Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2022-12-20 | 37 |
5.00
из
|
Заказать работу |
5.3.1. Задача №1
Построить многочлен Лагранжа, интерполирующий профиль высот на участке нефтепровода.
Данные по вариантам:
1.
180 | 180.1 | 180.2 | 180.3 | 180.4 | |
56.2 | 54.2 | 54.9 | 53.2 | 53.5 |
2.
180.6 | 180.7 | 180.8 | 180.9 | 181 | |
55.6 | 54.2 | 57.1 | 56.0 | 54.3 |
3.
181.1 | 181.2 | 181.3 | 181.4 | 181.5 | |
52.3 | 53.4 | 53.0 | 53.9 | 55.7 |
4.
181.6 | 181.7 | 181.8 | 181.9 | 182 | |
57.0 | 56.8 | 57.0 | 55.1 | 54.5 |
5.
182.1 | 182.2 | 182.3 | 182.4 | 182.5 | |
53.6 | 50.0 | 55.5 | 55.3 | 60.7 |
6.
182.6 | 182.7 | 182.8 | 182.9 | 183 | |
62.2 | 64.4 | 65.0 | 64.0 | 65.2 |
7.
183.1 | 183.2 | 183.3 | 183.4 | 183.5 | |
63.6 | 65.0 | 66.2 | 62.1 | 58.0 |
8.
183.6 | 183.7 | 183.8 | 183.9 | 184 | |
61.2 | 64 | 61.5 | 63.5 | 62.1 |
9.
184.1 | 184.2 | 184.3 | 184.4 | 184.5 | |
64.4 | 66.2 | 63.5 | 65.4 | 62.4 |
10.
184.6 | 184.7 | 184.8 | 184.9 | 185 | |
65.7 | 67.2 | 66.5 | 63.0 | 63.2 |
11.
181.2 | 181.3 | 181.4 | 181.5 | 181.6 | |
52.3 | 54.8 | 53.0 | 53.1 | 55.7 |
12.
184.1 | 184.2 | 184.3 | 184.4 | 184.5 | |
55.3 | 53.4 | 53.0 | 53.4 | 55.5 |
13.
185.1 | 185.2 | 185.3 | 185.4 | 185.5 | |
62.4 | 63.1 | 63.0 | 58.9 | 59.0 |
14.
185.5 | 185.6 | 185.7 | 185.8 | 185.9 | |
61.2 | 64 | 61.5 | 63.5 | 62.1 |
15.
186.6 | 186.7 | 186.8 | 186.9 | 187 | |
62.2 | 64.4 | 65.0 | 64.0 | 65.2 |
16.
187 | 187.1 | 187.2 | 187.3 | 187.4 | |
56.2 | 54.2 | 54.9 | 53.2 | 53.5 |
17.
187.1 | 187.2 | 187.3 | 187.4 | 187.5 | |
52.3 | 53.4 | 53.0 | 53.9 | 55.7 |
18.
187.6 | 187.7 | 187.8 | 187.9 | 188 | |
63.6 | 65.0 | 66.2 | 62.1 | 58.0 |
19.
188.0 | 188.1 | 188.2 | 188.3 | 188.4 | |
61.2 | 64 | 61.5 | 63.5 | 62.1 |
20.
188.6 | 188.7 | 188.8 | 188.9 | 189 | |
64.4 | 66.2 | 63.5 | 65.4 | 62.4 |
21.
189.6 | 189.7 | 189.8 | 189.9 | 190 | |
55.6 | 54.2 | 57.1 | 56.0 | 54.3 |
22.
190.1 | 190.2 | 190.3 | 190.4 | 190.5 | |
63.6 | 65.0 | 66.2 | 62.1 | 58.0 |
23.
190.6 | 190.7 | 190.8 | 190.9 | 191 | |
57.0 | 56.8 | 57.0 | 55.1 | 54.5 |
24.
191.1 | 191.2 | 191.3 | 191.4 | 191.5 | |
64.4 | 66.2 | 63.5 | 65.4 | 62.4 |
5.3.2. Задача №2
Известно, что использование кислот соляной и кремнефтористоводородной , благодаря растворению терригенных коллекторов, углубляет и развивает сеть каналов. Но одновременно и ограничивает приток пластовых вод к скважине за счет закупорки фильтрационных каналов в водоносном пласте осадками кремнефторидов.
Проблемы поиска оптимального режима обработки призабойной зоны с целью снижения пластовых потерь нефти приводят к необходимости исследования зависимости количества выпадающего осадка от свойств пластовой воды.
В таблице приведены результаты эксперимента по смешиванию пластовой воды при температуре с кремнефтористоводородной кислотой с последующей фильтрацией полученого раствора.
плотность пласт. воды, | 1.05 | 1.12 | 1.13 | 1.14 | 1.15 | 1.16 | 1.17 |
содержание осадка, % (весовое) | 8.4 | 14.2 | 14.4 | 15.4 | 19.7 | 20.6 | 22.6 |
Необходимо построить зависимость процентного содержания осадка, получающегося при смешивании пластовой воды с кислотой , от плотности пластовой воды. Для построения зависимости воспользоваться многочленом Лагранжа.
5.3.3. Задача №3
Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для зависимости растворимости кварцевого песка в смеси двух кислот (20 % - ной кислоты и кислоты ) от процентного содержания кислоты в смеси.
Данные измерений для отдельных смесей приведены в таблице. Они были получены при температуре для грамм песка и при объеме кислотного раствора .
