И. Б. Румянцева, И. И. Целищева. Развитие гибкости мышления младших школьников на внеурочных занятиях по программе «Занимательная комбинаторика». - Социальные науки. - 2018. - №1. - с. 138-146.

Статья №1.

А. А. Вендина, К. А. Киричек. Комбинаторные задачи в курсе математики начальной школы. - Мир культуры, науки, образования. - 2017. - №1. - с. 49-51

https://cyberleninka.ru/article/n/kombinatornye-zadachi-v-kurse-matematiki-nachalnoy-shkoly/viewer

Анализ раздела «Решение текстовых задач» программ по математике для 1 - 4 классов показал необходимость формирования умения решать задачи логического и комбинаторного характера у младших школьников. В связи с этим в современных учебниках начального курса математики наблюдается тенденция к увеличению количества комбинаторных задач, а также появление кружков (факультативов) по решению комбинаторных задач в рамках обще интеллектуального и общекультурного направления внеурочной деятельности.

Анализ учебников по математике для начальной школы позволил выявить дифференцированное включение комбинаторных задач и способов их решения на разных этапах математической подготовки обучающихся:

1. Задачи из теории множеств, связанные с подсчетом всех возможных комбинаций объектов множества и комбинаций, удовлетворяющих определенным условиям, решаемые с помощью наглядности (рисования; манипулирования реальными предметами, карточками и т. п.).

2. Комбинаторные задачи, решаемые методом перебора (хаотично и упорядочено).

3. Задачи, решаемые табличным способом (условие вносится в таблицу и в ней же выполняется решение).

4. Задачи, решаемые с помощью графа (схемы).

5. Задачи на построение дерева возможных вариантов.

6. Задачи, решаемые с применением основных правил комбинаторики.

Рассмотрим особенности изучения младшими школьниками выявленных способов решения комбинаторных задач.

1. В основе комбинаторных действий лежат действия с конечными множествами, поэтому изучение комбинаторики начинается с подготовительного этапа, согласованного с изучением множеств: сначала учащиеся рассматривают одно множество элементов, при этом учатся выделять всевозможные пары элементов данного множества или пары, удовлетворяющие определенным условиям. Далее учащиеся составляют пары из элементов двух множеств и устанавливают связь между количеством элементов множества (множеств) и количеством выделенных пар. Так, например, в 1-2 классах рассматриваются задачи на составление пар, удовлетворяющих заданному условию (задания 1 - 2) и примеры на составление всех возможных комбинаций (задание 3).

Задание 1. Запиши все двузначные числа, в которых десятков столько же, сколько единиц. Сколько получилось таких чисел?

Задание 2. Составь все возможные суммы из двух чисел, используя лишь числа 3, 4, 8 (порядок слагаемых не принимается во внимание). Сколько таких сумм получилось?

Задание 3. На столе лежат овощи: свекла, морковь, огурец, томат. Сколькими способами можно составить набор из двух овощей? Зарисуй эти наборы в тетради.

Задание 4. У Красной Шапочки есть картофель, рис, яйца и мясо. Она хочет испечь для бабушки пирожки, используя в качестве начинки только два вида продуктов. Помоги Красной Шапочке составить все возможные комбинации продуктов. Сколькими способами можно составить набор продуктов для начинки?

Решение данной задачи можно провести, заранее подготовив бумажные геометрические фигуры разного цвета и размера, например: красные и желтые круги, белые прямоугольники и оранжевые овалы, которые будут обозначать мясо, яйца, рис и картофель соответственно. В этом случае обучающимся будет легче определить количество различных комбинаций начинки за счёт наглядности. Форма работы над задачей может быть организована как индивидуальная, так и в парах, микрогруппах.

Аналогично с помощью карточек, изображающих рассматриваемые в задаче предметы, и практического перебора школьники могут решить и следующее задание.

Задание 5. У Арсения есть 2 конструктора, 2 мяча и 3 машинки. Он хочет выбрать своему другу Денису для подарка один конструктор, один мяч и одну машинку. Помоги Арсению подсчитать, сколькими способами он может выбрать подарок?

