Понятие «уравнение». Виды уравнений.

Введение.

В настоящее время сложно представить школьный курс математики без понятия уравнение. Большинство задач сводятся к решению и применению различных видов уравнений. При этом уравнения, являются одним из средств моделирования явлений из окружающего нас мира и знакомство с ними, а также они являются существенной частью математического образования.

На практике и в научных задачах, где какую-то величину нельзя непосредственно измерить или вычислить по готовой формуле, удается составить соотношения, которым оно удовлетворяет. Из этого следует, что уравнение служит для определения неизвестной величины. Уравнения, являются важнейшей неотъемлемой частью науки и учебного предмета математики. В начальном курсе математики учитель старается знакомить младших школьников с данным понятием наглядно, путём созерцания конкретных примеров или практического оперирования ими, опираясь при этом на жизненный опыт учащихся.

В ходе рассмотрения понятия уравнения необходимо использовать следующие термины «уравнение», «корень уравнения», «что значит решить уравнение». При этом наряду с компонентами понятия уравнения, входящими в текст определения, надо включать и все другие его компоненты по мере развертывания материала данной линии.Таким образом, раскрыв сущность понятия «уравнение» в школьном курсе математики можно сказать о том, что под уравнением в математике понимается, вид равенства с неизвестной величиной, которая чаще всего обозначается латинской буквой. При этом числовое значение данной буквы, позволяющее получить верное равенство, называется корнем уравнения. В начальном курсе математики учитель старается знакомить младших школьников с данным понятием наглядно, путём созерцания конкретных примеров или практического оперирования ими, опираясь при этом на жизненный опыт учащихся.

Понятие «уравнение». Виды уравнений.

С начала 1 класса учащихся знакомят с понятиями: числовое выражение, равенство и неравенство.

Числовым выражением называют запись, состоящую из чисел, знаков действий и скобок. Например, 2+(6+4).

Числовым равенством называют запись, состоящую из чисел, знаков действий и знака равно (или: два выражения, соединенные знаком равно называют равенством). Например, 2+5=3+4.

Два выражения, соединенные знаками «больше» или «меньше» называют числовым неравенством. Например, 7+5<15.

Число, получаемое в результате выполнения всех действий в числовом выражении, называют значением числового выражения.

Если числовое значение найти нельзя, то говорят, что числовое выражение не имеет смысла. Например, 18: (12-12).

 

 

 

Формирование у учащихся понятия «уравнение» и «решение уравнения».

 

Подготовительный этап.

 

Начинается в первом классе. Учащиеся переходят к действиям над числами и выполняют задания, связанные с нахождением неизвестного числа в «окошке», например:

1) Среди чисел, записанных справа, подчеркните то число, при подстановке которого в окошко, получится верное равенство.

3+ □ =9 4, 5, 6, 7

□ - 2 = 4 1, 2, 3, 4, 5, 6

 

 

 

Н.Б. Истомина, 4к. 1ч.

Важно на этом этапе закрепить у учащихся умение узнавать уравнение среди математических выражений:

И.И. Аргинская, 2к. 1ч.

      Н.Б. Истомина, 4 к.1ч.                                                       М.И. Моро 2 к. 1ч.

И.И. Аргинская, 2к. 1ч.

М.И. Моро, 2к. 1ч.

М.И.Моро, 3к. 1ч.

По программе И.И. Аргинской и др. учащихся знакомят и с третьим способом решения уравнении, на основе свойств равенств, сначала изучают эти свойства, их 4: «Если к обеим частям верного равенства прибавить (вычесть, умножить, разделить) одно и тоже число, то равенство останется верным»:

И.И. Аргинская, 4к. 2ч.

В основе способа подбора лежит трактовка понятия «уравнения», как равенства, содержащего переменную. При одних значениях переменной уравнение может обращаться в истинное числовое равенство, при других – нет. То значение переменной, при которой уравнение обращается в истинное числовое равенство, называют корнем уравнения или решением уравнения.

 

По программе И.И.Аргинской (система обучения Л.В.Занкова):

• подбор;
• с использованием числового ряда, например: х+3=8
• по таблице сложения;
• с опорой на десятичный состав, например: 20+х=25. Число 20 содержит 2 десятка, 25 – это 2 десятка и 5 единиц, значит х=5 единицам;
• на основе зависимости между компонентами и результатом действий;
• с опорой на основные свойства равенств: 15●(х+2) = 6● (2х+7)

а) воспользуемся правилом умножения числа на сумму: 15х+30=12х+42 (распределительный закон);

б) вычтем из обеих частей равенства 30: 15х=12х+12;

в) вычтем из обеих частей равенства 12х: 3х=12;

г) найдем неизвестный множитель: х=12: 3; х=4.

3 этап: Формирование умения решать задачи с помощью уравнений.

Процесс решения текстовой задачи с помощью уравнений состоит из следующих этапов:

1. Восприятие текста задачи и первичный анализ ее содержания.

2. Поиск решения:

выделение неизвестных чисел;

выбор неизвестного, которое целесообразно обозначить буквой;

переформулировка текста задачи с принятыми обозначениями;

запись полученного текста.

3. Составление уравнения, его решение, проверка, перевод найденного значения переменной на язык текста задачи.

4. Проверка решения задачи любым известным способом.

5. Формулирование ответа на вопрос задачи.

Задача:На двух заводах выплавили за сутки 8430т стали. На первом заводе выплавили в два раза больше стали, чем на втором. Сколько стали выплавили на первом заводе и сколько на втором?

8430т

 

2х т + х т = 8430т

 

х т стали выплавил второй завод, 2х т стали выплавил первый завод, (х+2х)т стали – два завода вместе. По условию известно, что это равно 8430т.

х+2х=8430

3х=8430

х=8430: 3

х=2810

Проверка: 2810+2●2810 = 8430

8430=8430

2810т стали выплавил второй завод, тогда 2810●2=5620т стали выплавил первый завод.

Ответ: 2810т стали выплавил второй завод, 5620т стали выплавил первый завод.

 

И.И. Аргинская, 2к. 1ч.

 

И.И. Аргинская, 4к. 2ч.

Н.Б. Истомина, 4 класс

                                 М.И. Моро, 4к. 1ч.

Виды упражнений, направленных на обучение младших школьников решению уравнений в учебниках математики УМК «Школа России»:

№	Вид упражнения	Пример задания
1	Задания с «окошками» и пропусками чисел	1) 1+2=3 4+2=6 3=□+2 6=□+2 3-2=□ 6-2=□ 2) Какие числа пропущены?     3) Заполни пропуски так, чтобы равенства стали верными. 12+□=20 8+7-□=14 11-□=5 □-6=7
2	Нахождение уравнений среди других математических записей	1) Найди среди следующих записей уравнения, выпиши их и реши. 30+х>40 45-5=40 60+х=90 80-х 38-8<50 х-8=10 2) Найди лишнюю запись: х+3=15 9+в=12 с-3 15-d=7
3	Решение уравнения подбором	1) Из чисел 7, 5, 1, 3 подбери для каждого уравнения такое значение х, при котором получится верное равенство. 9+х=14 7-х=2 х-1=0 х+5=6 х+7=10 5-х=4 10-х=5 х+3=4 2) Прочитай уравнение и подбери такое значение неизвестного, при котором получится верное равенство. k+3 = 13 18=y+10 14=х+7 3) Подбирая значения х, реши уравнения: х•6=12 4•х=12 12:х=3
4	Нахождение неизвестного компонента арифметического действия	1) Слагаемое 10   8   Слагаемое   4   20 Сумма 12 70 15 26 2) Реши уравнения с объяснением: 43+х=90 х-28=70 37-х=50 Закончи выводы: Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо… Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо… Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо…
5	Решение уравнений без указания на способ нахождения неизвестного	1) Реши уравнения: 73-х=70 35+х=40 k-6=24 2) Реши уравнения и сделай проверку: 28+х=39 94-х=60 х-25=75 3) Чему равен х в следующих уравнениях? х+х+х=30 х-18=16-16 43•х=43:х х+20=12+8 4) Реши уравнения с объяснением: 18•х=54 х:16=3 57:х=3 5) Запиши уравнения и реши их: А) Неизвестное число разделили на 8 и получили 120. Б) На какое число нужно разделить 81, чтобы получить 3?
6	Решение уравнений без указания на способ нахождения неизвестного, но с дополнительным условием	1) Выпиши те уравнения, решением которых является число 10. х+8=18 47-у=40 у-8=2 у-3=7 50-х=40 х+3=13 2) Подбери пропущенные числа и реши уравнения: х+□=36 х-15=□ □-х=20 3) Выпиши уравнения, которые решаются вычитанием, и реши их: х-24=46 х+35=60 39+х=59 72-х=40 х-35=60
7	Объяснение уже решенных уравнений, поиск ошибок	1) Объясни решение уравнений и проверку: 76:х=38 х•7=84 х=76:38 х=84:7 х=2 х=12 76:2=38 12•7=84 38=38 84=84 2) Найди уравнения, решенные неправильно и реши их: 768-х=700 х+10=190 х-380=100 х=768-700 х=190+10 х=380-100 х=68 х=200 х=280
8	Сравнение уравнений без вычисления и с вычислением значения неизвестного, сравнение решений уравнений	1) Сравни уравнения каждой пары и скажи, не вычисляя, в котором из них значение х будет больше: х+34=68 96-х=15 х+38=68 96-х=18 2) Сравни уравнения каждой пары и их решения: х•3=120 х+90=160 75•х=75 х:3=120 х-90=160 75+х=75
9	Решение задач алгебраическим способом	1) Реши задачи, составив уравнение: А) Произведение задуманного числа и числа 8 равно разности чисел 11288 и 2920.   Б) Частное чисел 2082 и 6 равно сумме задуманного числа и числа 48. 2) Реши задачу: «В книге 48 страниц. Даша читала книгу в течение трех дней, по 9 страниц ежедневно. Сколько страниц ей осталось прочитать?»

Более позднее ознакомление младших школьников с уравнением и способами его решения (4 класс). Длительный подготовительный период (Н.Б.Истомина). Направленность заданий на развитие основных приемов умственной деятельности (анализ, синтез, сравнение, классификация, обобщение).

При решении задач с помощью уравнений у детей часто возникают сложности. Можно использовать следующие методические приемы, помогающие в их решении:

1)дать готовый образец уравнения и попросить прокомментировать:

М.И. Моро, 4к. 1ч.

2)дополни начатое уравнение;

3)исправь ошибки в рассуждении при составлении и решении уравнения:

М.И. Моро, 3к. 2ч.

М.И. Моро, 4к. 2ч.

Найди уравнения, решенные неправильно и реши их:

768-х=700 х+10=190 х-380=100

х=768-700 х=190+10 х=380-100

х=68 х=200 х=280

 

4)выбери правильное уравнение из нескольких предложенных:

Найти среди математических записей только уравнения. Подчеркнуть их.

19 · 4 96: х = 16 8 · х х: 15 = 6

с · 11 = 5584: 7 = 12 у · 4 > 80 15 · y = 75

52: х = 8 + 5 с + х 25: 5 = 5 · 1

 

 

Вывод:

Обучение навыкам решения уравнений в начальной школе является своевременным и необходимым, так как именно в этом возрасте учащиеся лучше усваивают полученную от преподавателя информацию и с раннего возраста начинают понимать основные принципы и методики решения более сложных задач, заранее подготавливаясь к изучению высших математических дисциплин.В начальных классах в соответствии с программой изучаются простейшие уравнения, то есть уравнения, в которых зависимость между компонентами и результатом действия используется только один раз.Уравнения в начальных классах решаются способом подбора и с ис­пользованием зависимости между компонентами и результатом действия.В рассмотренных программах: М.И. Моро (УМК Школа России), И.И. Аргинская (УМК «Школа 2100»), Н.Б. Истомина (УМК Гармония) особое внимание в начальных классах уделяют решению уравнений, хотя решение уравнений является основным лишь в средней школе. В начальной школе осуществляется первичное ознакомление с уравнениями и способами их решения. Поэтому в учебнике И.Б. Истоминой эта тема вводится в конце 4 класса, а по программе М.И. Моро – во 2 классе ч.1 с.80.Одна точка зрения – познакомить с уравнениями как можно раньше и в процессе их решения осуществлять работу по усвоению детьми правил о взаимосвязи компонентов и результатов действий. (Моро М.И.)

