Полиномиальная модель 3 степени

3.1 Для проверки модели надо найти модельные значения, подставив в подобранную модель y = -0,0005x³ + 0,0267x² + 0,0814x + 1,3317, R² = 0,9646 вместо  исходные значения времени  (1,2,…,21) и найти разности () между исходными (таблица 1) и модельными значениями уровней ряда динамики. Результаты расчета приведены в таблице 6. Полиномиальная модель 3 степени изображена на рисунке 2.

 

Таблица 6 - Исходные, модельные значения уровней и остатки ряда динамики

Год	№ квартала	Исходные уровни, yt	Модельные значения, уi	Остатки,	Ϭmed
2005	1	1	1,4393	-0,4393	-
	2	2	1,5973	0,4027	+
	3	2	1,8027	0,1973	+
	4	2	2,0525	-0,0525	-
2006	1	3	2,3437	0,6563	+
	2	2	2,6733	-0,6733	-
	3	3	3,0383	-0,0383	-
	4	3	3,4357	-0,4357	-
2007	1	4	3,8625	0,1375	+
	2	4	4,3157	-0,3157	-
	3	5	4,7923	0,2077	+
	4	6	5,2893	0,7107	+
2008	1	6	5,8037	0,1963	+
	2	6	6,3325	-0,3325	-
	3	6	6,8727	-0,8727	-
	4	7	7,4213	-0,4213	-
2009	1	9	7,9753	1,0247	+
	2	9	8,5317	0,4683	+
	3	8	9,0875	-1,0875	-
	4	10	9,6397	0,3603	+
2010	1	10	10,1853	-0,1853	-
	Итого	-	-	-0,4923

3.2 Для проверки случайности колебаний уровней остаточной последовательности   используется критерий «серий», основанный на медиане выборки.

Для этого расположим уровни остаточной последовательности   из таблицы 7 в порядке возрастания в вариационный ряд.

 

 

Таблица 7 - Уровни остаточной последовательности в порядке возрастания

Упорядоченные остатки	Упорядоченные остатки
-1,0875	0,1375
-0,8727	0,1963
-0,6733	0,1973
-0,4393	0,2077
-0,4357	0,3603
-0,4213	0,4027
-0,3325	0,4683
-0,3157	0,6563
-0,1853	0,7107
-0,0525	1,0247
-0,0383	-

Находим в этом ряду медиану:  = - 0,0383. Как видно из полученной последовательности общее число «серий» = 13; а протяженность самой длинной «серии» K_{max =}3_.

kmax: 3  < 7,66332

                                                                                                                                                                                                  (11)

𝜈: 13 > 6,61731

 

Следовательно, ряд динамики ε отклонений от тренда состоит из случайных величин.

 

3.3 Рассчитаем выборочные коэффициенты асимметрии А_В и эксцесса Э_В и их среднеквадратические ошибки. Данные для расчета указаны в таблице 8.

 

Таблица 8 - Данные для расчетов центральных моментов

-0,416	0,173	-0,072	0,030
0,426	0,181	0,077	0,033
0,220	0,0487	0,011	0,002
-0,029	0,001	-2,453	7,130
0,679	0,462	0,314	0,213
-0,650	0,422	-0,274	0,178
-0,015	0,000	-3,279	4,872
-0,412	0,170	-0,070	0,029
0,161	0,026	0,004	0,010
-0,292	0,085	-0,025	0,007
0,231	0,053	0,012	0,003
Продолжение таблицы 8
0,734	0,540	0,396	0,290
0,220	0,048	0,010	0,002
-0,309	0,095	-0,030	0,010
-0,849	0,721	-0,613	0,520
-0,398	0,158	-0,063	0,025
1,048	1,099	1,151	1,207
0,492	0,242	0,119	0,058
-1,064	1,132	-1,205	1,281
0,384	0,147	0,056	0,021
-0,162	0,026	-0,004	0,001
Итого	5,831	-0,203	3,913

 

εсред = - 0,023;

m2 = 0,2777 центральный момент второго порядка;

m3 = - 0,01 центральный момент третьего порядка;

m4 = 0,1864 центральный момент четвертого порядка;

Ав = - 0,0662 выборочный коэффициент асимметрии;

Эв = - 0,5834 выборочный коэффициент эксцесса;

ϬA = 0,46466 среднеквадратическая ошибка коэффициента асимметрии;

ϬЭ = 0,75546 среднеквадратическая ошибка коэффициента эксцесса.

 

(12) |Ав| = 0,0662 < 0,697,

|Эв+(6/(21+1))| = 0,3107 < 1,1332.

 

Так как система неравенств выполняется, то гипотеза о близости эмпирического распределения остатков ряда динамики к нормальному принимается.

3.4 Проверка независимости значений остаточной случайной последовательности, т.е. отсутствия существенной автокорреляции, осуществляется с помощью критерия Дарбина – Уотсона. Критерий Дарбина – Уотсона связан с гипотезой о существовании автокорреляции первого порядка, то есть автокорреляции между соседними остаточными членами ряда.