Задание 6. У Кости имеются монеты: 4 монеты достоинством 1 рубль, 3 монеты достоинством 2 рубля, и по 2 монеты достоинством 5 и 10 рублей. Мороженое стоит 24 рубля. Каким набором монет Костя может заплатить за мороженое? Посчитай количество различных вариантов набора монет для покупки мороженого.

2. Перебор всегда осуществляется по какому-либо признаку объектов и напрямую связан с операцией классификации. Поэтому важным элементом готовности ребенка к овладению способами решения комбинаторных задач является его умение выделять различные признаки предметов, классифицировать множества одних и тех же объектов по различным основаниям. При обучении школьников решению задач методом перебора важно обучить детей выполнять перебор не хаотично, а соблюдая определенную последовательность рассмотрения всех вариантов решения без пропуска и повторения комбинаций. Поэтому в ходе решения задач такого вида дети должны проговаривать алгоритм получения новых комбинаций, например, как в задании 7: один элемент фиксируется, а два других переставляются.

Задание 7. Составьте все возможные трехзначные числа из цифр (каждая из данных цифр встречается в записи числа только один раз): а) 3, 7, 2; б) 2, 0, 5; в) 1, 2, 0.

3. К решению комбинаторных задач с использованием таблиц можно перейти после того, как освоен принцип их составления, актуализированы знания детей о таблицах, выделены существенные их признаки. Как было сказано выше, сначала младших школьников следует научить решать комбинаторные задачи методом перебора, а впоследствии табличным способом.

Задание 8. Сколькими способами Буратино может разложить 7 конфет в 2 кармана? Проверь себя с помощью таблицы.

Задание 9. Для участия в концерте нужны двое ведущих: один мальчик и одна девочка. Быть ведущими желают Ангелина, Катя, Оля, Герман, Богдан, Иван и Максим. Какие варианты пар ведущих возможны? Реши задачу, составив таблицу и закрасив клетки, соответствующие решению задачи.

4. При решении комбинаторных задач с помощью графов объекты обозначаются точками, связи между объектами - линиями или стрелками (если нужно показать направление действия, правильную последовательность в изображении объектов). Новое для школьников понятие «граф» можно рассмотреть на примере задач следующего вида.

Задание 10. В конце школьных каникул перед началом учебного года 4 друга: Герман, Богдан, Иван и Максим решили обменяться впечатлениями о проведенном времени, для чего позвонили друг другу. Определите, сколько всего было звонков.

5. Решение комбинаторных задач с помощью дерева возможных вариантов, являющегося одним из разновидностей графа, завершает процесс изучения младшими школьниками рациональных приемов систематического перебора на основе схематизации и моделирования. В отличие от графа, дерево решений характеризуется тем, что «растет» сверху вниз. Такой вид удобен для расположения объектов в нужной последовательности, что позволяет учесть все возможные комбинации элементов.

Задание 11. В понедельник по расписанию в вашем классе должно быть 4 урока: математика, русский язык, чтение и труд. Сколько разных последовательностей уроков можно составить в расписании на понедельник? Реши задачу, составив дерево возможных вариантов.

Задание 12. Герои сказки «Волшебник Изумрудного города» решили, что им пора учиться в школе. Помоги Элли рассадить Тотошку, Страшилу, Железного Дровосека и Трусливого Льва за две свободные парты. Определи, сколько вариантов выбора у нее есть.

а) составив все возможные пары, пользуясь методом организованного перебора (пороговый уровень);

б) составив граф (схему) (повышенный уровень).

6. Процесс формирования навыка решения комбинаторных задач в курсе математики начальной школы логически завершается знакомством учащихся с такими правилами комбинаторики, как правила суммы и произведения. Обучающихся необходимо подвести к применению комбинаторных формул (сочетания, размещения и перестановки) без их обозначения. В ходе достижения выделенных задач каждый ребенок учится представлять в умственном плане все возможные варианты комбинаций без обращения к практическим или графическим средствам. Педагогу важно организовать учебный процесс так, чтобы дети активно рассуждали, комментировали свои действия и на основе правил суммы и произведения получали ответ на поставленный вопрос о подсчете числа комбинаций.

Задание 14. (Повышенный уровень сложности). Мальвина решила примерить две шляпы и три шарфика. На каждый вариант примерки (шляпа с шарфиком) она тратит 5 минут. Сколько времени Мальвина проведет у зеркала, если она планирует примерить все варианты.

Таким образом, комбинаторные задачи не только естественным образом сочетаются с традиционным курсом математики, помогая отработать вычислительные навыки, способы моделирования, но и создают предпосылки к формированию умений анализировать возможные варианты развития событий и их шансы на реализацию. Приобретенные знания и умения пригодятся учащимся при решении практических задач в повседневной, реальной жизни.

 

 

Статья №2.

Статья №3.

Н. Г. Гашаров, Х. М. Махмудов, Н. Г. Магомедов, Д. М. Нурмагомедов, П. А. Расулова. Комбинаторные задачи в начальном курсе математики. - Мир науки, культуры, образования. - 2018. - №1. - 327 - 329.

https://cyberleninka.ru/article/n/kombinatornye-zadachi-v-nachalnom-kurse-matematiki/viewer

В связи с освоением в начальной школе ФГОС НОО ещё настойчивее стало звучать требование об усилении и расширении развивающих возможностей начального курса математики.

Одним из таких средств, безусловно, служит комбинаторные задачи, составленные с опорой на жизненный материал младших школьников, которые помогают им увереннее ориентироваться в окружающем мире, учат их рассматривать все имеющиеся комбинации возможностей и делать среди них оптимальный выбор. В комбинаторных задачах заложены потенциальные возможности для того, чтобы развивать вариативность мышления учащихся; подготовить их к решению жизненных практических проблем, научить в конкретной ситуации принимать оптимально верное решение; организовать свою творческую и исследовательскую деятельность; активизировать у учащихся мыслительную деятельность и формировать у них интеллектуальные умения. В процессе решения комбинаторных задач фактически задействованы и непосредственно используются в комплексе почти все познавательные УУД. Поэтому это обстоятельство является важнейшим фактором, направленным на актуализацию и систематическое использование на уроках математики развивающих возможностей такого типа задач. Комбинаторные задачи, предлагаемые в начальных классах, как правило, носят практическую направленность и основаны на реальном сюжете. Это вызвано в первую очередь психологическими особенностями младших школьников, их слабыми способностями к абстрактному мышлению.

В связи с этим возникает необходимость включения задач комбинаторного характера в процесс обучения с постепенным нарастанием сложности путем предоставления учащимся максимальной возможности проявить инициативу и самостоятельность в поисках способов решения таких задач.

На первоначальном этапе внимание детей надо уделить решению задач, направленных на формирование приёма простого перебора объектов, рассматриваемых в задаче. В качестве примера приводим несколько типов задач, вполне подходящие на этом этапе:

1. Аня и Саша гуляют с мамой в парке, держа последовательно друг друга за руки. Как это может происходить?

2. Учитель выставил трём ученикам по математике и русскому языку положительные оценки. Какими могли быть эти отметки?

3. Ученику необходимо покрасить три разные игрушки используя синюю и красную краски. Как это можно сделать? Сколько вариантов возможно?

4. Миша выполнил домашнее задание по математике, русскому языку и чтению. В какой последовательности он мог это выполнить?

5. Сколько трёхзначных чисел можно записать, используя цифры 0, 4, 5?

Уже на следующем этапе при решении комбинаторных задач необходимо использовать в полной мере возможности моделирования и прибегать к построению различных видов вспомогательных моделей (чертежей, схем, таблиц, графов, деревьев возможностей и т. д.), используемых при решении задач в начальных классах. Приводим несколько типичных примеров таких задач, удобных в методическом плане использовать на этом этапе:

1. Запишите всевозможные двухзначные и трёхзначные числа при помощи цифр 2, 4, 5. Сколько их может быть соответственно?

2. Шестеро ребят участвуют в шахматном турнире, играя между собой по одной партии. Сколько партий будет сыграно в этом турнире?

3. Задача Л. Эйлера: Трое господ при входе в ресторан отдали швейцару свои шляпы, а при выходе получили их обратно. Сколько существует вариантов, при которых каждый из них получит чужую шляпу?

4. Задача А. В. Белошистой: Имеются карандаши красного и синего цвета. Сколько карандашей нужно взять, не глядя, чтобы хотя бы 2 (или 3) из них были одного цвета?

5. Найдите на данном чертеже треугольники в возможно большем количестве. Сколько их может быть? (Ответ: 14)

При объяснении решения последней задачи можно прибегнуть к приёму последовательного усложнения чертежа.

После отработки этого этапа необходимо реализовать следующий этап, закрепляющий умение решать комбинаторные задачи. На этом этапе важна отработка учащимися умения решать комбинаторные задачи несколькими способами, используя при это различные способы составления вспомогательных моделей и осуществляя при этом действие самоконтроля, которое является важнейшим компонентом учебной деятельности.

На этом же этапе уместно обсуждать с детьми различные ситуации из обыденной жизни, когда они в том или ином виде имеют дело с элементами комбинаторики. Например, это может варианты пин-кода банковской карты, вопросы телевизионной игры «Кто хочет стать миллионером?», наборы многозначных чисел, записи слов, номера телефонов, даты рождения людей и т.д.

В ходе обучения учащихся решению комбинаторных задач задействованы и формируются, например, такие познавательные УУД, как:

- выделение условия, вопроса, данных и искомых задачи;

- проведение поиска информации необходимой для решения задачи;

- построение различных моделей: чертеж, схема, таблица, граф, дерево возможностей и т. д.;

- выявление причинно-следственных отношений и связей;

- выдвижение гипотез, а также их обоснование;

- сравнение условий различных задач и их решений, выявление между ними различий и сходства;

- анализ решения задачи, логическое обоснование выполненных действий.

 

 

Статья №4.

О. А. Копылова. Возможность использования комбинаторных задач для формирования у младших школьников общеучебных универсальных действий. - Наука и образование сегодня. - 2017. - №3. - с. 28-32.

https://cyberleninka.ru/article/n/vozmozhnost-ispolzovaniya-kombinatornyh-zadach-dlya-formirovaniya-u-mladshih-shkolnikov-obscheuchebnyh-universalnyh-deystviy/viewer

Представим возможные варианты организации деятельности учащихся при работе с комбинаторными задачами и обоснуем их взаимосвязь с некоторыми общеучебными УУД младших школьников.

Первое действие - выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности. В начальном курсе математики основными способами решения комбинаторных задач является: метод хаотичного перебора; метод системного перебора; решение задачи с помощью таблицы; графа; древа возможных вариантов. Выбор того или иного способа зависит от условий задачи (понятия о различных типах комбинаторных задач не вводится), так например при решении подобных задач: «Для изготовления двуцветных ручек на фабрике использовали красные (К), желтые (Ж), зеленые (З) и синие (С) стержни. Сколько различных видов двуцветных ручек выпускала фабрика?. Ученики могут использовать следующие способы:

• метод хаотичного перебора;

Решение задачи будет выглядеть так: КЖ; ЗС; ЖЗ; КС; ЖС; КЗ.

• метод системного перебора;

Решение задачи будет таким: КЖ; КЗ; КС; ЖЗ; ЖС; ЗС.

• решение задачи с помощью таблицы;

• решение задачи с помощью графа;

Решая эту задачу, ученик должен выбрать для себя наиболее эффективный способ решения (метод хаотичного, системного перебора, решение комбинаторной задачи с помощью таблицы, графа). При этом ученик основывается на анализе условия задачи и на основе систематизации знаний о комбинаторных задачах и способах их решения.

Ученикам также предлагаются и задания, решение которых следует осуществлять путем хаотичного перебора, например: из деталей, изображенных на рисунке, нужно выложить «лесенку» по заданному контуру. В данной задаче сложно выявить какую-либо систему перебора, следовательно, используя хаотичный перебор, выполнить требуемое в задаче гораздо быстрее и легче.

Контроль и оценка процесса и результатов деятельности, формируется путем дополнительных заданий к задаче, например: «заполни таблицу и проверь свой ответ» «постройте граф и проверьте свой ответ».

Еще одно общеучебное действие - моделирование. Как мы видим из приведенных примеров, как правило, при решении комбинаторной задачи, используется модели: таблицы, графы, древо возможных вариантов. Они предлагаются учащимся либо в готовом виде, либо создаются учениками самостоятельно или с помощью учителя, в процессе работы возможно составление схематичного рисунка к задаче, а также происходит преобразование одной модели в другую.

