И.Н. ВЛАСОВА. «Комбинаторно-вероятностные задачи в начальном обучении математике.»// Начальная школа.-2012 год.-№1.-С. 74-79.

https://n-shkola.ru/archive/index/year/2012

Знакомство в начальной школе с комбинаторно-вероятностными понятиями имеет следующие особенности: значительная доля бессознательного и интуитивного в понимании учащимися случайных процессов; способность обучаемых характеризовать случайные процессы только качественно; необходимость опоры на жизненный опыт младших школьников; длительность формирования соответствующих когнитивных структур в неразрывной связи с приобретаемыми в начальной школе знаниями, умениями и навыками.

Задания первого уровня можно использовать во II классе, второго — в III, а третьего — в IV. Однако если уровень подготовки первоклассников выше среднего (в гимназиях, лицеях), то опыт работы с ними свидетельствует о возможности решений задач первого и второго уровней. Методические рекомендации, приведенные после серии задач, помогут педагогу эффективно организовать учебную деятельность школьников.
Предлагаемые комбинаторно-вероятностные задачи можно включать в уроки по любой программе обучения математике для начальной школы.

Так, на уроках открытия нового знания такие упражнения можно предложить на этапе актуализации или создания мотивации, а также этапе включения нового понятия, свойства или правила в систему знаний. Если основная цель урока связана с решением традиционных задач, то вероятностные задачи, предложенные в игровой форме, будут способствовать переключению внимания и снижению утомляемости. На уроках обобщения и систематизации знаний такие упражнения не позволяют сформировать стереотипность формулировок математических задач, способствуют расширению кругозора учащихся и развитию интереса к математике. Во внеурочной деятельности решение комбинаторно-вероятностных задач, проведение опытов, экспериментов с определением возможных исходов позволяет ученику быть активным субъектом учебной деятельности, исследователем или оппонентом.

Среди всех задач по теории вероятностей можно условно выделить четыре основных типа, знакомство с которыми возможно уже в младших классах.
В ходе решения задач на классификацию событий школьники учатся сначала узнавать (различать) невозможные и достоверные события на основе их собственного опыта и знаний по учебным предметам. С этой целью они отвечают на вопросы вида: «Может ли ваша мама быть старше вашей бабушки. Может ли после зимы наступить осень?» Далее учащиеся выделяют из предложенных событий те, о которых невозможно точно сказать, произойдет оно или нет, например: а) замерзла ли вода в стакане; б) имеют ли 2 отрезка общую точку, т.е. случайные события. Как только учащиеся самостоятельно классифицируют предложенные события и приводят их примеры, то можно начинать решать задачи об исходах в испытаниях. Только после того как будут освоены задачи об исходах в испытаниях, можно приступать к решению задач на сравнение вероятности появления события, например: «Какая из цифр (1 или 2) чаще встречается при записи чисел от 10 до 20, а от 20 до 30?»

Задачи на определение вероятности события (относительной частоты события) могут изучаться только при осознанном решении ранее рассмотренных задач. Для их решения требуется не формальное знание о возможных исходах и частоте появления случайного события, а необходимо понимание (применение в нестандартных ситуациях) приемов проведения статистических исследований, например: «Какая буква (а или у) чаще встречается в тексте из ста слов? Как часто встречается в нем буква ю?» Поэтому задачи на определение вероятности события являются задачами повышенной сложности, необязательные для решения всеми учащимися.

Приведем примеры задач, которые разбиты на четыре блока в соответствии с описанными типами. В каждом блоке задачи разделены на три уровня, отличающиеся по степени сложности.

Задачи на классификацию событий:

Уровень 1. Определи, каким является каждое событие: достоверным или невозможным: а) В левой руке 2 яблока, а в правой — 3 яблока, т.е. всего в руках 5 яблок. б) Собрали 4 корзины груш, 2 из них унесли в сарай. Осталась половина заполненных корзин. в) В классе 9 мальчиков и 8 девочек, значит, в классе 20 детей. г) За партами сидят 23 ученика. Учитель насчитал среди них 11 мальчиков и 9 девочек. д) Прошел один месяц летних каникул. Ученикам осталось отдыхать еще столько же. е) На пальто израсходовали 3 м ткани из купленных 5 м. Значит, можно сшить еще такое же пальто.

