Пифагорейцы – основоположники Математики Гармонии

Первой научной школой, предложившей свой вариант математического плана строения Вселенной, были пифагорейцы. Выдающийся математик и биолог Д`Арси Томпсон, обобщая математическую основу учения пифагорейцев, писал: «Гармония Природы является в Форме и Числе; и сердце, и душа всей поэзии Натурфилософии воплощена в понятии математической красоты…Не только движения небесных тел определяются наблюдением и разъясняются математикой, но и все остальное может быть выражено числом и определено естественными законами. Это – учение Платона и Пифагора и завещание человечеству греческой мудрости» [по 10, с. 80]. Представителями греческой школы были сформулированы два тезиса, значимость которых подтвердило все последующее развитие науки. Сущность этих тезисов состояла в следующем:

1) основополагающие принципы, на которых зиждется мироздание, можно выразить на языке математики,

2) объединяющим началом всех вещей является числовые отношения, которые выражают гармонию и порядок Природы.

В античной науке возникли два пути развития математики [162]. Первый путь был основан на проблеме счета и проблеме измерения. В этот период в математике было сделано два ключевых открытия. Позиционный принцип представления чисел, открытый вавилонскими математиками, был использован во всех известных системах исчисления, включая вавилонскую 60-ричную, десятичную и двоичную. Развитие этого направления привело к формированию концепции натурального числа и созданию теории чисел, первой фундаментальной теории математики. Несоизмеримые отрезки, открытые пифагорейцами, привели к открытию иррациональных чисел и созданию теории измерений, второй фундаментальной теории математики. В конечном итоге, натуральные и иррациональные числа и стали теми фундаментальными понятиями, которые были положены в основу всех математических теорий «классической» математики (теория чисел, алгебра, геометрия, дифференциальное и интегральное исчисления). Основные «элементарные функции» классической математики известны каждому со школьных времен (тригонометрические, экспоненциальная, логарифмическая, гиперболическая функции). Все они основаны на «главных математических константах»: - тригонометрические на числе π=3,1415…, экспоненциальная, логарифмическая и гиперболическая функции на числе е=2,718… (основание натуральных логарифмов).

Второй путь представлен тем, что параллельно с «классической» математикой в античной науке начала развиваться еще одна математическая теория - «Математика Гармонии». Эта теория в своем источнике имеет идеи древнегреческих мыслителей и математиков Пифагора и Платона. Большая заслуга в открытии этого направления принадлежит представителю школы Платона древнегреческому математику Евклиду (325-265 до н. э.). Евклид создал «Начала» - самое значительное математическое сочинение античной эпохи. Это произведение содержит основы античной математики: элементарную геометрию и теорию чисел, алгебру, теорию пропорций и отношений, теорию иррациональностей, методы определения площадей и объемов и др. Евклид подвел в этом произведении итог 300-летнему развитию греческой математики. Древнегреческий философ и математик Прокл Диадох (412-485) высказал гипотезу, что главная цель создания «Начал» состояла в том, чтобы изложить построение «Платоновых тел» (см. раздел 1.2). «Ключевым» открытием в этой области является деление отрезка в крайнем и среднем отношении (золотое сечение), введенное Евклидом для того, чтобы дать геометрическую теорию додекаэдра – одного из важнейших Платоновых тел. «Начала» следует рассматривать как «первую попытку создать Математическую теорию гармонии Мирозданья», которая ассоциировалась в древнегреческой науке с Платоновыми телами и золотым сечением. От этой проблемы, по мнению А.П. Стахова [159], берет свое начало «Математика Гармонии» как новое междисциплинарное направление и «золотая» парадигма современной науки. Таким образом, начиная с Евклида, возникло новое междисциплинарное направление, которое продолжается и активно развивается в наше время [159, 161, 162]. Это направление математики имеет тесные связи с естествознанием, в частности, с теоретической физикой, ботаникой, генетикой, биологией, информатикой, синергетикой. Термин «Математика Гармонии» (the mathematics of harmony) был введен в конце 20 века в Оксфордском философском справочнике для обозначения математического учения о природе, созданного древними греками.

