Коэффициент теплопроводности

Основным законом теплопроводности является предложенная Фурье гипотеза, подтвержденная опытами, о пропорциональности теплового потока градиенту температуры. Математическое выражение закона Фурье для плотности теплового потока имеет вид:

  

                                           q = - λ∙ n_{0 ·}∂Т/ ∂n,                                  (2.6)

 

где коэффициент пропорциональности λ называют коэффициентом теплопроводности.

Закон Фурье применим для описания теплопроводности газов, жидкостей и твердых тел, различие будет только в коэффициентах теплопроводности.

Плотность теплового потока  q – векторная величина. Вектор   q направлен в сторону уменьшения температуры (рис. 2.3). Знак минус в уравнении отражает противоположность направлений векторов плотности теплового потока и температурного градиента.

 

                        _·∂Т/ ∂n                              

                                                  изотермическая

                                                   поверхность

                                        dF

 

 

                                                      q

                                                         

                                                           

                                                       

          Рис. 2.3. Направление плотности теплового потока

 

Скалярная величина вектора плотности теплового потока:

 

                                       q = - λ∙_·∂Т/ ∂n.                                    (2.7)

 

Коэффициент теплопроводности является физическим свойством вещества – характеризует способность вещества проводить теплоту и имеет размерность Вт/(м∙К). Численно он равен количеству теплоты, проходящей через единицу изотермической поверхности в единицу времени при градиенте температуры, равном единице.

Величина коэффициента теплопроводности зависит от природы вещества, его структуры, температуры и в меньшей степени – от давления. Для абсолютного большинства веществ коэффициент теплопроводности нельзя рассчитать из теоретических предпосылок (исключение составляют лишь газы при низких температурах). Поэтому значения λ определяют экспериментально и для практических расчетов обычно считают одинаковыми для всего тела и вычисляют его по среднеарифметической из крайних значений температуры тела. Числен-ные значения коэффициентов теплопроводности берутся из справочных таблиц (табл. 2.1).

 

Таблица 2.1. Теплофизические свойства различных веществ

Наименование веществ

toС

λ

ρ

с

α ∙106

 

Вт/(м∙К)

кг/м3

кДж/(кг∙К)

м2/c

 

Металлы и сплавы

 

Алюминий

0

209,3

2700

0,896

86,7

 

Дюралюминий (95% Al, 3-5% Сu)

20

164,4

2800

0,883

66,7

 

Медь

0

389,6

8930

0,388

112,5

 

Латунь (70%Cu, 30%Sn)

20

110,7

8520

0,385

33,8

 

Железо

0

74,4

7880

0,440

21,5

 

Сталь углерод. (С=0,5%)

20

53,6

7830

0,465

14,7

 

Сталь нерж. 1Х18Н9Т

20

16,0

7900

0,502

4,04

 

Чугун (С=4%)

20

51,9

7270

0,419

17,0

 

Неметаллич. материалы

 

Асбест листовой

30

0,1163

770

0,816

0,186

 

Железобетон

20

1,50

2200

0,840

0,812

 

Пенобетон

25

0,095

360

0,800

0,330

 

Шлакобетон

0

0,67

1500

0,750

0,596

 

Кирпич красный

0

0,77

1800

0,880

0,486

 

Кирпич силикатный

0

0,8141

1900

0,837

0,512

 

Стекло

20

0,7443

2500

0,670

0,444

 

Стеклянная вата

0

0,0372

200

0,670

0,278

 

Шлаковая вата

100

0,0698

250

-

-

 

Жидкости

 

Вода

0

0,5513

999,9

4,212

0,131

 

Спирт метиловый(СН3ОН)

0

0,2140

809,7

2,428

0,109

 

Спирт этиловый (СН5ОН)

0

0,1884

806,2

2,302

0,101

 

Фреон-12

0

0,0919

1394

0,929

0,071

 

Газы и пары

 

Водяной пар Н2О

100

0,024

0,598

2,135

18,6

 

Воздух (сухой)

0

0,0244

1,293

1,005

18,8

 

Азот N2

0

0,0243

1,250

1,030

18,9

 

Кислород О2

0

0,0247

1,429

0,915

18,9

 

Водород Н2

0

0,1721

0,0899

14,192

135,0

 

Окись углерода СО

0

0,0233

1,25

1,039

17,9

 

Двуокись углерода СО2

0

0,0146

1,977

0,815

9,06

 

Как видно из таблицы 2.1 наибольшим коэффициентом теплопро-водности обладают металлы, наименьшим – газы. Сплавы металлов отличаются меньшей теплопроводностью по сравнению с чистыми металлами, причем даже незначительные примеси могут вызывать существенное уменьшение λ. Для большинства чистых металлов коэф-фициент теплопроводности уменьшается с ростом температуры, тогда как у сплавов он увеличивается.