Уровень 2. При каких условиях следующие события будут достоверными: идет урок; капает с крыш вода; заходит солнце; дерево растет; река впадает в море; чашка разбилась; рыбак поймал несколько щук. Р е к о м е н д а ц и и: важно, чтобы учащиеся увидели, что достоверность или невозможность некоторых событий зависит от условий. Их выделение приучает школьников более внимательно относиться к тексту задачи.

Уровень 3. Компьютер переставляет случайным образом цифры 2, 4, 9 и выдает на экран трехзначное число. Рассмотри такие события: а) это число четное; б) это число кратно 3; в) это число кратно 4; г) это число кратно 10. Найди среди них невозможное и достоверное. Объясни свое решение.

Задачи на определение исхода в испытании:

Уровень 1. Твой друг загадал число от 1 до 10. Каким оно может быть? Р е к о м е н д а ц и и: важно обсудить то, что точный ответ дать на такой вопрос нельзя, но существуют 10 различных вариантов правильного ответа. Их нужно назвать. Это задание можно использовать при изучении темы «Первый десяток». На первых уроках этой темы числа можно не записывать, а только называть. В этой задаче можно изменять условие: ваш друг задумал число, которое меньше 10; друг задумал число от 3 до 6; друг задумал однозначное число...

Уровень 2. На столе лежат 33 карточки со всеми буквами алфавита. Сможет ли учащийся составить из них следующие слова: Пермь, Кунгур, Сылва, Оса, Добрянка, Чайковский, Березники? Названия каких городов Пермской области (России) сможет еще составить учащийся?

Уровень 3. В уральских лесах из каждых 100 деревьев 60 являются хвойными и 40 — лиственными. Какими могут быть 2 дерева, если они выбираются наугад? Какими могут быть 10 деревьев, если они выбираются наугад? Могут ли среди выбранных деревьев оказаться только: а) хвойные; б) лиственные; в) березы; г) ели; д) смородина?

Задачи на сравнение вероятности появления события:

 Уровень 1. Определи, какое событие (в каждой паре) более вероятно, а какое менее вероятно. а) Зимой идет сильный дождь. Зимой падает снег. б) На уроке чтения ученики решали математические задачи. На уроке математики ученики писали диктант. в) Если подбросить монетку, то выпадет орел. Если бросить игральный кубик, то вы падет шестерка. Р е к о м е н д а ц и и: можно использовать выражения, близкие по смыслу: скорее произойдет, чем не произойдет; происходит чаще; происходит реже.

Уровень 2. Подсчитай количество гласных букв в тексте из 200 знаков. Определи, что вероятнее: встретить в тексте букву а или встретить в тексте букву е. Какая буква встречается чаще, а какая — реже всех остальных?

Уровень 3. Подбрасываются два игральных кубика. Какое событие (в каждой паре) более вероятно? а) Сумма выпавших очков равна 2. Сумма выпавших очков равна 3. б) Сумма выпавших очков равна 6. Сумма выпавших очков равна 9. в) Сумма выпавших очков четная. Сумма выпавших очков кратна 4. г) Разность очков первого и второго кубиков равна натуральному числу. Разность очков первого и второго кубиков найти нельзя. д) Одно из выпавших чисел является делителем другого. Сумма выпавших чисел имеет только два делителя.

Задачи на определение вероятности события:

Уровень 1. Набирая твой номер телефона, учительница забыла одну цифру и набрала ее наугад. Найди вероятность того, что она дозвонится до тебя: а) с первого раза; б) со второго раза.

Уровень 2. В классе 25 человек. Какова вероятность того, что ты займешь в беге: а) первое место; б) пятое место; в) двадцать пятое?

Уровень 3. Ты соревнуешься в беге вокруг школы с равным по силе партнером. Чего следует больше ожидать: двух побед из четырех забегов или трех побед из четырех забегов?