = 90° исключается.) При таком определении sin 90° = 1, cos 90° = О, sin 180° = О, cos 180° = — 1, tg 180° = 0. Считая, что совпадающие лучи образуют угол 0°, будем иметь: sinO° = 0, cosO° = l, tgO° = 0. Докажем, что для любого угла а, 0°<:а<:180°, sin (180° — а)=sin а, cos (180° — а) = — cos а. Для угла а ^ 90° tg (180° - а) = - tg а. Действительно, треугольники ОАВ и ОА\В\ равны по гипотенузе и острому углу (рис. 181). Из равенства треугольников следует, что АВ=А1В1, т. е. у = у1; ОВ=ОВ1 следовательно, x= —x1. Поэтому разделив почленно равенство sin (180° —а) = sin а на равенство cos (180° — а)=—cos а, получаем: Что и требовалось доказать.

СВОЙСТВА ДИАГОНАЛЕЙ РОМБА.

Теорема: Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов
	Дано: АВСD-ромб
Док-ть: АС┴BD, АС-биссектриса ∟А и∟С, BD -биссектриса ∟B и∟D
Доказательство

БИЛЕТ№8.

БИЛЕТ№9.

1.ЗНАЧЕНИЕ СИНУСА, КОСИНУСА, ТАНГЕНСА И КОТАНГЕНСА НЕКОТОРЫХ УГЛОВ (45°, 30°,60°).

Для любого острого угла а sin (90° — а)=cos а, cos (90° — а)=sin а. Доказательство. Пусть ABC — прямоугольный треугольник с острым углом а при вершине А (рис. 160). Тогда острый угол при вершине В равен 90° — а. По определению Из второго и третьего равенств получаем sin (90° — а) = cos а. Из первого и четвертого равенств получаем cos (90° — a) = sin а. Теорема доказана. Найдем синус, косинус и тангенс угла 45°. Для этого построим прямоугольный треугольник с острым углом 45° (рис. 161). Второй его острый угол тоже равен 45°, поэтому треугольник равнобедренный. Пусть катеты треугольника равны а. По теореме Пифагора гипотенуза будет . Находим: Найдем синус, косинус и тангенс угла 30°. Возьмем равносторонний треугольник ABC (рис. 162). Проведем в нем медиану AD. Она будет биссектрисой и высотой. Поэтому треугольник ABD прямоугольный с острым углом при вершине А, равным 30°. Пусть а — сторона равностороннего треугольника. Тогда BD= . По теореме Пифагора

2. ДОКАЖИТЕ, ЧТО ЕСЛИ ДИАГОНАЛИ ПРЯМОУГОЛЬНИКА ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ПОД ПРЯМЫМ УГЛОМ, ТО ОН ЯВЛЯЕТСЯ КВАДРАТОМ.

	Дано: АВСD-прямоугольник АС┴BD
Док-ть АВСD-квадрат
Доказательство

БИЛЕТ№10.

1. ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА.

Одно тождество мы уже знаем: Возьмем любой прямоугольный треугольник ABC с углом при вершине А, равным а. По теореме Пифагора ВС2 + АС2 = АВ2. Разделим обе части равенства на АВ2. Получим: Но. Таким образом,sin2a + cos2 а = 1. Это равенство есть тождество. Оно верно для любого острого угла а. Чтобы получить второе тождество, разделим обе части полученного тождества на cos2 а. Получим: Если обе части тождества sin2 а + cos2а = 1 разделить на sin2а, то получим третье тождество : Значение этих тождеств заключается в том, что они позволяют, зная одну из величин sin а, cos а или tg а, найти две другие.

 

ТЕОРЕМА ФАЛЕСА.

Теорема: Если параллельные прямые отсекают на одной стороне угла равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
	Дано: ∟COD A1B1 ∥ A2B2 ∥ A3B3, A1, A2, A3 ∈ OC, B1, B2, B3 ∈ OD, A1A2=A2A3.
Док-ть B1B2=B2B3.
Доказательство 1) Через точку B2 проведем прямую EF, EF ∥ A1A3. 2) Рассмотрим четырехугольник A1FB2A2. - A1F ∥ A2B2 (по условию), - A1A2 ∥ FB2 (по построению).Следовательно, A1FB2A2 — параллелограмм (по определению). По свойству противолежащих сторон параллелограмма, A1A2=FB2. 3) Аналогично доказываем, что A2B2EA3 — параллелограмм и A2A3=B2E. 4) Так как A1A2=A2A3 (по условию), то FB2=B2E. 5) Рассмотрим треугольники B2B1F и B2B3E. - FB2=B2E (по доказанному), - ∠B1B2F=∠B2EB3 (как вертикальные), - ∠B2FB1=∠B2EB3 (как внутренние накрест лежащие при A1B1 ∥ A3B3 и секущей EF). Следовательно, треугольники B2B1F и B2B3E равны (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: B1B2=B2B3. Что и требовалось доказать.