Современное учение о гармонии основывается на следующих важнейших положениях [157]:

1. Для того, чтобы иерархическая система была устойчивой, каждый ее элемент на любом уровне ее организации должен быть «гармоничным» - это главное положение научной парадигмы, восходящей к Пифагору и Платону.

2. Не всякое сочетание создает «гармоническую», то есть, «устойчивую» структуру. Для этого каждый элемент должен быть образован по «законам» гармонии.

3. «Математическая теория чисел» или «Математика Гармонии», направленная на поиск «Математических законов Гармонии», носит универсальный характер, то есть, приложима ко всем структурам природы на любых уровнях ее организации.

Математика Гармонии «фиксирует внимание на количественной (отмечено нами. В.Ц.) стороне дела и безразлична к качественному своеобразию частей, вступающих в гармоническое соответствие» [212, с. 15]. Это направление математики следует рассматривать как науку о моделях гармонических процессов и структур, реально существующих в окружающем нас мире. «Математика Гармонии» может стать, - пишет А.П. Стахов [159], - основой «Науки о Гармонии Систем», важного междисциплинарного направления современной науки». Отметим, что используемый нами в этой книге системный подход к исследованию сердца млекопитающих теснейшим образом связан со структурной гармонией систем.

Уже в древности теоретическая основа гармонии была связана с числами и их отношениями. Древнегреческому философу и геометру Пифагору и его ученикам приписываются выражения: «Все вещи - суть числа», «Бог положил числа в основу мирового порядка», «Мир создан в подражание числам». Пифагор и пифагорейцы считали, что числа обладают таинственными, мистическими силами и они суть божественные существа. Число, рассматриваемое со всех этих сторон, есть сущность всего существующего, высшая объективная реальность. Числам принадлежит большая реальность, чем конкретным вещам, т. к. последние суть только проявления чисел, это – лишь внешняя сторона чисел, которая одна видна непосвященным, не постигающим внутренней сущности вещей. Следует отметить, «пристрастие» пифагорейцев к числам во многом было связано с мистикой. «Пифагорейцы предавались математике, как чему-то вроде религиозного созерцания, дабы приблизиться к божеству» [28, c. 146]. Пифагорейцы считали, что числа – это одновременно и разумная, и мистическая, и материальная основа вещей. Некоторые числа пифагорейцы считали священными. Например, число 2 олицетворяло женское начало, число 3 – мужское. Число 5=2+3 выражало брак - единство женского и мужского - и почиталось как священное. Кроме того, число 5 совмещало в себе симметричное начало (5=2+1+2) и асимметричное (5=2+3). Число 6 олицетворяло совершенство, ибо оно равно сумме всех делителей: 6=1+2+3. Числа 1, 2, 3, 4 имели у пифагорейцев особое значение. Сумма этих чисел, равная 10 (пифагорская четверица). Четверка образует целое, т.е. видимое и невидимое, т.е. выражает собою «Все». Пифагорейцы давали клятву священной декадой. Наряду с четверицей наиболее чтимым было число 36 (тетраксис), служившее символом всей Вселенной. Число 36 равно сумме первых четырех четных и четырех нечетных: 36=2+4+6+8+1+3+5+7. Клятва числом 36 считалась у пифагорейцев самой страшной. Пифагору приписывают изречение: «Познать мир – значит познать управляющие им числа». В наши дни не подлежит сомнению, что пифагорейцы были не правы, когда отождествляли мир вещей и чисел, но именно они сумели нащупать в мире вещей мир чисел, т.е. нечто фундаментальное и до сих пор во многом загадочное. Положение пифагорейцев о том, что числа правят миром, имеет мистический характер, что является причиной прохладного отношения к математике древних значительной части представителей классической науки нашего времени. Однако вспомним, что Иоганн Гёте, который был не только великим поэтом и мыслителем, но и крупным натуралистом, высказал в свое время глубокую мысль: «Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир», чем отделил пифагорейскую мудрость от мистики.

