Разностная схема с весами для нелинейных уравнений

    Из уравнения

                                          (4)

.

    Здесь метод прогонки использовать нельзя. Необходимо линеаризовать уравнение (или решать итерационными методами).

    При линеаризации получим

.

    В канонической форме это уравнение имеет вид:

    При  схема безусловно устойчива.

    Можно строить разностные схемы для нелинейных уравнений и на основе метода «предиктор-корректор».

Схема Маккормака для нелинейных уравнений

    В этой схеме на этапе «предиктор» уравнение решается явно, а второе – неявно. Такие схемы называются схемами с несогласованной аппроксимацией (у которых уравнения имеют разный порядок аппроксимации). Как правило, первое уравнение имеет первый порядок аппроксимации, а второе – второй.

Методы построения схем повышенного порядка аппроксимации

    Получение разностных схем повышенного порядка аппроксимации базируется на трех методах:

1. С помощью многосеточных методов.

2. С помощью выбора специального оператора усреднения (компактные схемы).

3. С помощью дифференциального приближения.

Рассмотрим второй метод:

.                                                (1)

    Интегрируем (1) на  с помощью одного из численных методов (Симпсона, треугольников).

.                     (2)

Раскладываем  и  в ряд Тейлора до третьего порядка:

                      (3)

    Из (1)

(3) (2)

    Получим систему уравнений для коэффициентов , используя (1):

    Решим полученную систему уравнений относительно параметра :

    Таким образом, получаем:

    Подставим полученные значения в (2):

    Получим однопараметрическое семейство разностных схем третьего порядка аппроксимации.

    Чаще всего  выбирается таким образом:

1. .

2. .

3. .

Представим полученную схему в виде:

,  – оператор усреднения.

    Рассмотрим, что получится при :

.

    При , имеем:

    Для  аналогично получим:

    Рассмотрим уравнение:

.

.

    Схема нелинейная и для исследования ее устойчивости необходима линеаризация. При этом порядок аппроксимации ухудшается.

    Аппроксимировать можно и по времени и по пространству. Пример такой трехслойной схемы:

.

    На решение уравнения схема аппроксимирует исходную систему с . Схема условно устойчива.

1.5.1. Дисперсионные свойства разностных схем. Схема Лакса.

    Решается уравнение

.

    Условно устойчивая схема:

.                  (*)

    Напишем дифференциальное приближение (раскладываем в ряд Тейлора до третьего порядка) в окрестности точки

.

    Получили второе дифференциальное приближение для схемы (*). Далее подставляется гармоника (вносится искажение):

.

    Затем составляем характеристическое уравнение и ищем параметр :

.

    Характеристическое уравнение для нахождения  решается любым итерационным методом, в частности, методом последовательных приближений. Проделывается три последовательных итерации, получаем второй порядок аппроксимации и по времени, и по пространству:

    Тогда имеем:

.

    Коэффициенты диффузии:

.

 – число Куранта

    Коэффициенты дисперсии:

.

    Коэффициенты сеточной диффузии для схемы Лакса могут быть большими.