Основные характеристики затухающих колебаний

 

1. Время релаксации t - промежуток времени, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз:

 =>                         (5.9)

2. Логарифмический декремент затухания представляет логарифм отношений двух соседних амплитуд, т. е.

,        (5.10)

где N – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз.

3. Добротность - величина обратная логарифмическому декременту

                          (5.11)

При малых значениях логарифмического декремента затухания добротность контура определяется выражением:

                                        (5.12)

                                                                                                                      

Описание установки

Электрическая схема установки для исследования затухающих колебаний представлена на рис. 5.3. С помощью вибратора (поляризованного реле) колебательный контур периодически с частотой 50 Гц подключаются к источнику тока с ЭДС E. Во время подключения конденсатора к источнику тока происходит его зарядка, а в промежутках между задающими импульсами – разрядка конденсатора в виде затухающих колебаний. Колебания напряжения на конденсаторе наблюдаются на экране осциллографа.

Рис. 5.3

Рис. 5.4

Порядок выполнения работы

1. Включите питание лабораторного макета и осциллографа. Отрегулируйте осциллограф так, чтобы на его экране было изображение полного периода задающих импульсов и картина затухающих колебаний была симметрична относительно горизонтальной оси экрана (см. рис. 5.4).

2. Снимите картину затухающих колебаний с экрана осциллографа на кальку.

3. Учитывая период задающих импульсов Т_и=I/50 с, составьте пропорцию  и определите период затухающих колебаний Т_з (здесь N_x и n_x - количество делений экранной сетки осциллографа, соответствующих периодам задающих импульсов и затухающих колебаний) и частоту w.

4. Полагая b<<w и зная емкость конденсатора С=0,5 мкФ, вычислите индуктивность контура L.

5. Определите отношение двух последующих (n=1) или отстоящих на n периодов амплитуд и вычислите логарифмический декремент затухания (), коэффициент затухания b (5.10), добротность контура Q (5.11) и его активное сопротивление R (5.12).

6. Вычислите по формуле (5.8) критическое сопротивление контура.

7. Результаты измерений и расчетов запишите в таблицу.

 

Тз,с	w,с-1	С, мкФ	L, мГн	l	b, с-1	Q	R, Ом	Rк, Ом

Зачётный минимум

● Электрический колебательный контур. Дифференциальное уравнение собственных электромагнитных колебаний и его решение.

● Реальный колебательный контур. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение.

● Время релаксации. Логарифмический декремент. Добротность.

● Апериодический разряд конденсатора. Критическое сопротивление.

 

 

Лабораторная работа № 15

ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ КОЛЕБАНИЙ

           

Цель работы: исследование резонансных кривых тока и напряжения в колебательном контуре, определение добротности контура.

Принадлежности: лабораторный модуль, генератор, мультиметры.

 

Теоретическое введение

 

2

1

Рис. 6.1

C

R

L

~ U

Для осуществления вынужденных электромагнитных колебаний необходимо в реальный колебательный контур (рис. 6.1), содержащий катушку индуктивности L, конденсатор емкости C и активное сопротивление R, включить последовательно с элементами контура переменную ЭДС, или подать переменное  напряжение

U = U_m cosw t. (6.1)

Согласно закону Ома для неоднородного участка цепи 1–R–L–2 (рис. 6.1) получим

IR + (φ₁ – φ₂)=E_S +E(f),                       (6.2)

где φ₁ – φ_{2 =} q/C - разность потенциалов на обкладках конденсатора; E_S = - L(dI/dt) – ЭДС самоиндукции катушки индуктивности, E(f) = U₀cos ωt.

С учетом того, что I =  , и E_S = - L , уравнение (6.2) принимает вид

                 (6.3)

где β = R/2L – коэффициент затухания,  – частота собственных колебаний контура.

Уравнение (6.3) представляет собой стандартное дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний. При установившихся колебаниях дифференциальное уравнение (6.3) имеет решение

                 q = q_m cos(wt - y),                                (6.4)

где        

,                 (6.5)

                         (6.6)

Подстановка значений ω₀² и β дает

,                (6.7)

                      (6.8)

Продифференцировав выражение (6.4) по t, найдем силу тока в контуре при установившихся колебаниях

         (6.9)

Запишем это выражение в виде

,                          (6.10)

где φ=ψ-π/2 – есть сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением. Амплитуду силы тока и начальную фазу найдем из формул (6.7) и (6.8)

(6.12)

             (6.11)

 

.             

Разделив выражение (6.4) на емкость, получим напряжение на конденсаторе

,           (13)

     (6.13)

где

.                     (6.14)

 

Умножив производную функции (6.10) на L, получим напряжение на индуктивности:

,  (6.15)

где             

                             (6.16)

Сопоставление формул (6.10), (6.13) и (6.15) показывает, что напряжение на емкости отстает по фазе от силы тока на π/2, а напряжение на индуктивности опережает ток на π/2.Напряжение на активном сопротивлении изменяется в фазе с током. Фазовые соотношения можно представить очень наглядно с помощью векторной диаграммы (рис. 6.2).

Резонансная частота для заряда и напряжения на конденсаторе равна

.          (6.17)

 

Рис. 6.2

U

m

Um

U

C

U

LI

w

C

I

m

w

L

U

I

ø

ö

è

æ

R

R

I

C

L

w

-

w

1

m

m

÷

ç

 

 

2

Резонансные кривые для U_с изображены на рис. 6.3. При ω→ 0 резонансные кривые сходятся в одной точке с ординатой U_Cm= U_m – напряжению, возникающему на конденсаторе при подключении его к источнику постоянного напряжения U_m.

Максимум при резонансе получается тем выше и острее, чем меньше β= R/2L.

Резонансные кривые для силы тока изображены на рис. 6.4.

Амплитуда силы тока имеет максимальное значение при =0. Следовательно, резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура                              

                                (6.18)

 

 

 

 

Рис. 6.4

 

При ω → 0, I_m = 0, так как при постоянном напряжении установившийся ток в цепи с конденсатором течь не может.

4

Резонансные свойства контура характеризует добротность Q, которая показывает, во сколько раз напряжение на конденсаторе может превышать амплитудное значение приложенного напряжения, т.е.

                           (6.19)

При малых затуханиях ω_рез ≈ ω₀ и

                                             (6.20)

Таким образом, добротность обратно пропорциональна активному сопротивлению контура и определяет остроту резонансных кривых. На рис. 6.5 изображена одна из резонансных кривых для силы тока в контуре. Частоты ω₁ и ω₂ соответствуют току I = I_max/ .

 

 

Рис. 6.5

 

Относительная ширина резонансной кривой равна величине обратной добротности контура, т. е.

                            (6.21)

5

Явление резонанса используют для выделения из сложного напряжения, равного сумме нескольких синусоидальных напряжений, нужной составляющей.

Пусть напряжение, приложенное к контуру, равно

U = U_{m 1}cos(w₁t + j₁) + U_{m 2}cos(w₂t + j₂) +…+ U_mi cos(w_it + j_i) +…+ U_mn cos(w _n t + j _n).

Настроив контур (посредством изменения R и C) на требуемую частоту w_i, можно получить на конденсаторе напряжение в Q раз превышающее значение данной составляющей, в то время как напряжение, создаваемое на конденсаторе другими составляющими, будет малым. Таким образом осуществляется, например, настройка радиоприёмника на нужную длину волны