Первые упоминания в книгах о прогрессиях

Паспорт проекта

Тема проекта	Арифметическая прогрессия: абстрактное понятие или практическая жизнь.
Возрастная категория учащихся	14-15 лет
Руководитель	Мохова Ирина Владимировна, Климова Ольга Борисовна, Матвиенко Елена Валентиновна
Основополагающий вопрос	Как возникло понятие арифметическая прогрессия? Возможно ли применение теоретических знаний в практической жизни?
Проблемные вопросы	Действительно ли арифметическая прогрессия была известна с исторических времен?  Имеет ли значение на сегодняшний день применение арифметическая прогрессия?
Цель проекта	Показать важность знаний по теме арифметическая прогрессия в жизни человека на примерах экзаменационных материалов.
Задачи проекта	Узнать историю о прогрессии. Выяснить основные понятия. Проанализировать теоретический материал. Составить мини-справочник.
Гипотеза решения проблемы	Если понятие «прогрессия» возникло и развивалось исторически, то существуют документы, подтверждающие это. Если научится решать задачи, то можно и практическое пособие составить по решению задач и экзамен хорошо сдать.
Группы для реализации проекта	Возрастная категория, кто задействован в сдаче итоговой аттестации.
План работы	Изучить информацию о арифметической прогрессии. Изучить учебную литературу. Научится решать задачи ОГЭ из каталога заданий. Создать учебное пособие для решения задач
Источники информации	В разделе Список используемой литературы
Продукт (продукты) проекта (прилагается)	Мини-справочник, подборка задач по математике.
Форма защиты проекта	Устная, мультимедийная презентация.

Содержание

Введение………………………………………………………………………………...3

Глава 1. Теоретическая часть

1.1 Путешествие в глубину веков ……………………………………………………..3

1.2  Первые упоминания в книгах о прогрессиях ………………………………….....4

1.3 Прогрессии в первом учебнике математики России ……………………………..6

1.4 Задачи на прогрессии в занимательных книгах по математике …………………6

Глава2 Практическая часть

2.1 Назначение лекарственных препаратов ……………………………………………7

2.2. В спорте ……………………………………………………………………………...8

2.3. Историческая задача ………………………………………………………………..9

2.4. Задачи с экономическим содержанием ……………………………………………9

2.5. Задача с физическим содержанием ……………………………………………….11

2.6. Мини справочник, подборка задач для решения и подготовки ОГЭ …………...12

 

Глава 3 Связь арифметической прогрессии со школьными предметами

3.1. Прогрессия в литературе…………………………………………………………15.

3.2. Прогрессия в музыке……………………………………………………………..16

 

Выводы……………………………………………………………………………………16

Информационные ресурсы ……………………………………………………………...17

 

 

Введение

Наука математика древняя и возникла из практических нужд человека. Она развивалась, совершенствовалась, стали появляться абстрактные понятия. Интересно то, что при изучении математики до 9 класса, теоретического материала по арифметической прогрессии, не было. А экзаменационный материал по ОГЭ включает задания данного типа. Встает вопрос: понятие «прогрессия» является абстрактнымили возникло и развивалось в практической деятельности человека?

Глава 1.Теоретическая часть

Путешествие в глубину веков

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперед») и был введен римским автором Боэцием (VI в.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в первоначально широком смысле не употребляется. Два важных частных вида прогрессий – арифметическая и геометрическая – сохранили свои названия. Сами названия «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций, изучением которых занимались древние греки.

Прогрессия - последовательность чисел, получаемых по некоторому правилу. Термин ныне во многом устарел и встречается только в сочетаниях «арифметическая прогрессия» и «геометрическая прогрессия».

Сами по себе прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл.

Натуральный ряд 1, 2, 3, …, n,… есть арифметическая прогрессия с первым членом, равным 1, и разностью тоже равной 1. Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, также как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другими. В развитие теории о прогрессиях внесли ученые Архимед, Пифагор и его ученики, французские математики Леонард Фибоначчи и Баше де Мезириака, немецкие математики М. Штифель, Н.Шюке и К. Гаусс.

 

 

Глава2 Практическая часть

В спорте

Задача: В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?

        Решение: Система штрафных очков составляет арифметическую прогрессию (а ), первый член которой равен 1, а разность – 0,5. Сумма первых n членов (количество промахов) равно 7. Найдем число промахов - n.

 

(1,5+0,5n)∙n =14

_D=9+112=121

 – не подходит по смыслу

Ответ: допущено 4 промаха.

Задача: Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходи ли на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000 м?

Решение:

(a )- арифметическая прогрессия.

a₁=1400; d= -100, S_n=5000.

 Надо найти n.

