Общие особенности расчета термодинамических параметров плазмы

 

       Плазмой называется ионизованный газ, состоящий из положительно и отрицательно заряженных и нейтральных частиц, удовлетворяющий условию квазинейтральности и имеющий размеры значительно большие чем радиус Дебая. Условие квазинейтральности означает, что плазма электрически нейтральна в среднем в достаточно больших макроскопических объемах с характерным размером порядка радиуса Дебая  и за достаточно большой промежуток времени, определяемый временным масштабом разделения зарядов ~  (  - средняя скорость теплового движения частиц). Положительно заряженные частицы - это всегда ионы с зарядом ez, где e=1,6х10^-19 Кл - заряд электрона, z - зарядовое число (z=0,1,2,...; z=0 - нейтральный атом, z=0 - нейтральный атом, z=1 - однозарядный ион, z=2 - двухзарядный ион и т.д.). Отрицательно заряженные частицы - это обычно электроны. Следует помнить, что в результаты «прилипания» электронов к нейтральным атомам в плазме могут возникать и отрицательные ионы, но они встречаются достаточно редко и их роль имеет второстепенное значение.

       В соответствии с условиями квазинейтральности и сохранения общего числа тяжелых частиц (ионов и атомов)  в плазме, средние концентрации частиц должны удовлетворять следующим балансовым уравнениям:

, ,                                          (1 а)

где ,  - средние концентрации соответственно электронов и ионов с зарядовым числом z; z_m - максимальное зарядовое число иона в плазме для данных условий.

       С учетом того, что средние концентрации частиц сорта i (i=e,z) для плазмы, находящейся в объеме V, связаны со средним числом молей i - ой частицы N_i соотношением  (здесь =6,023х10²³ шт/моль - число Авогадро) уравнения (1 а) могут быть записаны в виде:

, ,                                    (1 б)

где N_e, N_z - средние числа молей электронов и ионов с зарядовым числом z, в плазме объемом V,  - полное число молей всех атомов и ионов.

       Термодинамика изучает свойства систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия. Важнейшей характеристикой такой термодинамически равновесной системы является её температура T. Плазма, как смесь частиц с существенно различными массами, имеет одну определенную температуру T только, если она находится в состоянии полного термодинамического равновесия. Следует помнить, что очень часто в плазме приходится иметь дело с так называемым частичным термодинамическим равновесием, при котором (поскольку обмен энергиями электронов с ионами происходит гораздо медленнее, чем обмен между ионами, т.е. частицами близкими по массе) в не слишком плотной плазме может существовать состояние, когда она характеризуется двумя различными температурами: электронной  и ионной . Плазму с  называют изотермической. С условиями выполнения термического равновесия в плазме можно ознакомиться в работе [2].

       Плазма представляет из себя систему заряженных частиц с дальнодействующим кулоновским взаимодействием. Характерным эффективным расстоянием взаимодействия между частицами в плазме является радиус Дебая  (здесь =8,85х10^-12 ф/м - электрическая постоянная, =1,38х10^-23 Дж/К - постоянная Больцмана), величина которого по определению должна быть больше среднего расстояния между заряженными частицами . Поэтому плазма отличается от идеального газа из нейтральных частиц, для которого расстояние взаимодействия  всегда меньше расстояния между частицами. Но несмотря на это, в термодинамическом отношении, плазму можно рассматривать как идеальный газ, если средняя энергия электростатического взаимодействия между частицами  мала по сравнению с кинетической (тепловой) энергией частиц , т.е. если

~ ~ <<1,                                  (2)

где  - объем сферы с радиусом  Дебая.

       Отсюда следует, что чем больше заряженных частиц в сфере Дебая , или, что тоже самое, чем больше дебаевский радиус  по сравнению со средним расстоянием между частицами в плазме , тем лучше выполняется условие идеальности плазмы, и в первом приближении (расчет параметров плазмы с учетом поправок на кулоновское взаимодействие см. в [1,2]) такой ионизованный газ можно рассматривать как идеальный. В этом приближении плазма может быть представлена как смесь термически и калорически идеальных электронного и ионного газов, для которых парциальные давления и удельные (мольные) внутренние энергии  рассчитывается по формулам:

,                                            (3)

а полное давление плазмы Р в соответствии с законом Дальтона и полная энергия плазмы Е согласно условию аддитивности () могут быть найдены из соотношений:

                               ,                                (4)

где  - число молей i-ого компонента (i=e,z);  - удельная (мольная) внутренняя энергия i-го компонента соответственно при температуре Т и при нулевой температуре, -мольная теплоемкость i-й компоненты  - универсальная газовая постоянная.