Для формирования общеучебных действий у учащихся при работе с комбинаторными задачами можно предложить следующие приемы:

• моделирование комбинаторной задачи в таблице;

• выбор таблицы, соответствующей тексту задачи;

• сравнение разных способов комбинаторной задачи;

• проверка решения комбинаторной задачи с помощью таблицы, графа, дерева и др.

Данные приемы и способы работы над текстом комбинаторной задачи апробированы на практике, результаты наблюдения за учащимися на уроке показывают их результативность. Однако наблюдение не является достаточно достоверным методом, требуется проведение более масштабного педагогического эксперимента, что является перспективой нашего исследования.

 

 

Статья №5.

Статья №6.

Статья №7.

Статья №8.

И.Б. РУМЯНЦЕВА, И.И. ЦЕЛИЩЕВА «Интегрированные комбинаторные задания для младших школьников»//Начальная школа.-2014.-№7.-97-102

https://n-shkola.ru/storage/archive/1404118294-1985927845.pdf

По мнению академика Л.В. Занкова, «...основным направлением математической подготовки должно стать развитие таких средств мыслительной деятельности, как гибкость и быстрота реакций».

В данной статье речь пойдет о комбинаторных заданиях, направленных на развитие гибкости мышления учеников 6–8 лет. В них рассматриваются различные комбинации из объектов, удовлетворяющие определенным условиям. При их решении младшими школьниками используется метод перебора, поскольку он не требует знания комбинаторных формул и правил, а опирается на рассуждения о возможности различных вариантов выбора с учетом заданных условий.

— Какими геометрическими фигурами удобно изобразить морковь? (Треугольниками.) Нарисуйте нужное количество треугольников. Подумайте, какого они должны быть размера, если размер морковок был разным. Школьники изображают четыре треугольника разных размеров. — Какими геометрическими фигурами удобно изобразить капусту? (Кругами.) Нарисуйте нужное число кругов. Учитывайте, что кочаны были разного размера. Школьники изображают три круга разного размера.

— Сколько овощей нужно давать крольчихе каждый день, чтобы их хватило на неделю, т.е. на 7 дней? (Овощей семь и дней семь. Значит, ежедневно надо давать по одному овощу.) Составьте меню для крольчихи. Ученики зарисовывают около записанных в тетради букв круги и треугольники. Педагог проверяет их. — Посмотрите на меню соседа по парте. Сравните ваши меню. Чем отличается его меню от вашего? Какой вывод можно сделать? Учащиеся делают выводы, что меню получились разные, можно составить много овощных наборов, и убеждаются, что каждый из них является правильным решением задания.

 З а д а н и е 2. Меню для кошки. Учитель предлагает ученикам составить меню для кошки на три дня, учитывая, что сутки можно разделить на утро, день, вечер и ночь, а меню на каждый день должно быть разным. Педагог демонстрирует учащимся карточки, на которых изображены продукты для кормления кошки (например: хлеб, молоко, рыба, готовый сухой корм, сметана, каша, яйцо, мясо, вода). Каждый ученик вписывает в таблицу свой вариант меню для кошки на три дня.

В статье представлено аналогичное задание по теме «Рыбы».

 

 

Статья №9.

Статья №10.

Статья №1.

А. А. Вендина, К. А. Киричек. Комбинаторные задачи в курсе математики начальной школы. - Мир культуры, науки, образования. - 2017. - №1. - с. 49-51

https://cyberleninka.ru/article/n/kombinatornye-zadachi-v-kurse-matematiki-nachalnoy-shkoly/viewer

Анализ раздела «Решение текстовых задач» программ по математике для 1 - 4 классов показал необходимость формирования умения решать задачи логического и комбинаторного характера у младших школьников. В связи с этим в современных учебниках начального курса математики наблюдается тенденция к увеличению количества комбинаторных задач, а также появление кружков (факультативов) по решению комбинаторных задач в рамках обще интеллектуального и общекультурного направления внеурочной деятельности.