 

Таблица 9 - Данные для расчета критерия Дарбина – Уотсона

№
1	1,4393	-0,4393	-	-	-	0,19298449
Продолжение таблицы 9
№
2	1,5973	0,4027	-0,4393	0,842	0,708964	0,16216729
3	1,8027	0,1973	0,4027	-0,2054	0,042189	0,03892729
4	2,0525	-0,0525	0,1973	-0,2498	0,0624	0,00275625
5	2,3437	0,6563	-0,0525	0,7088	0,502397	0,43072969
6	2,6733	-0,6733	0,6563	-1,3296	1,767836	0,45333289
7	3,0383	-0,0383	-0,6733	0,635	0,403225	0,00146689
8	3,4357	-0,4357	-0,0383	-0,3974	0,157927	0,18983449
9	3,8625	0,1375	-0,4357	0,5732	0,328558	0,01890625
10	4,3157	-0,3157	0,1375	-0,4532	0,20539	0,09966649
11	4,7923	0,2077	-0,3157	0,5234	0,273948	0,04313929
12	5,2893	0,7107	0,2077	0,503	0,253009	0,50509449
13	5,8037	0,1963	0,7107	-0,5144	0,264607	0,03853369
14	6,3325	-0,3325	0,1963	-0,5288	0,279629	0,11055625
15	6,8727	-0,8727	-0,3325	-0,5402	0,291816	0,76160529
16	7,4213	-0,4213	-0,8727	0,4514	0,203762	0,17749369
17	7,9753	1,0247	-0,4213	1,446	2,090916	1,05001009
18	8,5317	0,4683	1,0247	-0,5564	0,309581	0,21930489
19	9,0875	-1,0875	0,4683	-1,5558	2,420514	1,18265625
20	9,6397	0,3603	-1,0875	1,4478	2,096125	0,12981609
21	10,1853	-0,1853	0,3603	-0,5456	0,297679	0,03433609
Итого	-	-	-	-	12,96047	5,84331813

При уровне значимости  = 0,05 по таблицам значений критерия Дарбина - Уотсона можно определить при и  (число факторов) критические значения d = 2,218; d . Получены следующие промежутки внутри интервала [0;4]. Ниже на рисунке 11 приведены данные для демонстрации работы критерия Дарбина – Уотсона.

 

0

2,78

4

2,58

 

 

Рисунок 11 – Данные для работы критерия Дарбина-Уотсона

 

Так как значение критерия попадает в зону, где автокорреляция отсутствует, то нет оснований отклонять нулевую гипотезу.

3.5 Используя полученные данные выявим ошибку аппроксимации с помощью формулы (13).

 

 

(13)

|А|=2,413703137

По результатам видно, что уровень ошибки низкий, а следовательно можно сделать вывод, что выбранный тренд является точным и отражает изменения показателей. Близость к нулю математического ожидания 0,526975974 указывает, что при заданной доверительной вероятности есть основания отвергнуть гипотезу о равенстве нулю математического ожидания случайной остаточной последовательности, распределенной по нормальному закону.

Модель полинома 2-ой степени адекватна по всем критериям исходным данным, что позволяет использовать ее для дальнейшего прогнозирования.

 

 

Выводы

На основе проведенного исследования трендовых полиномиальных моделей 2 и 3 степени можно сделать вывод о пригодности того или иного тренда для использования в дальнейшем прогнозировании. Оценка адекватности моделей проводилась на основе анализа соответствия 4 критериям. В результате проведенных расчетов вышло, что оба полинома 2 и 3 степени удовлетворили проверяемым условиям, что видно в таблице 10.

 

Таблица 10 – Результаты исследования полиномиальных моделей 2 и 3 степени

Трендовая модель	R2	Средняя относитель ная ошибка аппроксимации, %	Результаты проверки модели на адекватность
			Остат ки случайны?	Отсутствует автокорреляция остат ков?	Остаточная последовательность подчиняется нормальному закону распределе ния?	Выборочное среднее остаточной последовальности близко к нулю?
Полином 2 степени	0,9637	11,197	Да	Да	Да	Да
Полином 3 степени	0,9646	11,4401	Да	Да	Да	Да

 

Уровень ошибки обоих трендов невелик и отличается лишь на 0,2431. Для дальнейшего прогнозирования исследователями следует выбрать модель 2 степени. При удовлетворении нескольких моделей четырем критериям адекватности, у полинома 2 степени более низкий коэффициент при t, что позволит избежать ошибок в последующих расчетах.

Прогноз

В результате проведенных исследований был сделан вывод о наиболее привлекательности полиномиальной модели 2 степени для дальнейшего прогнозирования. В этой связи был сформирован прогноз на 2, 3 и 4 кварталы 2010 и все периоды 2011 годов о посещаемости посетителей возрастной группы старше 61 Фитнес – Центра «К». Прогнозируемые данные представлены в таблице 11.

 

Таблица 11 – Результаты прогноза

Год	t	Квартал*	Прогнозное значение	Границы доверительных интервалов
				верхняя	нижняя
2010	22	2	10	10	10
	23	3	11	11,45335788	10,38604212
	24	4	12	12,13085788	11,06354212
2011	25	1	12	12,82815788	11,76084212
	26	2	13	13,54525788	12,47794212
	27	3	14	14,28215788	13,21484212
	28	4	15	15,03885788	13,97154212
_______________________ *  Квартал состоит из трех месяцев, отсчет начинается с января.

 

Положительная динамика посещений сохраняется и на будущие периоды, что говорит о верности выбранной стратегии фитнес - центром в сфере привлечения клиентов. График прогнозных данных с результатами интервального прогноза представлен на рисунке 12.

 

Рисунок 12 – График прогнозный данных

 

 

Полученные результаты могут говорить и о том, что на том же уровне держатся демографические показатели, а именно низкий уровень рождаемости, возрастающее количество людей старшего возраста. Возрастная группа более 61 в рамках сложившейся ситуации может и, наверное, должна оставаться работоспособной, поскольку отсутствуют иные рабочие руки. Для этого необходимо сохранять себя в хорошем физическом состоянии, в чем могут помочь занятия фитнесом.

Близкие значения верхней, нижней границ и графика прогноза говорит о точности подобранной модели полинома 2 степени для будущих исследований.