       Если ограничиться рассмотрением атомарной плазмы, т.е. состоящей из одноатомных частиц, то величину удельной теплоемкости каждой из компонент плазмы (электронов, атомов и ионов) можно приблизительно принять постоянной (при условии пренебрежения электронным возбуждением атомов и ионов) и равной в соответствии с теоремой равнораспределения своему классическому значению:

                                     (5)

       Обратим внимание на необходимость учета во внутренней энергии компонента i энергии (см. уравнение (3)), являющейся по физическому смыслу потенциальной энергией отдельных частиц плазмы - энергией «химических» связей сложных частиц (атомов и ионов) и отражающей различие энергий z - кратного иона от энергии (z+1) - кратного иона на величину энергии , необходимой для образования (z+1) - кратного иона в результате ионизации z - кратного иона, т.е. «отрыва» от него электрона. Величина этой энергии (в расчете на одну частицу)  называется энергией или потенциалом ионизации z - кратного иона. В соответствии с этим определением энергия, затрачиваемая на образование однозарядного иона с z=1 из нейтрального атома z=0 называется первым потенциалом ионизации . Потенциал ионизации однозарядного иона (z=1) называется вторым потенциалом ионизации  и т.д. Величины потенциалов ионизации зависят от химической природы вещества (т.е. от атомного номера А химического элемента). Энергию или потенциал ионизации принято измерять в электронвольтах (1 эВ=1,6х10^-19 Дж). В таблице 1 приведены значения первого  и второго потенциалов  ионизации некоторых элементов.

       Вид конкретных формул, для расчета  отдельных компонент плазмы зависит от выбора уровня (нуля) отсчета этой потенциальной энергии, который должен быть общим для всех компонент. Например, можно принять за ноль отсчета этой энергии энергию нейтрального атома, т.е. положить . Энергию электрона, как «простой» частицы, также можно считать нулевой, т.е. . Поскольку для образования одного однозарядного иона к атому нужно подвести энергию равную потенциалу ионизации , энергия моля однозарядных ионов, содержащих  штук частиц, будет на  больше чем энергия атомов при нулевой температуре, т.е. . Для образования из атома 2-х зарядного иона (z=2) нужно последовательно затратить энергию , следовательно потенциальная энергия моля 2-кратно ионизованных ионов относительно выбранного нулевого уровня должна рассчитываться как . Энергия образования моля z-кратных ионов равна (z=0,1,2,...):

,                    (6)

       В качестве основных количественных характеристик состава многократно ионизованного газа принято использовать не абсолютные значения чисел молей компонент, а степень ионизации a, равную отношению концентрации электронов  (или числа молей ) к полной концентрации (или полному числу молей ) атомов и ионов:

и относительные концентрации z-кратных молей , равные отношению концентрации  (или числа молей ) ионов с зарядовым числом z к полной концентрации  (или полному числу молей ) всех ионов:

= = ,

       С учетом этих введенных параметров и соотношений (3,5,6) балансовые уравнения (1) и уравнения (4) для определения полного давления и полной энергии плазмы могут быть записаны в виде:

,                                     (7а)

= =                (7б)

                   (7в)

       В справочных целях приведем здесь используемые в литературе иные формы записи термического уравнения состояния плазмы (7 б):

= =

где , [ ] - газовая постоянная атомарного газа плазмообразующего вещества; =  [ ] - газовая постоянная плазмы,  - молярная масса плазмы (как смеси электронов, ионов и атомов).

Термическое (7б) и калорическое (7в) уравнения состояния плазмы содержат неизвестные величины  и , определение которых является важнейшей термодинамической задачей. Применяя термодинамический метод к решению этой задачи необходимо помнить, что термодинамика позволяет определить парциальный состав (т.е. a и ) лишь для плазмы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия. Для закрытой (т.е. с фиксированной массой) системы, в которой могут протекать физико-химические реакции, условие термодинамического равновесия требует выполнения принципа детального равновесия [1,2]:

- каждому прямому процессу отвечает обратный, идущий по тому же пути;

- в состоянии термодинамического равновесия скорости прямого и обратного процессов равны.

       В плазме основными прямыми процессами ионизации являются:

ионизация электронным ударом

,                       (8а)

и ионизация излучением

,                          (8б)

где  - химический символ иона с зарядовым числом z, e - электрон, hn - фотон.

       Каждому из этих процессов отвечает обратный процесс рекомбинации. Для прямого процесса ионизации (8а) обратным процессом является рекомбинация при тройных столкновениях:

,                           (9а)

а для прямого фотоионизационного процесса (8б) обратным является рекомбинация при парных столкновениях с излучением:

,                           (9б)

       Общий вид условия равновесия ионизации наиболее наглядно можно определить из элементарных кинетических соображений. В соответствии с принципом детального равновесия, необходимо потребовать, чтобы прямые и обратные процессы протекали по одному пути. Если ионизация происходит при электронном ударе (8а), то обратный процесс рекомбинации должен осуществляться при тройных столкновениях (9а). Скорость прямой реакции (ионизации)

,

и обратной (рекомбинации)

,

где ,  - концентрации электронов и z - кратных ионов; ,  - так называемые константы скоростей прямой и обратной реакций, являющиеся функциями температуры. В состоянии равновесия скорости прямого и обратного процессов должны быть равны = , откуда следует:

,      z=0,1,2,....             (10)

Величина  носит название константы равновесия.

       Если ионизация происходит под действием излучения (8б), то рекомбинация в условиях термодинамического равновесия должны идти при парных столкновениях (9б). Тогда, скорости этих реакций:

= ,

,

где  - плотность (квант/м³) квантов излучения с энергия , вызывающих фотоионизацию z-кратного иона A_z;  - спектральная плотность энергии равновесного теплового излучения (формула Планка); ,  - константы скоростей фотоионизации и парной рекомбинации; h=6,63х10^-34 Дж с - постоянная Планка.

Условие равенства скоростей прямой и обратной реакций дает:

= = ,      z=0,1,2,...              (11)

В силу одинаковости левых частей соотношений (10) и (11) должны быть равны константы равновесия . Из сказанного следует, что стационарное состояние ионизации совпадает с состоянием термодинамического равновесия, как в случае, если ионизация осуществляется электронным ударом, а рекомбинация - при тройных столкновениях, так и в случае ионизации равновесным излучением и лучистой рекомбинации, а условие равновесия в плазме имеет общий вид (10).

       Соотношение (10) (или (11)) является частным случаем так называемого закона действующих масс [1], устанавливающего связь между концентрациями различных частиц в термодинамически равновесной химически реагирующей газовой системе, в которой между компонентами может осуществляться прямая и обратная химическая реакция, записываемая в следующей форме:

,

где  - стехиометрический коэффициент при реагенте с химическим символом . В соответствии с законом действующих масс в состоянии полного термодинамического равновесия при заданных значениях (T,V) или (T,P), концентрации отдельных компонент реагентов [A_i] и [B_i] определяются по уравнению:

Нетрудно видеть, что для плазмы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, с обратимыми «химическими» процессами ионизации - рекомбинации

,

,

применение уравнения закона действующих масс приводит к соотношению (10).

       Здесь важно обратить внимание на то, что такое соответствие между прямыми и обратными процессами обеспечивается лишь в достаточно плотной плазме, где излучение находится в равновесии с веществом. В разреженной плазме, когда излучение свободно выходит из плазменного объема могут возникать ситуации, когда ионизация производится в основном электронным ударом (реакция 8а), а рекомбинация осуществляется главным образом в парных столкновениях с излучением (реакция 9б). Тогда прямой и обратный процесс совершаются по разным путям. Полного термодинамического равновесия в такой плазменной системе нет. Стационарное состояние ионизации в этом случае определяется приравниванием соответствующих скоростей ионизации  и рекомбинации

Этот результат называют формулой Эльверта. Отметим, что именно этой зависимостью определяется стационарный состав плазмы солнечной короны.

       Тем не менее, формула (10) (или, что тоже самое формула (11)) для термодинамически равновесной ионизации имеет фундаментальное значение в физике плазмы. В частном случае, для идеальной изотермической плазмы, она называется формулой Саха и может быть записана в виде [1,2]:

= ,                 (12)

здесь -полное число молей всех ионов в плазме с объемом V, =9,1х10^-31 кг - масса электрона;  - соответственно статистические суммы по электронным состояниям z-кратного и (z+1)-кратного ионов, определяемые по формуле:

= + + +....,

где - энергия электронного возбуждения z-кратного иона в i-ом энергетическом состоянии относительно основного энергетического состояния; , , ... - статистические веса соответственно основного энергетического состояния, первого возбужденного, второго возбужденного и т.д. z-кратного иона. Статистический вес (или кратность вырождения) i-го энергетического состояния микрочастицы (атома или иона) является квантомеханической характеристикой и определяется как число состояний микрочастицы с одинаковой энергией (), различающихся внутренними степенями свободы.

       Для заданной пары значений температуры Т и объема плазмы V (или Р), содержащей  молей вещества, уравнения (12) совместно с балансовыми соотношениями (7а) образуют замкнутую систему уравнений для определения степени ионизации a и относительных мольных концентраций  (z=0,1,2,...,m). При известных значениях a и  по формулам (7б) и (7в) могут быть найдены давление и внутренняя энергия плазмы и далее все основные термодинамические функции и параметры плазмы.