Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Топ:
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2022-12-20 | 26 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Оценить абсолютную и относительную погрешности результатов вычисления выражений (V, S, Y), если известны оценки абсолютных погрешностей измерения участвующих в выражениях величин:
№
|
| ||||||
1 | |||||||
2 | |||||||
3 | |||||||
4 | |||||||
5 | |||||||
6 | |||||||
7 | |||||||
8 | |||||||
9 | |||||||
10 | |||||||
11 | |||||||
12 | |||||||
13 | |||||||
14 | |||||||
15 | |||||||
16 | |||||||
17 | |||||||
18 | |||||||
19 | |||||||
20 | |||||||
21 | |||||||
22 | |||||||
23 | |||||||
24 |
2. Методы решения нелинейных уравнений
2.1. Общие сведения
Мы рассмотрим здесь лишь некоторые наиболее используемые методы решения нелинейных уравнений. Эти методы относятся к итерационным методам, т.е. методам получения последовательности точек , которая сходится к решению уравнения .
При этом итерационный процесс останавливается тогда, когда достигается заданная точность полученного результата. Говоря о точности, можно требовать получения такого приближения корня уравнения, что модуль значения функции отличается от нуля не больше, чем на заданную малую величину , т.е. .
А можно требовать локализации самого корня уравнения на отрезке так, чтобы ошибка определения корня была не больше , т.е. остановка будет производиться при нахождении такого отрезка , содержащего корень, что длина его будет не больше . Тогда, взяв в качестве корня середину этого отрезка, можно быть уверенным, что истинный корень уравнения отличается от найденного не больше, чем на , т.е. .
2.1.1. Метод хорд
|
Этим методом можно пользоваться в том случае, если функция непрерывна в некоторой окрестности корня уравнения.
Для начала ищется отрезок в этой окрестности, который содержал бы только один искомый корень уравнения, а значения функции на концах его были бы разных знаков. Так как функция непрерывна на этом отрезке, то ее график обязательно где-то внутри этого отрезка пересечет ось абсцисс. Эту точку х пересечения графика функции с осью ОХ, являющуюся корнем уравнения, и нужно найти.
Затем строится хорда, соединяющая точки графика функции, отвечающие концам имеющегося отрезка. Вычисляется точка пересечения этой хорды с осью ОХ. Назовем эту точку х 1. Затем определяется, на каком из отрезков или лежит корень уравнения. Если , то корень лежит на отрезке и становится правым концом нового (уже меньшего) отрезка локализации корня, а – левым концом этого отрезка. При этом производят переименование и .
Если , то корень – на отрезке и становится левым концом нового отрезка локализации корня, а – правым концом этого отрезка, т.е. и .
Теперь имеется уже новый отрезок локализации корня. С ним проделывается та же процедура построения хорды и поиска точки ее пересечения с осью ОХ – точки . Остановка производится при нахождении такого приближения , что .
Рис.1
Формула для получения точки пересечения хорды с осью ОХ на каждом шаге имеет следующий вид:
. Часто вместо этого метода используют метод деления пополам, где очередное приближение находят по формуле . При этом отрезок локализации по длине можно сжать до какого угодно наперед заданного значения. Поэтому остановка процесса может быть произведена при выполнении условия .
2.1.2. Метод касательных Ньютона
Этот метод можно использовать в случае выполнения следующих требований к функции :
1) На найденном отрезке локализации корня должна иметь единственный корень и значения функции на концах этого отрезка должны быть разных знаков, т.е. .
|
2) должна иметь непрерывную вторую производную на этом отрезке.
3) Кроме того, на отрезке вторая производная функции
должна сохранять свой знак.
Тогда в качестве начального приближения корня выбирается по следующему правилу:
Затем в точке с абсциссой строится касательная к графику функции . Точка пересечения этой касательной с осью ОХ берется в качестве следующего приближения корня . И так процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнута нужная точность .
Если достаточно получить точку, в которой не превышает по модулю заданное число , то производят остановку при выполнении этого условия.
Если же надо получить приближение корня, отстоящее от истинного его значения не более чем на , то процесс останавливают тогда, когда выполняется следующее условие:
, где
и
Процесс можно увидеть на рис.2.
Рис.2
Формула для вычисления точки пересечения касательной с осью ОХ имеет следующий вид:
2.1.3. Пример 1
Вычислим с помощью метода хорд корень уравнения с точностью . Под точностью будем понимать отклонение модуля функции от нулевого значения.
Выберем в качестве левой границы отрезка . При этом . В качестве правой границы можно взять . При этом . Выполняется необходимое условие .
Найдем первое приближение корня
Найдем значение функции в этой точке
Проверим, не надо ли прекратить вычисления:
, значит, точность еще не достигнута.
Т.к. , следующим отрезком будет .
Найдем второе приближение корня
Найдем значение функции в этой точке
.