Неметаллические материалы имеют значительно меньшие, по сравнению с металлами, величины λ. Среди них наибольший интерес представляют теплоизоляционные, керамические и строительные материалы. Большинство этих материалов имеет пористое строение, поэтому их коэффициент теплопроводности учитывает не только способность вещества проводить теплоту соприкосновением структурных частиц, но и радиационно-конвективный теплообмен в порах. Структура вещества и вид газа или жидкости, заполняющих поры, существенно влияют на коэффициент теплопроводности, поэтому при его оценке необходимо учитывать плотность и влажность материала. С увеличением пористости вещества его коэффициент теплопроводности уменьшается. Теплоизоляционные материалы пористого происхождения используются при температурах, не превышающих 150⁰С. Для тепловой изоляции при высоких температурах используются жароупорные материалы. У теплоизоля-ционных и строительных материалов коэффициент теплопроводности с ростом температуры увеличивается.

У капельных жидкостей с повышением температуры коэффициент теплопроводности обычно уменьшается (исключение составляют вода и глицерин). Повышение давления приводит к росту  λ, однако этот эф-фект незначителен.

У газов и паров с увеличением температуры коэффициент теплопроводности возрастает. Такой же эффект вызывает и увеличение давления. Однако его влияние намного слабее.

 

 

             2.1.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ                           

                                   ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

  Теория теплопроводности является феноменологической теорией, она не рассматривает механизм процесса распространения теплоты, а ограничивается описанием этого процесса на основе закона сохранения энергии и закона Фурье.

Основным уравнением математической теории теплопроводности является дифференциальное уравнение с частными производными, связывающее временное и пространственное изменение температуры в сплошной среде (газе, жидкости или твердом теле). Оно выводится на основании закона сохранения энергии (первый закон термодинамики) и закона Фурье и выражает тепловой баланс для малого элемента объема среды с учетом поступления теплоты от источников и тепловых потерь через поверхность элементарного объема вследствие теплопроводности. Для изотропной однородной неподвижной среды с теплопроводностью λ, удельной теплоемкостью при постоянном объеме  с_v и плотностью ρ, не зависящими от температуры, а также с равномерно распреде-ленными внутренними источниками теплоты (появление внутренних источников может быть вызвано, например, физико-химическими превращениями в процессе горения, когда химический процесс сопро-вождается экзотермическим, а в некоторых случаях и параллельным эндотермическим, эффектом) дифференциальное уравнение теплопро-водности имеет вид:

 

                                 ∂Т/ ∂t = α Ѳ Т + q_v/ρc,                      (2.8)

 

где α = λ/ρc - физическое свойство вещества, характеризующее                                                                                                                           

                      скорость выравнивания температуры в неравномерно

                      нагретом теле и называемое коэффициентом тем-

                      пературопроводности (численные значения   α при-

                      ведены в таблице 2.1);       

              q_{v -}   мощность внутренних источников теплоты, которая

                       представляет собой количество теплоты, выделяемой 

                       (поглощаемой) источниками (стоками) в  единице

                       объема тела за единицу времени;

                  Ñ²  - оператор Лапласа:

в прямоугольных координатах x, y, z

        

                               Ñ² = ∂²/∂x²  +  ∂²/∂y² +  ∂²/∂z² ;                     (2.9)

 

в цилиндрических координатах r, j, z

                      Ѳ = ∂²/∂r²  + 1/r ∙_·∂/∂ r + 1/r² ∙ ∂²/∂j² + ∂²/∂z².     (2.10)

 

В тех случаях, когда температурное поле оказывается двухмерным или одномерным, оператор Лапласа соответственно упрощается за счет тождественного равенства нулю производных по тем координатам, от которых температура не зависит.

Решение дифференциального уравнения теплопроводности содержит постоянные интегрирования и потому не является однозначным. Для оценки этих констант необходимо задать частные особенности изучае-мого явления (конкретной задачи теплопроводности). Математическую формулировку частных особенностей явления называют краевыми условиями или условиями однозначности.