Анализ учебников по математике для начальной школы позволил выявить дифференцированное включение комбинаторных задач и способов их решения на разных этапах математической подготовки обучающихся:

1. Задачи из теории множеств, связанные с подсчетом всех возможных комбинаций объектов множества и комбинаций, удовлетворяющих определенным условиям, решаемые с помощью наглядности (рисования; манипулирования реальными предметами, карточками и т. п.).

2. Комбинаторные задачи, решаемые методом перебора (хаотично и упорядочено).

3. Задачи, решаемые табличным способом (условие вносится в таблицу и в ней же выполняется решение).

4. Задачи, решаемые с помощью графа (схемы).

5. Задачи на построение дерева возможных вариантов.

6. Задачи, решаемые с применением основных правил комбинаторики.

Рассмотрим особенности изучения младшими школьниками выявленных способов решения комбинаторных задач.

1. В основе комбинаторных действий лежат действия с конечными множествами, поэтому изучение комбинаторики начинается с подготовительного этапа, согласованного с изучением множеств: сначала учащиеся рассматривают одно множество элементов, при этом учатся выделять всевозможные пары элементов данного множества или пары, удовлетворяющие определенным условиям. Далее учащиеся составляют пары из элементов двух множеств и устанавливают связь между количеством элементов множества (множеств) и количеством выделенных пар. Так, например, в 1-2 классах рассматриваются задачи на составление пар, удовлетворяющих заданному условию (задания 1 - 2) и примеры на составление всех возможных комбинаций (задание 3).

Задание 1. Запиши все двузначные числа, в которых десятков столько же, сколько единиц. Сколько получилось таких чисел?

Задание 2. Составь все возможные суммы из двух чисел, используя лишь числа 3, 4, 8 (порядок слагаемых не принимается во внимание). Сколько таких сумм получилось?

Задание 3. На столе лежат овощи: свекла, морковь, огурец, томат. Сколькими способами можно составить набор из двух овощей? Зарисуй эти наборы в тетради.

Задание 4. У Красной Шапочки есть картофель, рис, яйца и мясо. Она хочет испечь для бабушки пирожки, используя в качестве начинки только два вида продуктов. Помоги Красной Шапочке составить все возможные комбинации продуктов. Сколькими способами можно составить набор продуктов для начинки?

Решение данной задачи можно провести, заранее подготовив бумажные геометрические фигуры разного цвета и размера, например: красные и желтые круги, белые прямоугольники и оранжевые овалы, которые будут обозначать мясо, яйца, рис и картофель соответственно. В этом случае обучающимся будет легче определить количество различных комбинаций начинки за счёт наглядности. Форма работы над задачей может быть организована как индивидуальная, так и в парах, микрогруппах.

Аналогично с помощью карточек, изображающих рассматриваемые в задаче предметы, и практического перебора школьники могут решить и следующее задание.

Задание 5. У Арсения есть 2 конструктора, 2 мяча и 3 машинки. Он хочет выбрать своему другу Денису для подарка один конструктор, один мяч и одну машинку. Помоги Арсению подсчитать, сколькими способами он может выбрать подарок?

Задание 6. У Кости имеются монеты: 4 монеты достоинством 1 рубль, 3 монеты достоинством 2 рубля, и по 2 монеты достоинством 5 и 10 рублей. Мороженое стоит 24 рубля. Каким набором монет Костя может заплатить за мороженое? Посчитай количество различных вариантов набора монет для покупки мороженого.

2. Перебор всегда осуществляется по какому-либо признаку объектов и напрямую связан с операцией классификации. Поэтому важным элементом готовности ребенка к овладению способами решения комбинаторных задач является его умение выделять различные признаки предметов, классифицировать множества одних и тех же объектов по различным основаниям. При обучении школьников решению задач методом перебора важно обучить детей выполнять перебор не хаотично, а соблюдая определенную последовательность рассмотрения всех вариантов решения без пропуска и повторения комбинаций. Поэтому в ходе решения задач такого вида дети должны проговаривать алгоритм получения новых комбинаций, например, как в задании 7: один элемент фиксируется, а два других переставляются.

Задание 7. Составьте все возможные трехзначные числа из цифр (каждая из данных цифр встречается в записи числа только один раз): а) 3, 7, 2; б) 2, 0, 5; в) 1, 2, 0.