Большое значение пифагорейцы приписывали числам в деле познания. Пифагореец Филолай (вторая половина 5 в. до н.э.) утверждал: «Число есть основание оформленности и познаваемости всего сущего. Все познаваемое имеет число. Ибо без него невозможно ничего ни понять, ни познать». С помощью чисел пифагорейцы не просто решали практические задачи, а пытались объяснить природу всего сущего. Они стремились постигнуть сущность чисел и числовых отношений, ибо через нее надеялись понять сущность мироздания. Платон по этому поводу писал: «Мы никогда не стали бы разумными, если бы исключили число из человеческой природы» [по 40, с. 6]. Таким образом, в Древней Греции возникла первая в истории «попытка осмыслить число какмиросозидающий и смыслообразующий элемент» [205]. Пифагор и его ученики заложили основы Математической Гармонии. С этой точки зрения «Начала» Евклида были первой попыткой свести воедино имеющиеся к тому времени знания, первым подходом к созданию «математической» теории Гармонии, что было главной идеей греческой науки. Пифагорейцы первыми возвысили математику до ранее неведомого ей ранга: числа и числовые отношения стали рассматриваться ими как ключ к пониманию Вселенной и ее структуры. Они впервые пришли к убеждению, что «книга природы написана на языке математики», как спустя почти два тысячелетия выразил эту мысль Галилей.

Особое внимание Пифагор и его ученики уделяли пентаграмме – пятиконечной звезде, образованной диагоналями правильного пятиугольника. Пятиконечная звезда известна около 3000 лет; ее первые изображения донесли до нас вавилонские глиняные таблички. Как полагают, звездчатый пятиугольник из Древней Вавилонии в Грецию привез Пифагор [28]. В пентаграмме пифагорейцы обнаружили золотое сечение, которое в то время называлось «сечением в среднем и крайнем отношении». Звезда буквально «напичкана» золотыми сечениями, в ней установлено более 200 «золотых» соотношений. Пентаграмма считалась у пифагорейцев священной фигурой, символом гармоничной жизни и здоровья. Более того, Пифагор и его ученики сделали пентаграмму тайным опознавательным знаком своего сообщества.

Современная философия и методология науки в целом очень высоко оценивает деятельность Пифагора и его последователей, их вклад в развитие человеческого познания. По мнению выдающегося русского философа А.Ф. Лосева (1893-1988), пифагорейская философия чисел, исследования пифагорейцев в области математики, астрономии и музыки «это - величайший вклад в сокровищницу мировой философии и науки, потому что возникновение математического естествознания в новое время философски было связано с идеями пифагореизма» [102, с. 260]. «Я не знаю ни одного человека, - писал английский математик и философ Б. Рассел (1872-1970), - который оказал бы такое влияние на человеческое мышление, как Пифагор» [127, с. 42]. Величайшая заслуга Пифагора состоит в том, что он впервые ввел в математику метод доказательства, благодаря чему математика превратилась в самостоятельную науку. Многие ученые считают Пифагора родоначальником чистой математики, поскольку Пифагор сделал первый шаг к сплошной математизации наших знаний. Учение пифагорейцев стало самым мощным в истории познания фактором, наложившим сильнейший отпечаток на все дальнейшее развитие европейской философии и, в первую очередь, математики. «Математические теории позволили обнаружить порядок и план повсюду в природе, где их только можно было найти» [79, с. 350]. Об этом же пишет Н. Винер (1894-1964): «Высшее назначение математики…состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает» [по 41, с. 47].

