Элементы термодинамики плазмы

Термическое равновесие

Термическое равновесие в дуговом промежутке будет полным, если частота появления всех возможных энергетических состоя­ний удовлетворяет распределению Максвелла - Больцмана. В плотной среде столба дуги столкновения между частицами приво­дят к быстрому установлению локального равновесного состояния. Напротив, в разреженной плазме, где столкновения частиц проис­ходят редко, могут длительное время существовать неравновесные состояния.

Понятие термодинамической равновесности предполагает, что состояние вещества полностью определяется его химическим со­ставом и какими-либо двумя термодинамическими параметрами. Одним из них всегда служит температура Т, общая в данном слу­чае для электронов и тяжелых частиц. Другим может быть плот­ность или давление. Обычно это именно давление, ибо даже в ус­ловиях, когда плазма участвует в каких-то движениях, движения эти происходят медленно по сравнению со скоростью звука и дав­ление, следовательно, быстро выравнивается в пространстве.

Плотность плазмы при этом в каждом месте «автоматически подстраивается» к температуре. Наибольший интерес представля­ют дуговые разряды, существующие при атмосферном давлении, в частности сварочные дуги.

В случае равновесной плазмы нет необходимости вникать в сложную кинетику ионизации газа и гибели электронов; темпера­тура и давление однозначно определяют степень ионизации и электрические или электромагнитные характеристики плазмы. И сам процесс ионизации отличен от того, что происходит в слабоионизованной неравновесной плазме, в которой молекулы иони­зуются электронами, непосредственно ускоренными внешним по­лем до потенциала ионизации. В случае равновесной плазмы дей­ствие поля как бы «обезличивается», тюле является поставщиком энергии для электронного газа в целом. Термическая ионизация происходит совершенно независимо от того, каким путем в газ по­ступает энергия.

Рассмотрим кратко границы применения термодинамических характеристик в плазме сварочной дуги. Покажем, например, что в дуге существует локальное термическое равновесие, которое уста­навливается достаточно быстро. Электроны при плотности тока j  от электрического поля Е получают в 1 м³ за 1 с энергию

 (2.43)

где b_e = v_e / E - подвижность электрона; v_e = еЕ r / m - дрейфовая скорость электрона (см. (2.30)). Для определения полного числа условных столкновений, испытываемых электроном за 1 с, надо сложить частоты v всех видов столкновений: с ионами (v_ei = 1/ τ_{е i}), с атомами (v _еа = 1/ τ_{е a}) и электронами (v_ee = 1/ τ_{е e}):

 (2.44)

Однако для плотной плазмы важно наличие тяжелых частиц (ионов, атомов), при столкновении с которыми вектор скорости электронов претерпевает хаотическое (в среднем равномерное) рассеяние. При этом становится возможным превращение кинети­ческой энергии электронов в энергию беспорядочного теплового движения других частиц. Полная нерегулярность направлений скорости электронов достигается уже после небольшого числа столкновений. Формула для времени пробега τ_{е a} имеет вид

 

Положим n _е = 10²⁴м^-3 и v _е = 10⁸м/с. Сечение Рамзауэра для  столкновении электронов с тяжелыми частицами Q_e = 10^-20м² (см. рис. 2.9), a S_e = n_eQ_e = 10²⁴∙10^-20 = 10⁴ м^-1.

Тогда для плазмы дуги в аргоне получим время пробега

τ_{е a} =1/(10⁸∙ 10⁴) ≈ 10^-12с,                         (2.46)

т. е. время установления равновесия мало.

При каждом столкновении электрон отдает свою избыточную (но не полную) энергию, полученную от поля напряженностью Е, прямо пропорционально отношению 2 m_e / m_a. Таким образом, для выравнивания температуры газа и электронов необходимо число m_a /(2 m_e) = 10³...10⁵ соударений (здесь 10³ примерно соответству­ет отношению масс в водородной плазме, где m_a ≈ 1840 m _е, а 10⁵ относится к аргоновой или ртутной плазме). В то же время элек­троны непрерывно получают энергию от поля. Поэтому устанав­ливается электронная температура Т_е, которая превышает темпе­ратуру дуги T _д на величину Δ T. Энергия jE, полученная электро­нами от поля (см. (2.43)), должна быть равна энергии, отдаваемой электронами частицам газа при столкновениях в 1³ см за 1 с вслед­ствие разности температур Δ T ≈ Т_е - T _д, т. е.

