Элементарная теория дисперсии света.

Максвелл показал, что свет представляет собой электромагнитную волну. Фазовые скорости распространения такой волны в веществе V и в вакууме C различны. Соотношение между ними в соответствии с теорией Максвелла определяется значениями диэлектрической ε  и магнитной μ  проницаемостей вещества:

C / V =

 

 

Для немагнитных сред можно принять μ = 1. Тогда имеем:

C / V =

Таким образом, фазовая скорость света в веществе в  раз меньше, чем в вакууме. Учитывая (1), получим:

n =                                                 (2)

или

n ² = ε                                                            (3)

 

На первый взгляд кажется, что формулы (2) и (3) противоречат опыту. Так, для воды в постоянном электрическом поле и в переменных полях малой частоты ε = 81. Тогда, согласно (3), n = 9. Однако из опыта известно, что для видимой области n =1,33. Данное “расхождение” связано с тем, что совершенно необоснованно проигнорировано явление дисперсии. Действительно, в постоянном электрическом поле и в переменных электрических полях малой частоты происходит сильная ориентационная поляризация полярных молекул, что и обуславливает высокое значение ε.

Однако в переменных электрических полях высокой частоты, к каким относится и поле световой волны, полярные молекулы уже не успевают ориентироваться и ориентационная поляризация не происходит. Это приводит к сильному уменьшению как ε, так и n.

Из курса "Электричество" известно, что

 

ε = 1 + æ,                                           (4)

 

где æ - диэлектрическая восприимчивость, определяющая способность среды к поляризации, то есть к образованию электрических диполей под действием внешнего электрического поля.

Для диэлектриков в первом приближении явление поляризации в электрическом поле высокой частоты можно рассматривать как смещение электронов под действием этого поля на некоторое расстояние x относительно положения равновесия в направлении против поля. Ядра атомов при этом можно считать неподвижными, поскольку их масса значительно больше массы электрона. Количественной характеристикой эффекта является поляризованность Р, которая пропорциональна напряжённости электрического поля E:

Ρ = æ · ε ₀ · E,                                                   (5)

 

где ε ₀ – электрическая постоянная. Равенство (3), с учетом (4), принимает вид:

n ² = 1 + æ.

 

Выразив из (5) величину æ и подставив ее в последнее равенство, имеем:

 

n ² = 1 +                                        (6)

 

Из последнего выражения следует, что экспериментально наблюдаемые различия в значениях показателей преломления для разных веществ и длин волн
могут обуславливаться особенностями в поляризации атомов при взаимодействии с электромагнитной волной.

Движение электронов в атоме описывается законами квантовой механики. Однако еще до ее создания Г.Лоренц показал, что для качественного объяснения дисперсии и многих других оптических явлений достаточно ограничится гипотезой о существовании внутри атомов электронов, связанных с атомами квазиупругими силами. Эти силы можно представить в виде:

F = - k·x,
    где x - смещение электрона от положения равновесия;

   k – коэффициент пропорциональности.

Если электрон вывести из положения равновесия то, под действием квазиупругой силы он будет совершать гармонические колебания с частотой ω ₀, называемой собственной частотой атомного электрона. Из курса механики известно, что ω ₀ = ,

    где m - масса электрона.

При прохождении электромагнитной волны через вещество каждый электрон оказывается под действием переменного электрического и магнитного полей. Расчёт показывает, что электрическая сила, действующая на электрон, значительно больше магнитной, так что магнитное поле электромагнитной волны практически не влияет на движение электрона. Напряжённость E электрического поля в электромагнитной волне изменяется по закону:

 

Е = E ₀ cosω t,                                              (7)

 

где Е₀ - амплитуда напряжённости электрического поля;

ω = 2 πν - циклическая частота колебаний напряжённости (циклическая частота световой волны);

ν – частота световой волны.

Поэтому при прохождении через вещество электромагнитной волны на каждый электрон действует также сила

F ₁ = - e • E = - e • Е₀ • с osω t

Под действием данной силы электрон совершает вынужденные колебания. В первом приближении можно считать, что вынужденные колебания совершают только внешние, наиболее слабо связанные с ядром электроны – оптические электроны. Для простоты рассмотрим колебания только одного оптического электрона. Пренебрежем для упрощения затуханием колебаний электрона. Затухание происходит по двум причинам. Во-первых, при ускоренном движении электрона излучаются электромагнитные волны. Во-вторых, имеет место

 

диссипация энергии электромагнитного поля, т.е. превращение ее в другие формы (в теплоту) в результате взаимодействия с другими атомами и соударений. Пренебрегая затуханием, на основании второго закона Ньютона имеем:

 

m d ² x / dt ² = F + F ₁ = - kx - е• Е₀ с os ω t

Разделивна m и учитывая, что K / m = ω ₀ ², получим:

 

d ² x / dt²  + ω ₀ ² x = -   E ₀ • cos ω t                                  (8)

 

Уравнение (8) описывает вынужденные колебания электрона под действием переменного электрического поля световой волны. Решение этого уравнения имеет вид:

x (t) =  –

Из последнего равенства видно, что вынужденные колебания электронов происходят с частотой ω, равной частоте колебаний напряженности электрического поля световой волны. Величина

A(ω) =

имеет размерность длины и представляет собой амплитуду вынужденных колебаний, которая зависит от ω. Как будет видно из последующего рассмотрения, именно зависимость амплитуды вынужденных колебаний от ω и является причиной дисперсии.

Для одного aтома величина электрического дипольного момента, индуцируемого в результате вынужденных колебаний, составляет:

а дипольный момент, индуцируемый в единице объёма вещества, содержащей N атомов, будет равен

                               (9)

 

Выражение (9) представляет собой поляризованность вещества. Подставляя выражения (9) и (7) в (6), получаем:

 

                              (10)

Из (10) видно, что показатель преломления n зависит от ω. Согласно (10), при частотах электромагнитной волны ω ›› ω₀ (далёких от резонансной) n ² ≈1. Зависимость n ² от ω, соответствующая уравнению (10), показана на рис.3 пунктирными кривыми.

 При стремлении ω к ω₀ слеваимеем что n² → ∞, а при ω→ω₀ справа n ² → - ∞.  Таким образом, n ², как функция ω, терпит разрыв при частоте, равной собственной частоте колебаний электрона (рис. 4). Подобное поведение функции (10) обусловлено тем, что в уравнении (7) мы пренебрегли членом, учитывающим затухание колебаний электрона. В результате при совпадении ω с ω₀ (т.е. при резонансе) амплитуда колебаний возрастает безгранично. При учете затухания колебаний электрона амплитуда его вынужденных колебаний при резонансе возрастает до конечного значения, а зависимость n ² от ω в области частот, близких к резонансной, становится более плавной и разрыв вообще отсутствует (рис.5).

 

 

Рис.3. Зависимость n ² от ω для случая трех резонансных частот.

 

 

Учитывая, что   ω=2πC / λ и  ,

находим, что на участках АВ и CD (рис.5),где dn / dλ < 0, имеет место нормальный закон дисперсии, а участок ВС, где dn / dλ > 0, относится к области аномальной дисперсии.

Рис.4. Зависимость n 2 от ω без учёта затухания колебаний электрона	Рис.5. Зависимость n 2 от ω с учётом – затухания колебания электрона

Как отмечалось, при совпадении ω с ω₀ (т.е. при резонансе) резко возрастает амплитуда колебаний электрона. Интенсивно колеблющийся электрон вызывает усиление колебаний атома, что приводит к нагреванию вещества. Это является дополнительной причиной затухания колебаний электрона. Таким образом, в области резонанса имеет место явление сильного поглощения, т.е. переход энергии световой волны во внутреннюю энергию вещества. Такое поглощение называется резонансным.

Электроны, входящие в состав атома или молекулы, имеют не одну, а несколько собственных (резонансных) частот колебаний (ω₀₁,ω₀₂, …). Учитывая это, зависимость n ² от ω изменяется. На рис.3 представлена данная зависимость для случая трех резонансных частот. Из рис.3 и 5, следует, что вдали от резонансных частот наблюдается нормальный закон дисперсии, а вблизи этих частот имеет место аномальная дисперсия. Формула (10) с учетом наличия нескольких резонансных частот преобразуется к виду:

                                (11)

Сказанное выше относится к электронам внешних оболочек атомов (оптическим электронам). Именно они взаимодействуют с излучением оптического диапазона. Электроны внутренних оболочек имеют очень высокие собственные частоты, и поле световой волны на них практически не влияет. Данные электроны эффективно взаимодействуют с ультрафиолетовым или рентгеновским излучением.

Из рис. 3 видно, что в некоторых областях спектра n <1, или v > c. Это обстоятельство не противоречит специальной теории относительности, основывающейся на утверждении, что скорость передачи сигнала не может превзойти с. Передача сигнала связана с распространением энергии в пространстве. Скорость распространения световой энергии, так называемая групповая скорость u,отличается от фазовой, характеризующей скорость перемещения поверхности постоянной фазы. Соответствующие расчеты показывают, что групповая скорость оказывается меньше с в области нормальной дисперсии. В области аномальной дисперсии понятие групповой скорости теряет смысл, однако, и в данном случае скорость передачи энергии меньше с.

 

МЕТОДИКА ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