Билет№11.

1. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ (ОПРЕДЕЛЕНИЕ).

 

2. ДОКАЗАТЬ ТЕОРЕМУ О СРЕДНЕЙ ЛИНИИ ТРАПЕЦИИ.

Теорема:
	Дано: ΔАВСД-данная трапеция QP-средняя линия
Док-ть QP║ BC, QP║AD QP =1/2 (BC+ AD)
Доказательство

 

Билет№12.

1. ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ (ОПРЕДЕЛЕНИЕ).

 

2. ДОКАЖИТЕ,ЧТО СЕРЕДИНЫ СТОРОН ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА ЯВЛЯЮТСЯ ВЕРШИНАМИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА.

	Дано: ΔАВС-треугольник ЕД-средняя линия
Док-ть ЕД║АВ,ЕД=1/2АВ
Доказательство: Проведем диагональ АС в четырехугольнике АВСД.АС разбивает четырехугольник на 2 треугольника АВС и АДС. Проведем средние линии в треугольниках КМ и ОN. КМ - средняя линия ΔАВС(по определению), тогда КМ = АС/2 и КМ ║ АС. ON- средняя линия ΔADC, значит ON = AC/2 и ON ║АС Получаем, что KM=ON и KM параллельна ON(это признак!) Если две стороны четырехуг. равны и параллельны, то четырехуг. - параллелограмм. Значит KMNO параллелограм.

 

 

Билет№13.

1. СИНУС, КОСИНУС И ТАНГЕНС ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА (ОПРЕДЕЛЕНИЕ).

 

 

2. ДОКАЗАТЬ ТЕОРЕМУ О СРЕДНЕЙ ЛИНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА.

Теорема:
	Дано: ΔАВС-треугольник ЕД-средняя линия
Док-ть ЕД║АВ,ЕД=1/2АВ
Доказательство

Билет№14.

Билет№15.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРАПЕЦИИ. ВИДЫ ТРАПЕЦИИ.

 

Все трапеции можно разделить на три вида: - равнобедренные трапеции; - прямоугольные трапеции; - произвольные трапеции. Равнобедренные трапеции — это трапеции, у которых боковые стороны равны. Прямоугольные трапеции — это трапеции, у которых одна боковая сторона перпендикулярна основаниям. Произвольные трапеции — все остальные трапеции, которые не являются ни равнобедренными, ни прямоугольными. Схематически виды трапеций можно изобразить так:

 

Билет№16.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТА. СВОЙСТВА КВАДРАТА.

 

2. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО).

Теорема:
	Дано: ΔАВС-прямоугольный треугольник ∟С=
Док-ть =
Доказательство

 

Билет№17.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РОМБА. СВОЙСТВА РОМБА.

 

2. НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА (ДОКАЗАТЬ ТЕОРЕМУ).

Теорема:
	Дано: А,В,С-данные точки
Док-ть <
Доказательство

 

Билет№18.

Билет№19.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА.

 

2. СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО).ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА И ПРАВИЛО ПАРАЛЛЕЛОГРАММА (РАССМОТРЕТЬ СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ).

Билет№20.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛОГРАММА.

 

2. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ (ОПРЕДЕЛЕНИЕ). ДОКАЗАТЬ ТЕОРЕМУ О СКАЛЯРНОМ ПРОИЗВЕДЕНИИ ВЕКТОРОВ.

БИЛЕТ № 1.

УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО (ОПРЕДЕЛЕНИЕ).

Произведением вектора (а1, а2) на число К называется вектор (kа1, kа2), т. е. (а1, а2) k = { ka1; kа2). По определению (а1, а2) k = k(а1, а2). Из определения операции умножения вектора на число следует, что Абсолютная величина вектора равна |. Направление вектора при совпадает с направлением вектора , если , и противоположно направлению вектора , если . Абсолютная величина вектора равна: