Анализ и синтез силлогизмов. Русская силлогистика

                        ЛЕКЦИЯ 8                        --------                 АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СИЛЛОГИЗМОВ.                    РУССКАЯ СИЛЛОГИСТИКА Под анализом силлогизма понимается проверка корректности заданно-го силлогизма.Синтезом силлогизма будем называть отыскание заключенияпо заданным посылкам или недостающей посылки по заданным посылке изаключению. Данным проблемам посвящено много публикаций.Необходимо преждевсего отметить великолепную книгу Светлова В.А."Практическая логи-ка"[18],в которой российский автор просто и изящно решает сложныепроблемы силлогистики.Я бы назвал эту книгу "мечтой студента".Глубокаи содержательна книга Кулика Б.А."Логические основы здравого смыс-ла"[9],в которой российский автор впервые в мире не только заговорил ологике здравого смысла,но и приступил к ее построению.Все эти работыкосвенно подтверждают,что в здравый смысл силлогистики Аристотеля ник-то не верит.Итак,приоритет России в создании логики здравого смыслабесспорен. Что такое здравый смысл? "Философский словарь"(Харьков,1986 г.)определяет этот термин следующим образом."Здравый смысл - принципоценки и систематизации фактов повседневного опыта,обеспечивающий че-ловеку успешную ориентацию в повседневных житейских ситуациях".В этомже словаре 1980 г. читаем:"Здравый смысл - совокупность взглядов,навы-ков,форм мышления,используемых рядовым человеком в его повседневнойпрактической деятельности".Исходя из этих определений только русскуюи общеразговорную силлогистики можно отнести к логике здравого смыс-ла.Кроме того,только в логике здравого смысла из разумной посылки Ixyследует осмысленное заключение Iyx. Прежде чем приступить к анализу или синтезу силлогизма,необходимопроверить корректность формулировки посылок.Нередко частноутвердитель-ное суждение механически употребляется вместо общеутвердительного.Еслидля суждения "Некоторые животные - млекопитающие" мы будем использо-вать любой базис здравого смысла(русский,общеразговорный),то придем всилу симметрии этих базисов к абсурдному заключению "Некоторые млеко-питающие - животные"(а остальные млекопитающие - не животные?!).С точ-ки зрения здравого смысла исходное суждение должно иметь вид "Все мле-копитающие - животные".Ошибками такого рода особенно грешат профессораОксфорда и Кембриджа[11,с.170-174],написавшие,тем не менее,прекраснуюкнигу по философии. Пример(с.170). Некоторые животные(m) - олени(x) Некоторые животные - плотоядны(у) __________________________________ Первая посылка силлогизма безграмотна.Она должна выглядеть ина-че:"Все олени - животные".Если универсумом в этом силлогизме являетсяпонятие "животные",то и вторая посылка не блещет профессионализ-мом.Правильная посылка - "Все плотоядные - животные". Задача 2(с.174). Все люди(m) - горды(х) Нек.солдаты(у) - люди (а нек.солдаты - не люди?) ________________________________________________ Опять вопиющая ошибка западных "профессионалов".Здесь также не-корректны обе посылки.Правильные посылки выглядят так: Все гордые - люди(гордость присуща только человеку) Все солдаты - люди. Во избежание подобного рода ошибок в силлогистике здравого смыслапредлагается простой алгоритм проверки:Ixy -> Iyx. Очень характерна ошибка механического перевода высказываний наязык силлогистики без учета универсума.Часто встречается такой пример: Сахар - сладкий Все дети любят сладкое -------------------- Все дети любят сахар Заключение согласуется со здравым смыслом,но оно не следует изэтих посылок.Дело в том,что универсумом в данном силлогизме являетсяпонятие "лакомства",поэтому силлогизм выглядит иначе: Сахар - сладкое лакомство Все сладкие лакомства - любимые детьми лакомства -------------------------------------- Сахар - любимое детьми лакомство,т.е. все виды сахара любят дети. Как видим,и посылки,и заключение в приведенных силлогизмах раз-личны,хотя общеразговорный смысл кажется одинаковым.Если же в качествевторой посылки использовать суждение "Все любимые детьми лакомства -сладкие",то заключение будет совершенно иным (Ix'y'),т.е. "Некоторыевзрослые любят отнюдь не сладкое". Анализ и синтез силлогизмов можно проводить с помощью алгоритмов"Осташ".Так именуют себя жители г.Осташкова,земляки Л.Ф.Магницкого,ос-нователя Российской математики.                   Алгоритм "Осташ-Т"(тест). 1.Заменить посылки и заключение выражениями в соответствии с ана-  литическим описанием функторов A,E,I,O. 2.Получить выражение в виде конъюнкции всех посылок,имплицирующей  заключение. 3.Проверить это выражение на тождественность единице,занеся его в  карту Карно(КК).Если выполняется тождественность единице,то  заключение истинно.Если хотя бы одна из посылок или заключение  являются частным суждением,то силлогизм является истинным даже  при получении модальной единицы(т.е.в некоторых клетках КК  проставлены символы модальности i) при условии,что m=1 или  m'=1(в этом случае строка m или соответственно m' должна содер-  жать не менее 3-х целых единиц и только одну состав-  ную,т.е.1=i+j). В противном случае заключение не имеет места. Для синтеза заключения по заданным посылкам нужно выполнить алго-ритм "Осташ-С".                   Алгоритм "Осташ-С"(синтез). 1.Заменить посылки выражениями в соответствии с аналитическим  описанием функторов A,E,I,O. 2.Получить выражение в виде конъюнкции всех посылок и проинверти-  ровать его.Занести полученное выражение в карту Карно(КК). 3.Доопределить полученную функцию одним из выражений для функто-  ров A,E,I,O таким образом,чтобы получить тождественую или мо-  дальную единицу(т.е.в некоторых клетках КК будут проставлены  символы модальности i).При доопределении иметь в виду,что из  частной посылки должно следовать частное заключение.Перед дооп-  ределением в одной строке КК(m или m') должно быть не менее  2-х,а после доопределения не менее 3-х целых единиц.Доопределя-  емое заключение должно содержать минимально необходимое коли-  чество единиц.Функция доопределения является искомым заключени-  ем. 4.Если вышеуказанное доопределение невозможно,то из данных посы-  лок нельзя вывести никакого заключения. Аналитический синтез силлогизмов можно также проводить с помощьюалгоритма,который носит название "ИЭИ"(Ивановский энергетический инс-титут).              Алгоритм "ИЭИ"(синтез заключения). 1.Заменить посылки выражениями в соответствии с формулами дляфункторов A,E,I,O.Если обе посылки частно-утвердительные,то заключенияне существует. 2.Получить выражение для полной единицы М системы в виде конъюнк-ции всех посылок.Провести обязательную минимизацию. 3.Получить из М заключение силлогизма f(x,y),заменив средний тер-мин m или m' на 1.Если средний термин входит в М автономно,то заменитьего на i. Аналитические методы на основе алгоритмов "Осташ" и "ИЭИ" прек-расно дополняются графическим методом на базе скалярных диаграмм.Этоталгоритм носит имя "ТВАТ" в честь Тушинского вечернего авиационноготехникума,студентам которого в 1997г. автор впервые изложил данный ме-тод.Алгоритм прост,нагляден,доступен пониманию школьников.       Алгоритм "ТВАТ"(графический синтез силлогизмов) 1.Изобразить все возможные ситуации для исходных посылок с по-мощью скалярных диаграмм.С этой целью вначале выбрать посылку,выражен-ную общим суждением,и представить ее на скалярной диаграмме.Затемизобразить скалярные диаграммы второй посылки.При этом нужно реализо-вать все возможные для данной посылки ситуации из набора Axy,Exy,Ixy врамках ограничений,заданных этой посылкой,относительно среднего терми-на. 2.Занести в таблицу истинности все значения f(x,y) для входныхнаборов xy:00,01,10,11.Для облегчения задачи предварительно разбитьскалярные диаграммы вертикалью на две части:х = 0 и х = 1. 3.Выполнить минимизацию логической функции заключения f(x,y). 4.Полученный результат представить в виде силлогистического функ-тора в соответствии с известным базисом. Кроме того,для преодоления психологического барьера и привыканияк скалярным диаграммам рекомендуется на начальном этапе освоения алго-ритма "ТВАТ" использовать круги Эйлера для изображения всех возможныхситуаций,а затем переводить их на скалярный язык. Простота графического алгоритма "ТВАТ" наводит на мысль о том,чтои скалярные диаграммы,и алгоритм "ТВАТ" могли быть открыты 23 века на-зад Аристотелем.Во всяком случае,скаляры были известны  Евклиду,совре-меннику Аристотеля.Алгоритмы "Осташ" и "ТВАТ" дают одинаковые по пол-ноте и корректности результаты.Алгоритм "ИЭИ" для некоторых частныхсиллогизмов позволяет получить корректные,но неполные заключения.Этанеполнота с лихвой окупается простотой и прозрачностью алгоритма. В дальнейшем все примеры будут построены на русском базисе,пос-кольку темой лекции является русская силлогистика.Русский базис имеетследующее аналитическое представление: Axy = x'+y = (xy')' Exy = x'+y' = (xy)' Ixy = x+y+ix'y' Oxy = jx'y'. Для анализа и синтеза силлогизмов по алгоритму "Осташ" потребуют-ся отрицания функторов A,E,I,O: (Axy)' = xy' (Exy)' = xy (Ixy)' = jx'y' (Oxy)' = x+y+ix'y' Пример 1.   Пусть задан силлогизм и требуется проверить его корректность. Все люди(m) - талантливы(х) Все студенты(у) - люди -------------------------- Все студенты(у) - талантливы(х) Все m суть x (Amx) Все y суть m (Aym) ____________ Все y суть x (Ayx)                  Решение 1.В соответствии с п.1 алгоритма "Осташ" получим  (mx')'  (ym')'  _____  (yx')' 2.По п.2 алгоритма имеем  (mx')'(ym')' -> (yx')' 3.Проверка по п.3     (mx')'(ym')' -> (yx')' = mx'+ym'+y'+x = 1, т.е. заключение силлогизма истинно. Проверка по алгоритму "ИЭИ" выглядит так: M = (m'+x)(y'+m) = m'y'+xy'+mx f(x,y) = y'+x = Ayx Проверим результат с помощью скалярных диаграмм(алгоритм "ТВАТ").     m    m'  -----T------ ===========---------- ¦ xy ¦f(x,y)¦      x    x' +----+------+ ==============------- ¦ 00 ¦ 1 ¦   y   y'     ¦ 01 ¦ 0 ¦ =======-------------- ¦ 10 ¦ 1 ¦                        ¦ 11 ¦ 1 ¦                        L----+------- Из скалярной диаграммы видно,что "Все Y суть X"(Ayx),а такжеEyx'.Все эти суждения имеют одинаковую аналитическую форму:(yx')'.Всетри алгоритма дали один и тот же результат. Пример 2. Все члены коллегии адвокатов (x) - юристы (m) Все сотрудники нашего отдела (y) - юристы (m) ____________________________________________________ Найти y = f(x)                         Решение По традиционным представлениям [8] задача не имеет решения.Интуи-тивно можно согласиться с традицией. Проверим свою интуицию чисто формально по алгоритму "Осташ-С". 1.(m'x)'  (ym')'  __________  f(x,y) = ? 2.(m'x)'(ym')'->f(x,y)=m'x+ym'+f(x,y) = 1(i)     xy                                       -----T------     \ 00 01 11 10 x ===========---------- ¦ xy ¦f(x,y)¦    m \---T---T---T--- m ================----- +----+------+         0 ¦ ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ y1 -----------====------ ¦ 00 ¦ 1 ¦      +---+---+---+---+ y2 -----==========------ ¦ 01 ¦ i ¦    1 ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ y3 ========------------- ¦ 10 ¦ i ¦      L---+---+---+---- y4 =============-------- ¦ 11 ¦ i ¦                                                   L----+------- После доопределения КК в соответствии с п.3 алгоритма "Осташ-С"получим заключение(индекс в скобках указывает номер базиса): f(x,y) = x'y'+i = Ix'y'(3) Это соответствует в 3-м(Аристотелевском) базисе следующему заклю-чению:"Некоторые x' суть y'".Такое же заключение можно вывести и привнимательном рассмотрении скалярных диаграмм(также для 3-го бази-са).Однако,лучше всего с этой целью  воспользоваться алгоритмом"ТВАТ",т.е.перенести содержимое скалярных диаграмм в таблицу истиннос-ти и синтезировать f(x,y).Для второго базиса полученное заключениеx'y'+i не имеет соответствующего представления,т.е. для заданных посы-лок заключения в виде категорического суждения не существует .Для про-верки соритов,число посылок в которых может достигать 6 и более,реко-мендуется применять методы минимизации,изложенные в [11,12].Проверимполученное заключение по алгоритму "ИЭИ". M = AxmAym = (x'+m)(y'+m) = m+x'y' f(x,y) = x'y'+i = Ix'y',т.е. алгоритм "ИЭИ" подтвердил результатысинтеза. Пример 3. В книге К.И.Бахтиярова "Логические основы компьютеризации заклю-чений" - М.:1986(стр.42) приведен тест преподавателей логики Ф.Джон-сон-Лэрда и М.Стидмена,с которым справились лишь 60% испытуемых: Ни один химик(x) не есть пчеловод(m). Некоторые пчеловоды(m) есть художники(y). __________________________________ Некоторые художники(y) - не химики(x)                          Решение. Протестируем самих преподавателей. 1.Exm = (mx)'  Imy = my + i(my)'(3) __________________  f(x,y) = ? Здесь вторая посылка представлена в 3-м базисе. 2.(mx)'(my+i(my)') -> f(x,y) = mx+j(my)'+f(x,y) = 1(i)      xy                                      -----T------     \ 00 01 11 10 x ===========---------- ¦ xy ¦f(x,y)¦    m \---T---T---T--- m ---------------====== +----+------+    0 ¦ j ¦ j ¦ j ¦ j ¦ y1 -----------=======--- ¦ 00 ¦ i ¦      +---+---+---+---+ y2 -----================ ¦ 01 ¦ 1 ¦    1 ¦ j ¦ ¦ 1 ¦ 1 ¦ y3 ==================--- ¦ 10 ¦ i ¦     \L---+---+---+---- y4 -----------------==== ¦ 11 ¦ i ¦                                                   L----+------- После доопределения получаем в 3-м базисе: f(x,y) = x'y+i(x'y)' = Ix'y(3), т.е."Некоторые не-химики суть художники".Скалярные диаграммы иалгоритм "ТВАТ" также подтверждают этот результат. По алгоритму "ИЭИ": M = EmxImy = (m'+x')(my+i(m'+y')) = mx'y+im' f(x,y) = x'y+i = Ix'y(3). Все три алгоритма дали одинаковые результаты. Эти результаты слу-чайно совпали с тестовым заключением. Если бы мы вторую посылку предс-тавили в базисе Васильева,что соответствует здравому смыслу,то получи-ли бы иной результат,недоступный пониманию авторов теста: M = ExmImy(8) = (x'+m') & 1 = x'+m' f(x,y) = x'+i = Ix'y(5),т.е. заключение получено в 5-м базисе,окотором тестирующие не имеют ни малейшего представления. Пример 4. Проверить силлогизм. Все математики(m) - умные(y) Некоторые математики(m) - хитрые(x) ____________________________________________________ f(x,y) = IxyIx'y. M = AmyImx = (m'+y)(m+x+im'x') = m'x+my+xy+im'x' f(x,y) = x+y+ix' = Ixy По алгоритму "ТВАТ" получим более сильное заключение: f(x,y) = y+iy' = IxyIx'y. Пример 5. У Кэрролла [10,стр.27] приведен "неправильный" силлогизм: Все солдаты(х) храбрые(m) Некоторые англичане(y) храбрые(m) ---------------------------------- Некоторые англичане - солдаты Автор силлогизма утверждает,что любое заключение будет лож-ным.Проверим утверждение Кэрролла для русского базиса. M = AxmIym = (x'+m)(y+m+im'y') = m+x'y+im'x'y' f(x,y) = x'y+i = Ix'y(3), т.е. "Некоторые не-солдаты - англичане". Алгоритм "ТВАТ" подтверждает этот результат.В Аристотелевском ба-зисе полчаем Ixy(3). На основе рассмотренных методов может быть предложен обобщенныйалгоритм "Суздаль" решения задач по силлогистике.                    Алгоритм "Суздаль". 1.Привести все посылки к общему "знаменателю"(универсуму). 2.Выполнить алгоритм "ИЭИ" для получения оценочного заключения. 3.Изобразить все посылки с помощью кругов Эйлера,а затем перевес-  ти их на язык скалярных диаграмм.Иметь в виду,что круги Эйлера  отображают не все возможные ситуации,в связи с чем возможно до-  определение скалярных диаграмм. 4.Выполнить алгоритм "ТВАТ".Заключение должно быть не менее силь-  ным,чем полученое в п.2. Пункт 3 алгоритма "Суздаль" может быть опущен после надлежащегоосвоения скалярных диаграмм.Недостатки кругов Эйлера особенно яркопроявляются при синтезе силлогизмов в базисе Аристотеля-Жергонна,пос-кольку приходится описывать слишком большое число ситуаций. В традиционной логике различают четыре разновидности простого ка-тегорического силлогизма,которые называют фигурами.Три первых фигурыбыли предложены Аристотелем,а 4-ю фигуру впервые использовали схолас-ты. m ----- x x ------m m------- x x ----- m \          ¦ ¦           /  \         ¦ ¦          /   \        ¦ ¦         /    \       ¦ ¦        / y ----- m y -------m mL------ y m ----- y   1-я  2-я     3-я    4-я фигура Для каждой фигуры существуют 64 модуса.Модусы - это разновидностисиллогизмов,определяемые формой и взаимозависимостью их посылок и зак-лючений.В традиционной силлогистике рассматривют обычно лишь 64 моду-са,т.е. по 16 модусов для каждой фигуры. Используя приведенные методы, проверим все 64 модуса для 4-хфигур категорического силлогизма[8].В результате получим следую-щие правильные модусы русской силлогистики:                      1-я фигура:AAA,AEIxy'[3],AIIxy[5],AOOxy[7],EAE,EEIx'y'[3],EIIx'y[5],EOOxy[7],IAIxy'[3],IEIxy'[2],IOOxy[7],OAOxy[2],OEOxy[5],OIOxy'[2],OOOxy[2].                      2-я фигура:AAIx'y'[3],AEE,AIIx'y[3],AOOxy[2],EAE,EEIx'y'[3],EIIx'y[5],EOOxy[7],IAIxy'[3],IEIxy'[2],IOOx'y[2],OAOxy[2],OEOxy[5],OIOxy'[2],OOOxy[2].                      3-я фигура:AAIxy[3],AEIxy'[3],AIIxy[5],AOOxy[7],EAIx'y[3],EEIx'y'[3],EIIx'y[5],EOOxy[7],IAIxy[7],IEIxy'[7],IOOx'y[2],OAOxy[5],OEOxy[5],OIOxy'[2],OOOxy[2].                      4-я фигура:AAA,AEE,AIIx'y[3],AOOxy[2],EAIx'y[3],EEIx'y'[3],EIIx'y[5],EOOxy[7],IAIxy[7],IEIxy'[7],IOOx'y[2],OAOxy[5],OEOxy[5],OIOxy'[2],OOOxy[2]. Все они не противоречат здравому смыслу.Однако большейчастью не совпадают с традиционными "правильными" силлогизма-ми[8].Это и естественно:традиционная логика построена на нес-колько иных базовых суждениях. Кстати,для запоминания "правильных" модусов человечество придума-ло мнемонику,которая облегчает распознавание 19 сильных и 5 слабыхдостоверных форм.Первые три гласные в каждом слове представляют модус: 1.BARBARA,CELARENT,DARII,FERIOQUE = AAA,EAE,AII,EIO. 2.CESARE,CAMESTRES,FESTINO,BAROCO = EAE,AEE,EIO,AOO. 3.DARAPTI,DISAMIS,DATISI,FELAPTON,BOCARDO,FERISON    =  AAI,IAI,AII,EAO,OAO,EIO. 4.BRAMANTIP,CAMENES,DIMARIS,FESAPO,FRESISON          =  AAI,AEE,IAI,EAO,EIO. Мнемоника современного образца[20] выглядит проще и осмысленнее: 1.Четыре девочки:BARBARA,BERNADETTE,HERMIONE,LAVINIA. 2.Встретили 4-х мальчиков:ALPHONSO,ELIOTT,GERVASE,LAVRENCE. 3.Они посетили 6 мест:ATLANTIC,PACIFIC,EQUATOR,ETHIOPIA,  MIAMI,MONACO. 4.Там они видели пятерых знаменитостей:CLARENCE,  MELCHIOR,ISAIAH,MALACHI,MELANCTHON. Однако не следует забывать,что большинство этих модусов не имеетникакого отношения к логике здравого смысла.               Домашнее задание. 1.Проверить все "правильные" Аристотелевы модусы на основе русс-кого базиса. 2.Найти заключения для AxmImy',EmxIm'y,AmxIm'y',Am'xIxy.