 (2.47)

С учетом того, что частота соударений в секунду v = 1/ τ (τ = Δ/ v), а при максвелловском распределении электронов по скоростям в плазме их средняя квадратичная скорость v = √ 3 kT_e / m_e (см. разд. 2.1), получим, разделив обе части (2.47) на 3/4 kT_e:

 (2.48)

 

 

Здесь Т - температура равновесной (термической) плазмы; Λ _ееЕ -энергия Δ ε, получаемая электроном от поля на участке пробега Λ _е, а (3/2) кТ_е - энергия ε теплового движения электрона. Для термиче­ского равновесия необходимо, чтобы Δ ε_е / ε и относительная раз­ность температур Δ T / T были значительно меньше единицы. Учи­тывая формулу (2.18), получаем

 (2.49)

т. е. Δ ε определяется в основном отношением Е/р. Из формул (2.48) и (2.49) следует, что термическое равновесие легче достига­ется при малой напряженности поля Е, повышенном давлении р (малый пробег Λ_е) и высокой температуре газа дуги T _д.

Пример 2.2. Определить, существует ли термическое равновесие в стол­бе дуги при сварке вольфрамовым электродом.

Решение. Приняв для W-дуги в аргоне р = 10⁵ Па, Q_ea ⁼ 2,5 ∙ 10^{-20 м2}, Е = = 1 ∙ 10³ В/м, Λ_еа = 3 ∙ 10 ^-6 м, m_Ar = 10⁵, кТ ≈ 2 эВ, т. е. около 23 000 К, получим:

Отсюда делаем вывод: термическое равновесие в столбе дуги существует, так как

Пример 2.3. Определить, существует ли термическое равновесие в плаз­ме вакуумной дуги при давлении р = 0,1 Па в парах железа:

Q^Fe _ea = 50 ∙ 10^{-20 м2} и E = 50 В/м..

Решение. Расчет по формуле (2.49) дает

т. е. энергия, получаемая электронами от поля, здесь значительно больше, чем энергия их теплового движения, что должно привести к росту элек­тронной температуры. Действительно, принимая m_a / m_e = 10⁴ и учитывая выражение (2.18) для Λ _е при T ≈ 5800 К и кТ = 1,38 ∙ 10^-23 ∙ 5800 = 0,8 • 10^-19 Дж, получаем:

при p = 10⁵ Па

т. е. пробег мал по сравнению с длиной дуги;

при р = 0,1 Па пробег Λ _е увеличивается (при Т = const) в 10⁶ раз и со­ставляет 1,6 м, т. е. пробег больше длины дуги.

Приняв условно Т _е ≈ 0,8 • 10⁵ К, кТ ≈ 7 эВ, получим по формуле (2.51):

Таким образом, в вакуумной дуге термического равновесия нет и элек­тронная температура Т_е может значительно превышать температуру тяжелых частиц T _д.

В дугах низкого давления, а также в приэлектродных областях дуги, где напряженность поля Е велика и, следовательно, отноше­ние Е/р велико, энергия Δ ε, по­лучаемая электронами от поля, растет и термическое равновесие нарушается.