Древнегреческие философы впервые объединили Число и Гармонию. Теория Числа как единого организующего принципа Мироздания является стержнем всей философской системы Пифагора. Особенно велик вклад пифагорейцев в теорию пропорций (в том числе и золотого сечения), на которых основана вся античная наука и культура. Среди современных теоретиков, занимающихся проблемой гармонии, структуры и организации, возрастает интерес к «золотой» пропорции и «золотому» числу Ф=1,618. В пропорции, связанной с золотым числом, представлено неравенство сопрягающихся элементов целого, соединенных законом подобия, которое выражает заключенную в золотом сечении меру симметрии и асимметрии. В связи с этим, Э.М. Сороко высказал мнение, что «сочетание симметрии и асимметрии в определенной пропорции и есть гармония» [151]. Отметим, золотая пропорция обладает уникальным комплексом свойств: мультипликативности, аддитивности и симметрии подобия. Это неповторимое по гибкости сочетание свойств отображает особенности золотой пропорции. Особые свойства золотого сечения позволяют возвести это, говоря словами Кеплера, «математическое сокровище» в разряд инвариантных сущностей гармонии. «С точки зрения Платона, да и вообще с точки зрения всей античной космологии, - писал А.Ф. Лосев, - мир представляет некое пропорциональное целое, подчиняющееся закону гармонического деления – золотого сечения». Он же считал, что «закон золотого сечения должен быть диалектической необходимостью» [101, с. 412]. В наше время Математика Гармонии является развитием и обобщением тысячелетних исследований в области теории золотого сечения, которая начала создаваться в Древней Греции. Ее главная цель – ввести в современную науку золотое сечение в качестве фундаментального понятия современной науки.

Большое значение в развитии Математики Гармонии имело то, что пифагорейцы обратили внимание на правильные многогранники. Существуют пять правильных многогранников: четырехгранник (тетраэдр), шестигранник (куб), восьмигранник (октаэдр), двенадцатигранник (додекаэдр) и двадцатигранник (икосаэдр). Все правильные многогранники были известны пифагорейцам и получили в дальнейшем название Платоновых тел по имени Платона, впервые их систематически описавшим. Каждое из этих тел, по представлению Платона, символизировало одно из пяти «начал» или «стихий»: тетраэдр - тело огня, октаэдр - тело воздуха, гексаэдр (куб) - тело земли, икосаэдр - тело воды, додекаэдр - тело мира (вселенской души, эфира или разума). По мнению Э.М. Сороко [150], Евклид «создавал «Начала»…, чтобы дать полную систематизированную теорию построения пяти «Платоновых тел», попутно осветив новейшие достижения математики». Евклидом впервые была показана возможность построения всех правильных многогранников на основе деления отрезка в среднем и крайнем отношении (т. е. с использованием золотого сечения). Пятиугольники присутствуют в двух из этих многогранников. Это додекаэдр, имеющий 12 пятиугольных граней и икосаэдр, имеющий 20 треугольных граней. Если в додекаэдре пятиугольники, носители золотого сечения, являются гранями, то в икосаэдре они образуются при соединении пяти треугольников в одной вершине. Сумма граней и вершин у додекадра и икосаэдра одинакова (равна 32); эти многогранники могут легко переходить друг в друга. Геометрические отношения между додекаэдром и икосаэдром также определяются золотым сечением [90]. Роль этих совершенных фигур, основанных на золотом сечении, в развитии науки столь велика, что правомерно говорить о том, что в трудах Платона возникла «икосаэдро-додекадрическая доктрина», которая красной нитью проходит через всю науку. Отметим, что еще Сократ высказывал предположение, что Земля имеет форму додекаэдра. В 17 веке И. Кеплер, используя тела Платона, построил оригинальную геометрическую модель Солнечной системы. Икосаэдр, по мнению выдающегося немецкого математика Ф. Клейна, является главной геометрической фигурой математики [80]. В наше время установлено «присутствие» всех Платоновых тел в древнейшей фигуре сакральной геометрии - «Цветке Жизни» [106].