, поэтому продолжаем вычисления.
Т.к. , следующим отрезком будет
. И т.д. до достижения заданной точности.
2.1.4. Пример 2
Вычислим с помощью метода Ньютона корень уравнения с точностью .
Под точностью будем понимать отклонение модуля функции от нулевого значения.
Выберем в качестве левой границы отрезка . Значение функции в этой точке равно . В качестве правой границы можно взять . Значение функции в этой точке равно . А значит, выполняется необходимое условие применения метода .
Кроме этого выполняется требование непрерывности второй производной функции: – непрерывная функция.
|
А также на выбранном отрезке вторая производная функции не меняет знак. Действительно, больше нуля на всем отрезке .
Выберем в качестве первого приближения , т.к. .
Найдем второе приближение корня
Значение функции в этой точке равно
поэтому продолжаем и ищем третье приближение корня
Значение функции в этой точке равно
поэтому продолжаем и ищем четвертое приближение корня
Значение функции в этой точке равно
.И так далее до достижения точности.
2.2. Лабораторная работа №2
Решение нелинейного уравнения методом хорд
2.2.1. Задача №1
Воспользовавшись методом хорд для нахождения корня нелинейного уравнения, вычислить коэффициент гидравлического сопротивления при течении жидкости в трубопроводе с относительной шероховатостью внутренней стенки для заданного числа Рейнольдса Re.
Универсальный закон сопротивления для развитого турбулентного течения имеет вид:
Данные по вариантам:
№ варианта | шероховатость | число Рейнольдса Re |
1 | ||
2 | ||
3 | ||
4 | ||
5 | ||
6 | ||
7 | ||
8 | ||
9 | ||
10 | ||
11 | ||
12 | ||
13 | ||
14 | ||
15 | ||
16 | ||
17 | ||
18 | ||
19 | ||
20 | ||
21 | ||
22 | ||
23 | ||
24 |
2.2.2. Задача №2
Воспользовавшись методом хорд для нахождения корня нелинейного уравнения, вычислить расход дизельного топлива Q () плотностью и кинематической вязкостью при перекачке по участку трубопровода длиной L = 125 км, диаметром d = 514 мм и с шероховатостью внутренней стенки = 0.0005, если насосная станция работает с двумя последовательно включенными насосными агрегатами.
Уравнение баланса напоров для участка трубопровода имеет вид:
,
где и – подпор перед станцией и напор в конце участка соответственно;
a и b – коэффициенты, определяемые типом и количеством насосов;
и – высотные отметки сечений трубопровода в начале и в конце участка.
Данные по вариантам:
№ вар. | , м | , м | a, м | b, | , м | , м |
1 | 50 | 30 | 662 | 100 | 200 | |
2 | 30 | 50 | 630 | 200 | 100 | |
3 | 70 | 30 | 580 | 50 | 150 | |
4 | 40 | 60 | 600 | 120 | 180 | |
5 | 60 | 40 | 550 | 180 | 120 | |
6 | 60 | 30 | 570 | 80 | 150 | |
7 | 30 | 50 | 662 | 120 | 190 | |
8 | 70 | 30 | 630 | 50 | 170 | |
9 | 60 | 40 | 580 | 180 | 110 | |
10 | 60 | 30 | 550 | 50 | 160 |
|
2.2.3. Задача №3
Состояние реального газа может быть описано уравнением Ван-дер-Ваальса:
, где
,
,
R – универсальная газовая постоянная,
T – температура газа,
Pc – критическое давление,
Tc – критическая температура,
V – молярный объем газа.
Воспользовавшись методом деления пополам для нахождения корня нелинейного уравнения, найти молярный объем данного газа V при заданных значениях давления P итемпературы T.
Величины критических параметров Pc и Tc отдельных газов приведены с следующей таблице:
газ | метан | этан | пропан | n -бутан | i- бутан | n -пентан |
190,55 | 305,43 | 369,82 | 408,13 | 425,16 | 469,65 | |
4,695 | 4,976 | 4,333 | 3,871 | 3,719 | 3,435 |
Газ | i -пентан | n -гексан |
460,39 | 507,35 | |
3,448 | 3,072 |
Задания по вариантам:
№ вар. | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||||
Газ | Метан | этан | пропан | n -бутан | i- бутан | n -пентан | ||||
Т, К | 305 | 508 | 490 | 760 | 530 | 600 | ||||
Р, МПа | 2,200 | 3,700 | 1,570 | 1,800 | 1,250 | 2,400 | ||||
№ вар. | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ||||
газ | i -пентан | n -гексан | метан | этан | n -бутан | пропан | ||||
Т, К | 560 | 720 | 311 | 620 | 560 | 540 | ||||
Р, МПа | 2,250 | 2,500 | 1,750 | 2,370 | 1,600 | 1,590 | ||||
2.3. Лабораторная работа №3
|
|
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!