Другая точка зрения – приступать к решению уравнений после того, как учащиеся усвоят необходимую терминологию и те правила, которыми они будут пользоваться для решения уравнений.Н. Б. Истомина разделяет вторую точку зрения. Это обусловлено тем, что для осознания связи между компонентами и результатами действий необходимо опираться на предметную деятельность.В противном случае при решении уравнений мы вынуждены идти через образец и большое количество тренировочных упражнений. Это приводит к тому, что учащиеся, решая уравнения, часто руководствуются не общим способом действий (правилом), а внешними признаками.

На мой взгляд, в учебниках М.И. Моро мало внимания уделено пояснениям, в основном, изучение темы и закрепление материала строятся на практической части. А вот в учебниках И.И. Аргинской и Н.Б. Истоминой достаточно ознакомительного и пояснительного материала. Однако, я считаю, что тема «Уравнения», всё-таки, должна вводится раньше, нежели в программе Н.Б. Истоминой это сделано лишь в конце 4 класса. А в программе И.И. Аргинской решения уравнений рассматриваются в более сложном уровне и превышают стандарт. При рассмотрении этих программ наблюдается индивидуальность в каждой линии, но, на мой взгляд, во всех прослеживается общая линия – дети приступают к решению уравнений только после усвоения необходимых правил, терминологии, и основ, которыми они будут пользоваться для решения уравнений.

 

Введение.

В настоящее время сложно представить школьный курс математики без понятия уравнение. Большинство задач сводятся к решению и применению различных видов уравнений. При этом уравнения, являются одним из средств моделирования явлений из окружающего нас мира и знакомство с ними, а также они являются существенной частью математического образования.

На практике и в научных задачах, где какую-то величину нельзя непосредственно измерить или вычислить по готовой формуле, удается составить соотношения, которым оно удовлетворяет. Из этого следует, что уравнение служит для определения неизвестной величины. Уравнения, являются важнейшей неотъемлемой частью науки и учебного предмета математики. В начальном курсе математики учитель старается знакомить младших школьников с данным понятием наглядно, путём созерцания конкретных примеров или практического оперирования ими, опираясь при этом на жизненный опыт учащихся.

В ходе рассмотрения понятия уравнения необходимо использовать следующие термины «уравнение», «корень уравнения», «что значит решить уравнение». При этом наряду с компонентами понятия уравнения, входящими в текст определения, надо включать и все другие его компоненты по мере развертывания материала данной линии.Таким образом, раскрыв сущность понятия «уравнение» в школьном курсе математики можно сказать о том, что под уравнением в математике понимается, вид равенства с неизвестной величиной, которая чаще всего обозначается латинской буквой. При этом числовое значение данной буквы, позволяющее получить верное равенство, называется корнем уравнения. В начальном курсе математики учитель старается знакомить младших школьников с данным понятием наглядно, путём созерцания конкретных примеров или практического оперирования ими, опираясь при этом на жизненный опыт учащихся.

Понятие «уравнение». Виды уравнений.

С начала 1 класса учащихся знакомят с понятиями: числовое выражение, равенство и неравенство.

Числовым выражением называют запись, состоящую из чисел, знаков действий и скобок. Например, 2+(6+4).

Числовым равенством называют запись, состоящую из чисел, знаков действий и знака равно (или: два выражения, соединенные знаком равно называют равенством). Например, 2+5=3+4.

Два выражения, соединенные знаками «больше» или «меньше» называют числовым неравенством. Например, 7+5<15.

Число, получаемое в результате выполнения всех действий в числовом выражении, называют значением числового выражения.

Если числовое значение найти нельзя, то говорят, что числовое выражение не имеет смысла. Например, 18: (12-12).