Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Интересное:
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2017-06-09 | 263 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Функция называется первообразной функции если Множество первообразных функции называется неопределенным интегралом и обозначается .
Операции дифференцирования и интегрирования взаимнообратны:
,
поэтому нетрудно получить следующую таблицу интегралов:
1) (), 7) ,
2) , 8) ,
3) , 9) ,
4) , 10) ,
5) , 11) ,
6) , 12) .
Не останавливаясь на непосредственном интегрировании по формулам, как на простейшем способе решения примеров, перейдём сразу к более сложным методам.
5.1 Метод замены переменного
Пусть требуется найти неопределенный интеграл от непрерывной функции
Рассмотрим некоторую функцию , которая имеет непрерывную производную и обратную функцию . (Например: монотонна). Тогда справедлива формула:
. (1)
В некоторых ситуациях удается подобрать функцию так, что интеграл в правой части (1) оказывается проще, чем в левой части. Такой прием называется методом замены переменной. На практике часто формулу используют в обратную сторону:
. (2)
Другими словами, если подынтегральное выражение может быть записано в форме левой части (2), то с помощью подстановки получаем более простой интеграл (1).
Задача 1. .
Решение.
.
Задача 2. .
На практике часто используется следующая простая формула:
,
где - первообразная функции .
5.2 Интегрирование по частям
Формула интегрирования получается почленным интегрированием формулы производной произведения.
.
Смысл формулы заключается в том, что производная перебрасывается с одного множителя не другой и интеграл при этом может оказаться проще, чем исходный.
Можно выделить по крайней мере два класса интегралов, для которых применима формула интегрирования по частям.
I.
где - многочлен степени . В качестве нужно взять , а = - другой сомножитель.
|
При этом формулу приходится применить столько раз, какова степень многочлена.
II. .
В этом случае, наоборот, следует положить = .
Рассмотрим применение указанной схемы.
Задача 3.
.
Это интеграл первого типа, поэтому:
= =
= =
Задача 4. .
Это интеграл второго типа, поэтому имеем:
.
Заметим, что при использовании формулы интегрирования по частям приходится восстанавливать функцию по ее дифференциалу . Поэтому в качестве этого сомножителя нужно брать легко интегрируемую функцию.
Формула интегрирования по частям может хорошо сработать и в других случаях.
Задача 5. .
.
Получили уравнение относительного исходного интеграла I. Вынося I за скобки, получим
,
откуда
.
5.3 Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
К этому типу интегралов относятся интегралы вида:
;
;
Мы увидим в дальнейшем, что без умения находить такие интегралы, мы не сможем вычислять интегралы от рациональных дробей.
Сначала научимся находить более простые интегралы видов и .Трудность заключается в наличии слагаемого bx. Если бы его не было, то, вынося за знак интеграла , получили бы интеграл вида (11) или (12). Решить проблему можно выделением полного квадрата.
Задача 6. .
Задача 7. .
Задача 8. .
Задача 9. .
где - интеграл, рассмотренный в примере 7.
5.4 Интегрирование рациональных дробей
Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных степенях) и квадратичных сомножителей с отрицательными дискриминантами (возможно в целых степенях). Известен алгебраический результат, что такое представление всегда возможно.
.
Вообще говоря, получение такого представления для многочленов высоких степеней является сложной задачей. Мы в дальнейшем будем считать, что знаменатель уже представлен в таком виде. Известен алгебраический результат, что любая правильная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей, интегралы от которых легко находятся. При этом каждому линейному сомножителю вида в знаменателе соответствует группа простейших дробей вида:
|
.
В частности при имеем только одно слагаемое: .
Каждому квадратичному сомножителю соответствует группа дробей вида:
,
а при - одно слагаемое .
Рассмотрим примеры разложения правильной дроби на простейшие:
Задача 10. .
Задача 11. .
Задача 12.
.
Задача 13. .
Задача 14. .
Теоретически гарантируется, что все выписанные разложения справедливы. Остается научиться находить постоянные А, В, С …. Предположим, что указанные константы найдены. Тогда интегрирование правильной дроби сведется к нахождению интегралов вида:
I , III ,
II , IV .
Интегралы I и II видов табличные, интегралы III вида рассмотрены в предыдущей теме, интегралы IV вида вычисляются по той же схеме, что и III вида, но в отличие от них после выделения полного квадрата возникают интегралы вида:
,
которые находятся по рекуррентной формуле:
.
Перейдем к рассмотрению конкретных примеров вычисления интегралов от правильных рациональных дробей. Сначала рассмотрим наиболее простой случай, когда знаменатель содержит только некратные линейные множители.
Задача 15. .
.
После приведения к общему знаменателю получим следующее тождество для числителей:
.
Этим тождеством мы и воспользуемся для нахождения коэффициентов А, В и С.
Если в данном тождестве в качестве взять конкретное значение, то получим линейное уравнение относительно А, В и С. Таких уравнений нам нужно три. Полученную систему можно решить, например, методом Гаусса. Однако можно гораздо легче найти коэффициенты, если в качестве брать не произвольные числа, а корни линейных сомножителей в знаменателе. При этом в правой части тождества будет присутствовать только один из неизвестных коэффициентов.
В результате получим:
.
Если знаменатель содержит квадратичные сомножители, то всегда нужно проверять, не будет ли D неотрицательным. Если да, то лучше разбить его на линейные сомножители.
Задача 16. .
.
Завершите самостоятельно вычисление данного интеграла.
Перейдем к рассмотрению чуть более сложного случая, когда знаменатель содержит только линейные сомножители, причем некоторые из них кратные.
|
Задача 17. .
.
Положив последовательно и , легко найдем два неизвестных коэффициента:
Остальные два найдем, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой частей тождества:
Тогда
.
Рассмотрим теперь случай, когда знаменатель содержит некратные квадратичные сомножители с отрицательным дискриминантом.
Пример 18. .
.
.
Положим :
Остальные неизвестные найдем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях:
Тогда
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте определение первообразной функции.
2. Что называется неопределенным интегралом от данной функции?
3. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.
4. Напишите формулы таблицы основных интегралов.
5. В чем сущность метода интегрирования заменой переменной?
6. Напишите формулу интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Какие функции целесообразно интегрировать по частям? Почему?
7.Как разложить рациональную дробь на простейшие?
|
|
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!