10000= (2800-100 n+100) n;

100 n²-2900 n+10000=0;  

n²-29 n+100=0;

n=25, n=4.                                     

n=4 (при n=25 а_n=-1000, чего быть не может)

Значит, альпинисты покорили высоту за 4 дня.

Ответ: за 4 дня.

 

 

2.3. Историческая задача ( старинная еврейская задача)

На 10 братьев приходится  мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимется не знаю. Доля восьмого - 6 шекелей. Брат над братом на сколько выше?

Решение: Необходимо знать, что 1 мина = 60 шекелям.

Здесь требуется по сумме первых 10 членов арифметической прогрессии, равной 100 шекелям и известному 8-му члену, определить разность арифметической прогрессии.

a =a +7d  a =6-7d

Ответ: d= -1,6.

2.4. Задачи с экономическим содержанием

Это стоит знать:

В основе капитализации процентов лежит начисление процента на процент. То есть с определенной периодичностью проценты присоединяются к сумме вклада и в дальнейшем они начисляются уже на увеличенную суму депозита. Еще такую схему начисления называют сложным процентом.

Задача №1: Через три года в банке оказалось 880 руб., положенных под 40% (простые) годовых. Каков первоначальный вклад?

Решение: (a )- арифметическая прогрессия, где a = 880, а разность арифметической прогрессии равна 0,4a .

a a d = a +0,4a ·3= 2,2a = 880; a =

Ответ: первоначальный вклад равен 400 рублей.

 

Задача №2: 750 руб. положили в банк и через 4 года получили сумму вдвое больше. Под сколько процентов (простых) положили деньги?

Решение: (a )- арифметическая прогрессия, где a = 750, а a =1500.

a  = a  + 4d, d = 187,5 рублей составляет ежегодный прирост на вклад.

750 руб -100%

187,5руб – х%

х=

Ответ: вклад в банке под 25% годовых.

Задача №3: Первоначальная цена товара на торгах повышалась несколько раз на одно и то же количество рублей. После третьего повышения цена равнялась 1200 р., а после двенадцатого повышения - 1650 р. Через сколько повышений первоначальная цена удвоилась?

Решение: (b )- арифметическая прогрессия, b =1200; b =1650;

Так как цена товара увеличилась в два раза, то она стала равна 2100 рублей.

b = 2b ; 2100 = 1050+50(n-1)

            50(n-1) = 1050

n-1 = 21

n = 20

Ответ: через 20 повышений.

 

Задача №4: В течение календарного года на автомобильном заводе «Фиат» зарплата каждый месяц повышалась на одно и тоже число долларов. За июнь, июль, август зарплата в сумме составила 9900 долларов, а за сентябрь, октябрь и ноябрь – 10350 долларов. Найдите сумму зарплат одного работника за весь год.

Решение: (b )-арифметическая прогрессия, , а

Из этих двух равенств получаем систему уравнений и решаем ее:

Теперь найдем суммарную зарплату работника «ФИАТА» за год:

S

Ответ: за год доход работника составил 39300 $.

2.5. Задача с физическим содержанием

Задача: Тело в первую секунду движения прошло 7 м, а за каждую следующую секунду – на 3 м больше, чем за предыдущую. Какое расстояние тело прошло за восьмую секунду?

Решение:  (b )-арифметическая прогрессия, в которой b =7, d=3. Найти необходимо b .

 

Ответ: за 8 секунду тело пролетит 28 метров.

2.6. Минисправочник, подборка задач для решения и подготовки ОГЭ (приложения)

Определение

Арифметической прогрессией - называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии.

Если разность арифметической прогрессии - положительное число, то такая прогрессия является возрастающей; если отрицательное число, то убывающей. Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все ее члены равны между собой и прогрессия является постоянной последовательностью.

Свойства арифметической прогрессии

Формула n-го числа арифметической прогрессии имеет вид:

Последовательность (а_n) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов, т.е.

Сумма членов, равноудаленных от концов прогрессии, есть величина постоянная

Сумма

Сумма первых n членов арифметической прогрессии (а_n) обозначается S_n, т.е.

Формулы нахождения суммы

 

 

Руслану надо решить 420 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Руслан решил 13 задач. Определите, сколько задач Руслан решил в последний день, если со всеми задачами он справился за 12 дней.

Найти надо количество задач, решенных в последний день – то есть 12 член прогрессии.

– в формуле n-ного члена нам неизвестна разность этой прогрессии. Поэтому воспользуемся суммой:

Находим 12 член прогрессии:

Ответ: 57

5. Улит­ка пол­зет от од­но­го де­ре­ва до дру­го­го. Каж­дый день она про­пол­за­ет на одно и то же рас­сто­я­ние боль­ше, чем в преды­ду­щий день. Из­вест­но, что за пер­вый и по­след­ний дни улит­ка про­полз­ла в общей слож­но­сти 10 мет­ров. Опре­де­ли­те, сколь­ко дней улит­ка по­тра­ти­ла на весь путь, если рас­сто­я­ние между де­ре­вья­ми равно 150 мет­рам.