3. К решению комбинаторных задач с использованием таблиц можно перейти после того, как освоен принцип их составления, актуализированы знания детей о таблицах, выделены существенные их признаки. Как было сказано выше, сначала младших школьников следует научить решать комбинаторные задачи методом перебора, а впоследствии табличным способом.

Задание 8. Сколькими способами Буратино может разложить 7 конфет в 2 кармана? Проверь себя с помощью таблицы.

Задание 9. Для участия в концерте нужны двое ведущих: один мальчик и одна девочка. Быть ведущими желают Ангелина, Катя, Оля, Герман, Богдан, Иван и Максим. Какие варианты пар ведущих возможны? Реши задачу, составив таблицу и закрасив клетки, соответствующие решению задачи.

4. При решении комбинаторных задач с помощью графов объекты обозначаются точками, связи между объектами - линиями или стрелками (если нужно показать направление действия, правильную последовательность в изображении объектов). Новое для школьников понятие «граф» можно рассмотреть на примере задач следующего вида.

Задание 10. В конце школьных каникул перед началом учебного года 4 друга: Герман, Богдан, Иван и Максим решили обменяться впечатлениями о проведенном времени, для чего позвонили друг другу. Определите, сколько всего было звонков.

5. Решение комбинаторных задач с помощью дерева возможных вариантов, являющегося одним из разновидностей графа, завершает процесс изучения младшими школьниками рациональных приемов систематического перебора на основе схематизации и моделирования. В отличие от графа, дерево решений характеризуется тем, что «растет» сверху вниз. Такой вид удобен для расположения объектов в нужной последовательности, что позволяет учесть все возможные комбинации элементов.

Задание 11. В понедельник по расписанию в вашем классе должно быть 4 урока: математика, русский язык, чтение и труд. Сколько разных последовательностей уроков можно составить в расписании на понедельник? Реши задачу, составив дерево возможных вариантов.

Задание 12. Герои сказки «Волшебник Изумрудного города» решили, что им пора учиться в школе. Помоги Элли рассадить Тотошку, Страшилу, Железного Дровосека и Трусливого Льва за две свободные парты. Определи, сколько вариантов выбора у нее есть.

а) составив все возможные пары, пользуясь методом организованного перебора (пороговый уровень);

б) составив граф (схему) (повышенный уровень).

6. Процесс формирования навыка решения комбинаторных задач в курсе математики начальной школы логически завершается знакомством учащихся с такими правилами комбинаторики, как правила суммы и произведения. Обучающихся необходимо подвести к применению комбинаторных формул (сочетания, размещения и перестановки) без их обозначения. В ходе достижения выделенных задач каждый ребенок учится представлять в умственном плане все возможные варианты комбинаций без обращения к практическим или графическим средствам. Педагогу важно организовать учебный процесс так, чтобы дети активно рассуждали, комментировали свои действия и на основе правил суммы и произведения получали ответ на поставленный вопрос о подсчете числа комбинаций.

Задание 14. (Повышенный уровень сложности). Мальвина решила примерить две шляпы и три шарфика. На каждый вариант примерки (шляпа с шарфиком) она тратит 5 минут. Сколько времени Мальвина проведет у зеркала, если она планирует примерить все варианты.

Таким образом, комбинаторные задачи не только естественным образом сочетаются с традиционным курсом математики, помогая отработать вычислительные навыки, способы моделирования, но и создают предпосылки к формированию умений анализировать возможные варианты развития событий и их шансы на реализацию. Приобретенные знания и умения пригодятся учащимся при решении практических задач в повседневной, реальной жизни.

 

 

Статья №2.

И. Б. Румянцева, И. И. Целищева. Развитие гибкости мышления младших школьников на внеурочных занятиях по программе «Занимательная комбинаторика». - Социальные науки. - 2018. - №1. - с. 138-146.

https://cyberleninka.ru/article/n/razvitie-gibkosti-myshleniya-mladshih-shkolnikov-na-vneurochnyh-zanyatiyah-po-programme-zanimatelnaya-kombinatorika/viewer

Отличительной особенностью программы является то, что в ней реализована авторская технология обучения детей решению комбинаторных задач, которые выступают средством развития гибкости мышления. В основе технологии лежат следующие принципы:

- «психологическое содержание обучения составляет стратегия развития гибкости мышления детей (следование этапам её формирования);

- учёт процесса интериоризации (первоначальное выполнение заданий детьми в практической деятельности, затем перенесение практических действий через речевые в план умственных действий);

- тесная связь содержания комбинаторных заданий с основным содержанием начального курса математики в соответствии с образовательными стандартами для детей младшего школьного возраста;

- последовательное использование метода перебора с целью обучения рациональным приёмам систематического перебора и как основы для введения в дальнейшем комбинаторных правил и формул».