Плазма воздуха и других мо­лекулярных газов, а также паров металлов при атмосферном дав­лении и токах более 10А являет­ся равновесной. Это обусловлено интенсивным обменом энергией между электронами и молекула­ми через возбуждение колебаний и вращений, а в парах металла - большими сечениями упругого рассеяния электронов. В инерт­ных газах разность температур Т_е - Т _д больше вследствие относительной малости сечений рассеяния электронов атомами (см. рис. 2.9). Так, в аргоне при атмосферном давлении (рис. 2.16) электрон­ная и газовая температуры совпадают (Т_е ≈ Т_д ≈ 8000 К) только при   I >10 А, когда п_е  3 ∙ 10¹⁵ см^-3. Еще хуже устанавливается равно­весие в гелии, где только при I ≈ 200 А, когда п_е ≈ 5 • 10¹⁶ см^-3, тем­пературы выравниваются: Т_е ≈ T _д ≈ 10 000 К.

 

Уравнение Саха

 

Плазму столба сварочной дуги при атмосферном давлении можно отнести к категории термической плазмы, свойства которой определяются температурой и давлением. В отличие от изотерми­ческой плазмы, в которой grad T = О, в термической плазме столба дуги температура меняется от точки к точке, но в каждой точке сохраняется локальное термодинамическое равновесие с одной и той же равновесной температурой для всех частиц и процессов. Считается, что, хотя весь объем плазмы в целом и не находится в равновесии, его отдельные макроскопически малые части прихо­дят в состояние равновесия, так что можно говорить о локальном равновесии в небольших частях рассматриваемой плазменной сис­темы.

Важнейшей характеристикой плазмы является ее состав. Рас­чет состава плазмы, находящейся в состоянии термодинамическо­го равновесия, основан на законе действующих масс. Равновесный состав плазмы не зависит от того, как происходят реакции, а зави­сит только от условий, в которых она находится. Поэтому при вы­воде условия равновесия можно предполагать, что реакции проис­ходят при заданных постоянных температуре Т и объеме V.

Приведем простейшие примеры применения закона действую­щих масс. Можно рассматривать термическую ионизацию как об­ратимую химическую реакцию газов

 + работа ионизации.

Напомним, что степень ионизации - это отношение числа за­ряженных частиц (ионов или электронов) в плазме к числу всех частиц: χ = п_е /(п_а + п_е) = п _i /(п_а + п _i)

Степень ионизации χ определяется из константы равновесия реакции с помощью уравнения Саха, которое справедливо при ма­лой степени ионизации χ ‹‹ 1 Если входящие в уравнение Саха ве­личины выражены в единицах СИ, то оно имеет вид

 (2.50)

где g_e g_i g _a - статистические веса квантовых состояний соответ­ственно электрона, иона и атома; U_i - потенциал ионизации, В. Для электрона g_e = 2, что соответствует двум направлениям спина. Для ионов и нейтральных атомов значения g_i и g _a вычисляют, учитывая строение атомов. Концентрацию электронов определяют по формуле

 (2.51)

 

где a = g_e g_i /g _a = 2g_i / g _a - квантовый коэффициент.

 

Значения а ², вычисленные К.К. Хреновым для различных хи­мических элементов, находятся в диапазоне 1...4:

для атомов с регулярным строением оболочки

Группы таблицы Менделеева   I III III V  V  VI   VII  VIII

а ².............................               1 4 1 4/3 3/2 8/3 3 4

для атомов с нерегулярным строением оболочки

Элементы.......... N С   Cr Mn Fe Cu   Nb  La  W  Th

a ²........................ 8/5   3   8/7 7/3 12/5 3 1 1 8/5 4/3

Кривые зависимости степени ионизации от температуры, по­строенные по уравнению Саха, имеют S-образный вид (рис. 2.17).

Например, при атмосферном давлении для калия (U_i = 4,3 В) χ ≈ 1 при 11 000 К; для водорода (U_i =13,5 В) χ ≈ 1 при 24 000 К; для ге­лия (U_i = 24,5 В) χ ≈ 1 при 50 000 К. Надо иметь в виду, что урав­нение Саха дает результаты, близкие к экспериментальным, только при малых степенях ионизации (χ <<   1). При 6000 К расчет по уравнению (2.50) для Na дает χ ≈ 0,21; для Аг получаем χ ≈ 0,23 • 10^-4. Следовательно, степень ионизации Аг по сравнению с Na меньше в 10⁴ раз.