Сумма прогрессии равна 150. Сумма первого и последнего членов – 10. Зная это, можем найти, какое количество дней улитка затратила на свой путь (количество членов прогрессии):

Откуда

Ответ: 30

 

Прогрессия в музыке.

В музыке прогрессией называется постепенное повторение мотива в один или два такта в восходящем или нисходящем порядке. При таком повторении мотива выбирается интервал, на который мотив должен постоянно перестанавливаться в восходящем или нисходящем направлении. Прогрессия бывает точная или неточная. В точной, мотив повторяется на другой ступени буквально, т. е. с сохранением не только названий всех своих интервалов, но и их точной величины. В неточной прогрессии допускаются отступления от точной величины интервалов мотива, и интервала, на которой мотив перестанавливается. Прогрессия в музыке называется секвенцией.

 

Выводы

Понятие «прогрессия» возникло и исторически развивалось из практической деятельности человека, это подтверждают задачи на прогрессии, дошедшие до нас из глубины веков.

Прогрессии известны так давно, что нельзя точно определить, кто их открыл.

Много задач на арифметическую и геометрическую прогрессию в старых учебниках по математике, в занимательных книгах по математике.

Данные знания применимы в жизненных ситуациях, доказательством чего является изменение в заданиях №14 ОГЭ (новая версия 2021). Решая данные задания, учащиеся имеют возможность успешно сдать итоговою аттестацию.

Как никогда убеждаемся в правоте высказывания «Математика не только царица, но и служанка всех наук».

Поставленная цель проекта -показать важность знаний по теме арифметическая прогрессия в жизни человека на примерах экзаменационных материалов, установить картину возникновения понятия прогрессии; выявление интересных фактов о прогрессиях; применение прогрессий в жизненных ситуациях достигнута, проблема решена.

 

Информационные ресурсы

— Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ С.М. Никольский, М.К. ПотаповМ.:–М.: Просвещение, 2015г;

— Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г.Мордкович. М.:Мнемозина, 2014г.;

— Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Ю.Н. Макарычев и др. под ред. С.А. Теляковского –М.: Просвещение, 2015г;

— Алгебра. 9 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феактистов И.Е.. -М.: Мнеозина, 2015г.;

— Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных.9 кл.: Учебник для общеобразовательных учебных заведений/ Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева; под ред. Г.В. Дорофеева. -М.:Дрофа, 2015г.;

— Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы -М.: Просвещение, 1990г.

— Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П.Савин.- М.: Педагогика, 1989г.

— http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm

— http://students.tspu.ru/students/legostaeva/index.php?page=op

— http://festival.1september.ru/articles/568100/

https://mega-talant.com/biblioteka/prezentaciya-zadacha-14-oge-matematika-2021-104022.html

 

 

Паспорт проекта

Тема проекта	Арифметическая прогрессия: абстрактное понятие или практическая жизнь.
Возрастная категория учащихся	14-15 лет
Руководитель	Мохова Ирина Владимировна, Климова Ольга Борисовна, Матвиенко Елена Валентиновна
Основополагающий вопрос	Как возникло понятие арифметическая прогрессия? Возможно ли применение теоретических знаний в практической жизни?
Проблемные вопросы	Действительно ли арифметическая прогрессия была известна с исторических времен?  Имеет ли значение на сегодняшний день применение арифметическая прогрессия?
Цель проекта	Показать важность знаний по теме арифметическая прогрессия в жизни человека на примерах экзаменационных материалов.
Задачи проекта	Узнать историю о прогрессии. Выяснить основные понятия. Проанализировать теоретический материал. Составить мини-справочник.
Гипотеза решения проблемы	Если понятие «прогрессия» возникло и развивалось исторически, то существуют документы, подтверждающие это. Если научится решать задачи, то можно и практическое пособие составить по решению задач и экзамен хорошо сдать.
Группы для реализации проекта	Возрастная категория, кто задействован в сдаче итоговой аттестации.
План работы	Изучить информацию о арифметической прогрессии. Изучить учебную литературу. Научится решать задачи ОГЭ из каталога заданий. Создать учебное пособие для решения задач
Источники информации	В разделе Список используемой литературы
Продукт (продукты) проекта (прилагается)	Мини-справочник, подборка задач по математике.
Форма защиты проекта	Устная, мультимедийная презентация.