Актуальность программы «Занимательная комбинаторика» обусловлена тем, что, во-первых, младший школьный возраст затрагивает сенситивный период развития ребёнка, когда наиболее интенсивно развиваются свойства творческого мышления при создании специальных условий. Во-вторых, программа является пропедевтической по отношению к стохастической линии, введённой в настоящее время в содержание математики в старших классах общеобразовательной школы.

Цель программы - общеинтеллектуальное развитие личности учащихся средствами овладения методами решения творческих, эвристических и комбинаторных заданий, математического содержания в условиях внеурочной деятельности образовательного учреждения.

Программа ставит целью решение следующих задач:

- формировать умение применять метод моделирования при поиске способов решения проблем творческого, поискового и комбинаторного характера (с математическим содержанием);

- формировать умение использовать знако-во-символические средства (таблица, направленный и ненаправленный графы, граф-дерево и др.) представления содержания математиче-

ских заданий для его всестороннего анализа и выработки нескольких способов решения обозначенной проблемы;

- формировать умение выполнять логические действия: сравнение, анализ, синтез, обобщение, классификацию по родо-видовым признакам рассматриваемых наборов элементов комбинаторных заданий;

- формировать умение устанавливать причинно-следственные связи в содержании комбинаторных заданий; на основе практического опыта строить рассуждения в обобщённом виде для выработки рациональных приёмов систематического перебора, как основы дальнейшего введения комбинаторных формул;

- уточнить, дополнить и обобщить знания учащихся о множествах, отношениях между множествами, операциях над множествами (объединения, пересечения, вычитания, декартова произведения), а также об элементе множества и отношениях между элементами множества;

- познакомить с рядом понятий теории множеств и математической логики («некоторый», «каждый», «все», «отдельные», «множество», «элемент множества», «часть», «целое»), понимать смысл союзов-связок «и», «или», частицы «не» и других и применять эти знания при решении практико-ориентированных комбинаторных заданий;

- подготовить мышление учащихся к изучению тем стохастической линии курса математики старших классов.

Первый этап - подготовка детей к решению комбинаторных задач. На этом этапе выполняются задания на выделение признаков, установление сходства и различия предметов; задания на классификацию различных объектов (с указанием основания для классификации и без указания, с указанием количества классов разбиения и без указания).

На подготовительном этапе у обучающихся формируется ряд элементарных понятий и положений теории множеств. Такие слова, как «некоторый», «каждый», «все», «отдельные» и другие встречаются в большинстве формулировок комбинаторных задач. Без осознанного понимания математического смысла этих слов ребёнок не сможет вырабатывать правильные решения. Организовать работу по усвоению этих и подобных им понятий можно следующим образом. Детям предлагается внимательно послушать и решить следующие задачи.

1. Все ученики вашего класса пойдут завтра в кино. Пойдёшь ли в кино ты?

2. Все ли животные имеют волосяной покров?

3. Все ли квадраты жёлтые?

4. Часть ребят пойдет в кино, а часть в парк. Пойдёт ли в кино Коля?

5. Назовите имена каждого мальчика своего класса (группы). Сколько среди них различных?

6. Назовите имена некоторых девочек группы. Зовут ли хотя бы одну девочку из группы Машей?

7. Отдельные животные зимой впадают в спячку. Можно ли в зимнем лесу встретить животное?

8. Почему вы так считаете? Что означают слова «все», «некоторые», «отдельные», «часть»? Что же больше: «все» или «некоторые», «целое» или «часть»?

Для усвоения смысла союзов-связок «и», «или» возможно выполнение с детьми следующих заданий.

9. Завтра будет солнечн