Энергетическое условие стационарной генерации

 

       Рассмотрим лазер с плоским резонатором, образованном зеркалами с коэффициентами отражения R ₁ и R₂. Полагаем, что мощность накачки обеспечивает достижение порога генерации в режиме стационарной генерации. Коэффициент усиления можно считать постоянным и не зависящим от мощности генерации, так как в пороге эта мощность близка к нулю.

Рис. 4.3. а) Закон Бугера для слоя поглощающей среды. б) Световые потоки в лазере при выполнении порогового условия генерации.

 

     Световой поток Ф₀, испущенный атомами, находящимися вблизи зеркала R₁ вдоль оптической оси резонатора в направлении зеркала R₂ усиливается в соответствии с законом Бугера. После полного обхода резонатора световой поток становится равным: Ф₀ R₁ R₂exp(kL). Условие стационарности генерации означает, что этот поток должен быть равен исходному потоку. Таким образом, мы приходим к пороговому условию стационарной генерации:

Решая это соотношение относительно коэффициента усиления получим:

.

В лазерном резонаторе имеются потери излучения на дифракцию и рассеяние на дефектах активной среды - r. Этот вид потерь называют вредными, в отличие от полезных потерь излучения, выходящего в виде луча за пределы резонатора.

     Таким образом, полное условие генерации записывается в виде:

.

Выражение означает, что коэффициент усиления активной среды лазера должен быть равен сумме всех потерь излучения в резонаторе.

     В радиотехнике свойства резонатора принято характеризовать добротностью. Иногда это понятие необоснованно переносят в область лазерных резонаторов. В лазере при выполнении порогового условия генерации добротность резонатора становится бесконечно большой. Именно поэтому свойства резонатора необходимо описывать величиной потерь, а не добротности.

4.5. Расчет коэффициента усиления активной среды для твердотельных лазеров с импульсной оптической накачкой

     Как обычно, при создании математической модели процесса, целесообразно ввести безразмерный параметр, характеризующий коэффициент усиления активной среды:

,              (1)

k – коэффициент усиления активной среды, χ – максимально возможное значение активной среды, которое достигается, когда все активные частицы находятся на верхнем уровне. В случае среды, которая описывается моделью трех энергетических уровней, χ равно коэффициенту поглощения среды на частоте лазерного перехода.

     Коэффициент усиления пропорционален разности населенностей энергетических уровней n₂ – n₁, а коэффициент поглощения – концентрации активных частиц, поэтому:

.            (2)

Здесь n – концентрация активных частиц в единице объема, n₂ и n₁– населенности уровней, при переходах между которыми происходит генерация. Для активных частиц с тремя уровнями энергии уравнения баланса частиц в условиях термодинамического равновесия излучения и вещества имеют вид:

 

;   (3)

;                            (4)

.                                (5)

Индексы, поставленные возле физических величин в приведенных формулах, обозначают номер энергетического уровня или переход между соответствующими уровнями. А₂₁ – коэффициент Эйнштейна для спонтанного перехода а В – коэффициент Эйнштейна для вынужденных переходов. U – плотность излучения, действующая на частоте соответствующего перехода.

     В формулах (3) – (5) сразу учтены упрощающие предположения, которые выполняются в эффективной лазерной среде, работающей по трехуровневой схеме: безизлучательные переходы в каналах 3 – 1, 2 - 3 и 2 – 1 отсутствуют; вероятность безизлучательной релаксации d₃₂ значительно больше вероятности вынужденного перехода в канале 3 – 1; квантовый выход люминесценции на частоте 2 – 1 активной среды равен единице, статистические веса энергетических уровней одинаковы; лазерный уровень 2 – долгоживущий, метастабильный, то есть скорость спонтанных переходов А₂₁ значительно меньше скорости накачки В₁₃ U₁₃; люминесценция на частоте перехода 2 – 1 не влияет на населенность уровня 2.

     После подстановки в уравнения баланса безразмерного коэффициента усиления y и алгебраических преобразований, с учетом указанных упрощающих предположений, система уравнений (3) – (5) сводится к одному дифференциальному уравнению:

.            (6)

Интегрирование этого уравнение позволяет получить зависимость коэффициента усиления от мощности накачки.

Дальнейшее рациональное упрощение заключается в предположении о постоянстве B₁₃U₁₃ в течение импульса накачки. Это предположение хорошо оправдывается практически, так как время жизни возбужденного состояния активной среды обычно значительно больше длительности импульса оптической накачки. Таким образом, активная среда автоматически интегрирует зависимость скорости накачки от времени и форма импульса накачки не влияет на населенность лазерного уровня. Существенна не форма импульса, а его площадь. Таким образом, под длительностью импульса накачки t_нак следует понимать в данном случае длительность эквивалентного прямоугольного импульса, площадь которого равна площади реально действующего импульса накачки произвольной формы.

.       (7)

Как и следовало ожидать, в первые моменты времени после включения накачки коэффициент усиления – отрицательный, среда не усиливает, а поглощает излучения на частоте лазерного перехода.

Используя аналогичные упрощающие предположения, можно получить формулу, описывающую скорость нарастания коэффициента усиления в случае среды с активными частицами, которые можно описывать схемой четырех уровней.

.    (8)

Решение этого уравнения в случае прямоугольного импульса накачки имеет вид:

.         (9)

Как и следовало ожидать, в отличие от трехуровневой активной среды коэффициент усиления в этом случае сразу же после включения накачки принимает положительные значения. Он нарастает экспоненциально до своего предельного значения при бесконечно большой энергии накачки B₁₄U₁₄t_нак.