Напряжения и деформации при кручении стержня круглого поперечного сечения

Напряжения и деформации при кручении зависят от формы поперечного сечения стержня.

Рассмотрим кручение стержня круглого поперечного сечения (сплошного или полого). Нанесем на поверхность стержня сетку, состоящую из линий, параллельных оси бруса, и линий, представляющих собой параллельные круги. Эксперименты показывают, что при кручении такого стержня происходит следующее:

- продольные прямые линии сетки превратятся в винтовые линии, а линии поперечных кругов сохранят прежний вид;

- прямые углы первоначально нанесенной сетки за счет поворота одного сечения относительного другого будут искажаться на определенный угол γ – угол сдвига, в то время как расстояния между сечениями меняться не будут (рисунок 1.3).

 

Рисунок 1.3

 

Теория кручения круглых стержней основана на следующих предположениях:

- продольная ось стержня после деформации остается прямой линией;

- расстояния между поперечными сечениями стержня остаются неизменными;

- сечения плоские до деформации стержня, остаются плоскими после деформации, поворачиваясь одно относительно другого на некоторый угол φ – угол закручивания (гипотеза плоских сечений).

- радиусы поперечных сечений стержня после деформации остаются прямыми.

 У стержней, имеющих другую форму поперечного сечения, происходит депланация сечения (искажение). 

Рассмотрим стержень длиной l круглого поперечного сечения радиусом r, жестко защемленный одним концом и нагруженный на свободном конце внешним крутящим моментом М (рисунок 1.4).

 

Рисунок 1.4

Выделим на цилиндрической поверхности стержня образующую ad, параллельную оси стержня. В результате действия внешнего момента М возникают деформации кручения, и образующая ad занимает положение ad ' (рисунок 1.4).

Проведем сечение I-I на расстоянии dz от неподвижного сечения (сечения, находящегося в заделке). Точка b   – точка пересечения образующей ad с проведенным сечением. После деформации точка b переходит в точку b ′.

При деформации круглого стержня поперечные сечения повернутся на некоторые углы по отношению к своему первоначальному положению (по отношению к неподвижному сечению): сечение I-I, находящееся на расстоянии dz от неподвижного сечения, повернется на угол d φ;

Таким образом, деформацию кручения можно представить как результат сдвигов, вызванных взаимным поворотом поперечных сечений стержня относительно друг друга.

Рассмотрим деформацию элемента длиной dz  (рисунок 1.5).

 

Рисунок 1.5

 

Угол сдвига γ наружных слоев материала стержня будет равен:

                                            ,                                                (8)

где  - относительный угол закручивания;

r – радиус поперечного сечения стержня.

Для слоя, расположенного на расстоянии ρ от центра сечения, с учетом гипотезы плоских сечений угол сдвига определяется по формуле:

 

                                                                                           (9)

 

Так как деформацию кручения можно рассматривать как деформацию

сдвига, то согласно закону Гука при сдвиге (τ= G γ), касательное напряжение τ, Па, в любой точке круглого поперечного сечения стержня определяется по формуле:

                                                                                                (10)

где G – модуль сдвига при кручении (характеризует жесткость материала), Па.

Проанализируем формулу (8):

при      ρ = 0 τ = 0;

ρ = r τ = τ_max = G ∙ r ∙ θ.

Таким образом, касательное напряжение изменяется по круглому поперечному сечению  стержня по линейному закону от нуля в центре сечения до максимальных значений в точках поверхностных слоев (рисунок 1.6).

 

 

Рисунок 1.6 – Закон распределения касательных напряжений по поперечному сечению круглого стержня

 

Так как волокна, лежащие ближе к центральной оси бруса, воспринимают малые напряжения, то для облегчения конструкции иногда стержни делают пустотелыми.

При кручении наблюдается действие напряжений сдвига. Рассмотрим поперечное сечение круглого стержня.  Выделим элементарную площадку площадью dA на расстоянии ρ от центра сечения (рисунок 1.7).

Рисунок 1.7

 

На элементарной площадке dA будет действовать элементарная сила dN =τ dA. Момент этой силы относительно оси стержня равен d М= dN ∙ ρ =τ dA ∙ρ.

Тогда крутящий момент М _z, возникающий в поперечном сечении стержня, будет равен сумме элементарных моментов, взятой по всей площади поперечного сечения, и определятся по формуле:

                                              (11)

где - полярный момент инерции сечения, м⁴;

θ – относительный угол закручивания (угол закручивания на единицу длины), рад/м;

G – модуль сдвига при кручении, Па.

Из формулы (9) относительный угол закручивания θ, рад / м, стержня будет определяться по формуле:

 

                                                                          (12)

 

где GJ_p - жесткость поперечного сечения стержня при кручении.

Подставим формулу (10) в формулу (8), получим формулу для расчета касательных напряжений τ, Па, (1 МПа =10⁶Па) при кручении в точках слоя поперечного сечения, расположенного на расстоянии ρ от центра сечения:

 

                                                                 (13)

 

где M _z – крутящий момент, возникающий в поперечном сечении, Н∙м;    

J_p - полярный момент инерции сечения, м⁴;

  ρ - расстояние от слоя точек сечения, в котором определяются напряжения, до центра сечения, м.

Максимальные касательные напряжения возникают в точках поверхностных слоев стержня, т.е. при ρ=r.

Отношение полярного момента инерции поперечного сечения стержня к радиусу сечения называется полярным моментом сопротивления W_p, м³, см³ и определяется по формуле:

 

.                                       (14)

 

Подставим в формулу (11) полярный момент сопротивления, получим формулу для определения максимальных касательных напряжений τ _max, Па )   при кручении:

                                          

                                         (15)

 

Формулы для расчета полярного момента инерции и полярного момента сопротивления для круглых (сплошного и кольцевого) сечений представлены в таблице 1.1.

 

 

Таблица 1.1 – Полярный момент инерции и полярный момент сопротивления для круглых сечений

 

Тип сечения	Jp	Wp
	(16)	(18)
	(17)

 

Определим полный угол закручивания стержня.

Из формулы (10) получаем абсолютный угол закручивания элементарного участка длиной dz:

 

                                                                                 (20)

 

 Тогда полный угол закручивания φ, рад участка стержня будет определяться по формуле:

 

                                                                              (21)

 

Если в пределах участка длиной l усилие M_z и жесткость поперечного сечения GJ_p постоянны, то абсолютный угол закручивания участка стержня φ, рад определяется по формуле:

 

                                                                                  (22)

или в градусах

                                                                      (23)

 

где M _z – крутящий момент, возникающий в поперечном сечении, Н∙м;   

J_p - полярный момент инерции сечения, м⁴;

l – длина участка стержня, м;

G – модуль сдвига при кручении, Па.

 

Для стержня, состоящего из нескольких участков абсолютный угол закручивания φ, рад определяется по формуле:

 

                                         (24)

 

где n – количество участков.

Относительный угол закручивания θ, рад / м участка стержня, на котором усилие M_z и жесткость поперечного сечения GJ_p постоянны, будет определяться по формуле:

 

                                                                          (25)

или в градусах

 

                                   (26)

 

где M _z – крутящий момент, возникающий в поперечном сечении, Н∙м;   

J_p - полярный момент инерции сечения, м⁴;

G – модуль сдвига при кручении, Па.