Столь близкая связь между додекаэдром и икосаэдром, возможность трансформации одного в другое играет, по мнению многих, большую роль в живой природе. Установлено, что в ходе зародышевого развития многоклеточных животных организмов, называемого гаструляцией, вначале образуется тетраэдр из четырёх клеток, потом октаэдр, куб, а потом икосаэдр и додекаэдр, словом все пять платоновых тел, притом в строгой последовательности. Не менее интересны утверждения, касающиеся структуры молекулы ДНК. Поворачивая куб определённым образом на «золотой» угол в 72^о, можно получить икосаэдр, составляющий, как мы уже знаем, дуальную пару с додекаэдром. Получается, что в построенной по принципу двустороннего соответствия двойной нити спирали ДНК за икосаэдром следует додекаэдр, затем снова икосаэдр, и так далее. Таким образом, молекула ДНК геометрически представляет собой полученное вращением куба чередование икосаэдров и додекаэдров. А.Г. Волохонский [39] установил соответствие общей структуры генетического кода, ряда биноминального разложения 2 и икосаэдра. Английский биохимик Дж. Кендрью показал, что пространственная конфигурация молекулы миоглобина имеет форму икосаэдра [89]. Им же было установлено, что вирусы, состоящие из белка и РНК, также представляют собою правильные икосаэдры. Можно добавить к этому, что среди представителей живой природы чаще всего встречается симметрия 5-го порядка, невозможная для затвердевшего, окристализованного, «мертвого» вещества. Известна пятерная симметрия медуз, осьминогов, морских звезд, многих цветов, внутреннего строения сердцевины яблока, расположения листьев и т.д. О сущности этого явления оригинальную идею высказал академик Н.В. Белов: «Можно подумать, что пятерная симметрия является у мелких организмов своеобразным инструментом борьбы за существование, страховкой против окаменения, против кристаллизации, первым шагом которой была бы их «поимка» решеткой» [12, с. 41].

Отметим, в современной науке, как продолжение традиций школы Пифагора, возрождается интерес к «особым» числам, представленным во многих объектах природы. Как пишет Ю.А. Урманцев, «Числа выступают на передний план в самых «горячих» точках науки: то при изучении распределения планет в Солнечной системе, то при объяснении сущности кода наследственности, то при выводе фундаментальных инвариантов в теоретической физике, то при определении периодической природы музыкального ряда и таблицы Менделеева» [180, с. 16-17]. Одним из таких чисел является безразмерная величина a =q²/ħc = 1/137,03…, включающая в себя мировые константы с - скорость света, q - заряд электрона, ħ =h/2 p, где h - постоянная Планка. Эйнштейн и Планк, как считает Г.Б. Аракелян [2], были первыми, кто обратил внимание на безразмерную величину a=q²/ħc. Величина a получила обозначение постоянной тонкой структуры. Известно, что Эйнштейн пытался, хотя и безуспешно, установить связь между величинами q, ħ и c. Величина a=1/137,03 обеспечивает стабильное существование материи, в том числе и живой. В последние годы в физике установлено, что набор мировых констант, таких как скорость света, постоянная гравитации и т.д., обладает удивительным свойством. Даже ничтожные их изменения, порядка малых долей процента, привели бы к такому изменению характера мирового процесса самоорганизации, который исключил бы возможность появления во Вселенной достаточно стабильных структур, таких, например, как Солнечная система и, в конечном счете, возникновения жизни на Земле. М.А. Марутаевым [105] на основе разработанной им качественной симметрии была показана связь золотого числа F=1,618 с фундаментальным числом b=a^-1»137. «Присутствие» ключевой величины Математики Гармонии – золотого числа – установлено во многих системах теоретической физики, химии, ботаники, генетики, биологии, медицины, синергетики и других наук.

Основные классы элементарных функций «классической» математики основаны на «особых» математических константах: тригонометрические - на числе p, экспоненциальная, логарифмическая и гиперболические функции – на числе е. «Особые» числа e=2,718… и p=3,14…1 в различных сочетаниях входят в основные уравнения физики. Золотое число Ф=1,618… также становится особым числом. Ситуация такова, что Природа словно «благоволит» к этим числам, равнодушно «отвергая» остальные. Появление в науке «особых» чисел является неизбежным следствием применения в ней аппарата чистой математики в качестве универсального средства для количественного описания явлений природы. Однако, «весь вопрос, - как пишет Г.Б. Аракелян [2, c. 133], - ...в том, почему при описании наиболее фундаментальных закономерностей появляются именно эти (отмечено нами. В.Ц.), а не другие числа?».