состав раствора | 20 % +0 % | 20 % +5 % | 20 % +10 % | 20 % +15 % |
раствори-мость песка, г/л | 12.04 | 31.85 | 33.9 | 37.8 |
6. Численное интегрирование
6.1. Основные определения
Методы численного интегрирования используются в тех случаях, когда необходимо найти значение определенного интеграла вида , но аналитически посчитать его значение не представляется возможным из-за сложного вида подынтегральной функции. Известно, что значение определенного интеграла равно , где – значения первообразной для подынтегральной функции в точках соответственно. Например, . Но далеко не для всякой функции легко указать , как это сделано в примере. Тогда прибегают к численному интегрированию.
Есть еще, правда, способ подсчета значения интеграла путем предварительного представления подынтегральной функции в виде степенного ряда Тейлора и последующего интегрирования многочлена, представляющего несколько первых членов этого ряда. Но этот способ мы здесь рассматривать не будем. А рассмотрим находящие наибольшее применение методы численного интегрирования.
Вспомним некоторые понятия, необходимые для дальнейшего изложения.
Пусть на отрезке задана функция . С помощью точек разобьем отрезок на отрезков (), причем . На каждом из этих отрезков выберем произвольную точку и найдем произведение значения функции в этой точке на длину отрезка :
.
Составим сумму таких произведений:
Сумма называется интегральной суммой. Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральной суммы при неограниченном увеличении числа точек разбиения и стремлении к нулю длины наибольшего отрезка разбиения:
Рис. 1
Геометрический смысл введенных понятий для случая 0 проиллюстрирован на рисунке 1. Величины представляют из себя площади прямоугольников, отмеченных пунктирной линией, а сама интегральная сумма – площадь ступенчатой фигуры, образуемой этими прямоугольниками. При стремлении же к нулю длин отрезков разбиения площадь этой ступенчатой фигуры стремится к площади фигуры, заключенной под кривой . Это и есть значение интеграла.
Используют следующие методы численного интегрирования.
6.1.1. Метод прямоугольников.
В этом методе непосредственно заменяют значение определенного интеграла интегральной суммой, разбивая обычно отрезок интегрирования на равных по длине отрезков. Тогда , являющуюся длиной отрезка разбиения, называют шагом разбиения. В качестве могут выбираться левые () или правые () границы отрезков разбиения или их середины (). Получают следующие формулы метода прямоугольников, отвечающие этим трем способам выбора точек :
а) Формула левых прямоугольников
б) Формула правых прямоугольников
в) Формула средних прямоугольников
Главные члены погрешностей этих формул равны соответственно:
6.1.2. Метод трапеций
В этом методе применяют линейную интерполяцию интегрируемой функции, т.е. график функции представляют в виде ломаной, соединяющей точки . В этом случае площадь под кривой на каждом отрезке разбиения заменяется площадью под прямой, которая равна площади прямоугольной трапеции с высотой и основаниями , т.е. . Получается формула трапеций
,
Рис. 2
Главный член погрешности этой формулы равен:
.
6.1.3. Метод Симпсона
В этом методе отрезок интегрирования разбивается на четное число равных частей с шагом . На каждом отрезке подынтегральная функция заменяется интерполяционным многочленом второй степени:
В качестве можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, график которого проходит через точки , где .
В этом случае площадь под кривой на каждом отрезке заменяется площадью под параболой, а эту площадь легко посчитать, т.к. первообразная квадратичной функции известна:
Рис. 3
Сумма же этих площадей дает нам приближенное значение интеграла. Формула метода Симпсона имеет вид:
Главный член погрешности этой формулы равен:
.
Надо упомянуть об одном практическом аспекте в вычислении интегралов. Обычно требуется вычислить интеграл с заданной точность , т.е. получить такое приближенное значение его , чтобы выполнялось .
Удовлетворить этому требованию можно, либо выбрав число разбиения отрезка интегрирования так, чтобы главный член погрешности по модулю был меньше , либо воспользовавшись следующим приемом.
Посчитать значение интеграла для некоторого . Затем сделать такие же расчеты для . Затем сравнить полученные результаты. Если окажется, что , то считать точность достигнутой и принять . Если же условие не выполняется, то вновь удвоить число разбиений отрезка и сравнить два последних приближения так, как это было предложено выше. Закончить процесс при выполнении указанного условия и последнее принять за искомое значение интеграла.
Этим приемом часто пользуются на практике, если трудно бывает оценить главный член погрешности.
6.1.4. Пример 1
Вычислим по методу левых прямоугольников интеграл с точностью .
Разобьем отрезок на 10 частей. Следовательно . Воспользуемся формулой:
.
Тогда
Теперь проделаем аналогичные расчеты для . Получим
И сравним модуль разности полученных результатов с заданной точность: . Принимаем за значение интеграла последнее полученное значение, т.е. .
6.1.5. Пример 2
Вычислим по методу трапеций интеграл с точностью
Разобьем отрезок на 10 частей: . Воспользуемся формулой:
.
Тогда
Теперь проделаем аналогичные расчеты для . Получим
И сравним модуль разности полученных результатов с заданной точность: . Принимаем за значение интеграла последнее полученное значение, т.е. .
6.1.6. Пример 3
Вычислить по методу Симпсона интеграл с точностью . Разобьем отрезок на 10 частей: . Воспользуемся формулой:
Тогда
Теперь проделаем аналогичные расчеты для . Получим
И сравним модуль разности полученных результатов с заданной точность: . Принимаем за значение интеграла последнее полученное значение, т.е. .
6.2. Лабораторная работа №9
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!