Для большинства практических задач, в которых рассмотрение явления теплопроводности ограничено пределами данного тела, разли-чают три рода таких условий:

1) граничные условия первого рода – на поверхности тела задано распределение температуры Т_п в каждый момент времени; в простей-шем случае температура поверхности тела может поддерживаться по-стоянной;

  2) граничные условия второго рода – на поверхности тела задано распределение плотности теплового потока q_п в каждый момент времени. Это распределение может быть равномерным и не изменяться во времени, в частности если поверхность теплоизолирована, то

 

                                               (∂Т/ ∂n)_п = 0;                                (2.11)

 

3) граничные условия третьего рода – известна (задана) температура окружающей тело среды и закон теплоотдачи между поверхностью тела и окружающей средой.

  Законы конвективного теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой отличаются большой сложностью и будут рассмотрены в разделе «Конвективный теплообмен». В основу изучения конвективного теплообмена положен закон Ньютона:

 

                                            q  = α (Т_ст – Т_ж),                                (2.12)

 

где q - плотность теплового потока, Вт/м²;

Т_ст – температура поверхности тела (стенки), К;

Т_ж – температура окружающей среды (жидкости или газа), К;

α – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплоотдачи, Вт/(м²∙_·К).

Коэффициент теплоотдачи характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Он численно равен количеству теплоты, отдаваемой (или воспринимаемой) единицей поверхности в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой в 1⁰C. Коэффициент теплоотдачи зависит от многих факторов, но при решении задач теплопроводности твердого тела его принимают в большинстве случаев постоянной величиной. 

Согласно закону сохранения энергии, количество теплоты, отдаваемое единицей поверхности тела окружающей среде в единицу времени вследствие теплоотдачи, должно быть равно теплоте, которая путем теплопроводности подводится к единице поверхности в единицу времени со стороны внутренних частей тела, т.е.

 

                                 α (Т_ст– Т_ж) = - λ(∂Т/ ∂n)_п.                            (2.13)

 

Полученное равенство является математической формулировкой граничного условия третьего рода; оно является действительным для каждого момента времени.

Наряду с прямой задачей теплопроводности – отысканием температурного поля   Т= f(x,y,z,t) путем решения дифференциального уравнения теплопроводности с известными краевыми условиями – возможна постановка и обратной задачи, где по заданному в пространстве и во времени распределению температур требуется определить соответствующие краевые условия (либо начальное распределение температуры, либо граничные условия) или физические свойства вещества λ, с и ρ.

 

 

                       Контрольные вопросы

1. Что называется температурным полем?
2. Напишите уравнение температурного поля при нестационарном (неустановившемся) тепловом режиме.
3. Напишите уравнение температурного поля при стационарном режиме.
4. Что называется изотермической поверхностью и изотермой?
5. Что называется градиентом температуры?
6. Что называется плотностью теплового потока?
7. Напишите математическое выражение закона Фурье.то называется коэффициентом теплопроводности?
8. От каких факторов зависит коэффициент теплопроводности?
9. Опишите особенности теплопроводности различных веществ.
10. Дифференциальное уравнение теплопроводности.
11. Опишите граничные условия первого, второго и третьего рода.
12. Закон Ньютона для конвективного теплообмена.
13. Что называется коэффициентом теплоотдачи?

                                 

   

   2.2. СТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

В стационарных процессах теплопроводности температура в любой точке твердого тела не зависит от времени, т.е. ∂Т/∂t =0.

      В настоящей главе рассматриваются наиболее распространенные простейшие стационарные задачи теплопроводности при условии, что тепловыделение (теплопоглощение) в объеме стенок отсутствует, т.е. q_v=0. В этом случае дифференциальное уравнение теплопроводности после сокращения коэффициента температуропроводности принимает вид:

в прямоугольных координатах x, y, z

 

                      Ѳ Т  = ∂²Т/∂x²  +  ∂²Т/∂y² +  ∂²Т/∂z² = 0;         (2.14)

 

в цилиндрических координатах r, j, z

 

       Ѳ Т= ∂²Т/∂r²  + 1/r ∙_·∂Т/∂ r + 1/r² ∙ ∂²Т/∂j² + ∂²Т/∂z² = 0.   (2.15)