Содержание

Введение………………………………………………………………………………...3

Глава 1. Теоретическая часть

1.1 Путешествие в глубину веков ……………………………………………………..3

1.2  Первые упоминания в книгах о прогрессиях ………………………………….....4

1.3 Прогрессии в первом учебнике математики России ……………………………..6

1.4 Задачи на прогрессии в занимательных книгах по математике …………………6

Глава2 Практическая часть

2.1 Назначение лекарственных препаратов ……………………………………………7

2.2. В спорте ……………………………………………………………………………...8

2.3. Историческая задача ………………………………………………………………..9

2.4. Задачи с экономическим содержанием ……………………………………………9

2.5. Задача с физическим содержанием ……………………………………………….11

2.6. Мини справочник, подборка задач для решения и подготовки ОГЭ …………...12

 

Глава 3 Связь арифметической прогрессии со школьными предметами

3.1. Прогрессия в литературе…………………………………………………………15.

3.2. Прогрессия в музыке……………………………………………………………..16

 

Выводы……………………………………………………………………………………16

Информационные ресурсы ……………………………………………………………...17

 

 

Введение

Наука математика древняя и возникла из практических нужд человека. Она развивалась, совершенствовалась, стали появляться абстрактные понятия. Интересно то, что при изучении математики до 9 класса, теоретического материала по арифметической прогрессии, не было. А экзаменационный материал по ОГЭ включает задания данного типа. Встает вопрос: понятие «прогрессия» является абстрактнымили возникло и развивалось в практической деятельности человека?

Глава 1.Теоретическая часть

Путешествие в глубину веков

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперед») и был введен римским автором Боэцием (VI в.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в первоначально широком смысле не употребляется. Два важных частных вида прогрессий – арифметическая и геометрическая – сохранили свои названия. Сами названия «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций, изучением которых занимались древние греки.

Прогрессия - последовательность чисел, получаемых по некоторому правилу. Термин ныне во многом устарел и встречается только в сочетаниях «арифметическая прогрессия» и «геометрическая прогрессия».

Сами по себе прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл.

Натуральный ряд 1, 2, 3, …, n,… есть арифметическая прогрессия с первым членом, равным 1, и разностью тоже равной 1. Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, также как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другими. В развитие теории о прогрессиях внесли ученые Архимед, Пифагор и его ученики, французские математики Леонард Фибоначчи и Баше де Мезириака, немецкие математики М. Штифель, Н.Шюке и К. Гаусс.

 

 

Первые упоминания в книгах о прогрессиях

· Около ста лет назад, производя раскопки в Египте, обнаружили папирус, который был составлен за 2000 лет до н. э. Этот папирус был списан с другого, еще более древнего, относящегося к третьему тысячелетию до н. э. Ученые, которым доступен язык египетских иероглифов, расшифровали текст папируса и прочли несколько задач. Папирусе Ринда содержит такие задачи:

Задача: 10 мер ячменя разделить между десятью лицами так, чтобы доли этих лиц составляли арифметическую прогрессию, разность которой равна одной восьмой меры ячменя.

· "Книга абака" представляет собой объемный труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший значительную роль в развитии математики в Западной Европе в течении нескольких следующих столетий. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились с индусскими (арабскими) цифрами. Сообщаемый в этой книге материал поясняется на примерах задач, составляющих значительную часть этого трактата.

· Пифагор и последовательности

В трудах АРХИМЕДА (ок. 287-212 гг. до н.э.) излагаются первые сведения о прогрессиях.

Пифагор (IV в. до н. э.) и его ученики рассматривали последовательности, связанные с геометрическими фигурами. Подсчитывая число кружков в треугольниках, квадратах, пятиугольниках, они получали:

 

 - последовательность (а ) треугольных чисел 1, 3, 6, 10, 15,...;

- последовательность (b ) квадратных чисел 1, 4, 9, 16, 25,...;

- последовательность (с ) пятиугольных чисел 1, 5, 12, 22, 35,...

   В древности вычислители часто считали с помощью камешков и, естественно, отмечали случаи, когда камешки можно было сложить в виде правильной фигуры.

 

1, 4, 9, 16, 25,...;

 

                                                                                  1, 3, 6, 10, 15,...;

 

· Величайший немецкий математик, астроном и физик Карл Гаусс (1777-1855) родился в городе Брауншвейг (Германия). Его отец, садовник и фонтанный мастер, славился искусством быстро и легко считать. Эта способность перешла к сыну, говорившему позднее, что он «умел считать раньше, чем говорить». Первый успех пришёл к Гауссу в 9 лет. Школьный учитель велел ученикам найти сумму целых чисел от 1 до 100. Он рассчитывал надолго занять учеников этой задачей. Но Гаусс мгновенно сообразил, как сгруппировать слагаемые, и выдал ответ:

  1+2+3+4+…+98+99+100 = (1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=

                                       =101 · 50 =5050.