Альтернативные оценки масштаба

 

Альтернативные оценки масштаба начнем с двух оценок, известных ещё Гауссу. Это средняя абсолютная погрешность (САП (х)) и абсолютное медианное отклонение (АМО (х)).

Средняя абсолютная погрешность (средняя ошибка) вычисляется по формуле

 

.                                           (47)

 

Этой оценке масштаба отдавал предпочтение Фишер по сравнению с стандартным отклонением σ ещё в 20 годах прошлого века. Теоретически показано, что отношение стандартного отклонения к средней абсолютной погрешности есть

.                       (48)

 

Абсолютное медианное отклонение (вероятная ошибка) вычисляется на основе формулы (35) как

 

,                             (49)

 

о положительных свойствах которой было сказано выше. Эта оценка из-за своей невероятной робастности является основой многих других оценок масштаба.

Теоретическое отношение стандартного отклонения к абсолютному медианному отклонению будет

 

.                       (50)

 

----------------------

*Дополнительно. Из класса R-оценок рассмотрим одну достаточно эффективную и устойчивую оценку, которая называется интерквартильный размах и обозначается IQR. Оценка вычисляется на основе квартили (четверти). Под р-квартилью понимают такое граничное число вариационного ряда, относительно которого вероятность появления значений меньше этой границы равна р. Так как рассматривают четверти, то в качестве границ для р используют 25%, 50% и 75%. Первая четверть называется нижней, или первой квартилью Q ₁, Вторая – средней, или второй квартилью Q ₂, она же медиана,  третья четверть называется верхней, или третьей квартилью Q ₃. Для вычисления квартилей Q_i можно использовать следующую схему:

– из ряда измерений строят вариационный ряд и считают промежуточный коэффициент ;

– номер элемента в вариационном ряде из п элементов, соответствующий нужной квантили вычисляют как

 

                                 (51)

 

Если номер дробный, то проводят линейную интерполяцию. Тогда величина интерквартильного размаха будет

 

IQR = Q ₃ – Q ₁.                                        (52)

 

Теоретическое отношение стандартного отклонения к интерквартильному размаху k ₃   есть

 

.                       (53)

 

*Дополнительно. Из линейных оценок выделяют оценку Даунтона (1966 г.), которая имеет весьма хорошие свойства, устойчива к нарушению основных предположений и очень эффективна. Оценка имеет вид

 

 

.                       (54)

 

Фактически линейная оценка Даунтона – другая форма (с точностью до постоянного множителя) известной ещё Гельмерту в конце 19 века статистики Джини

 ,                  (55)

 

которая имеет такие же свойства что и оценка Даунтона. В формуле d_ij – последовательные разности вперед Джини, вида  всех комбинаций вперед (см. средние Уолша); [x] – целая часть от числа; w_i – подразмахи из вариационного ряда из п величин, т.е. разность последнего и первого, предпоследнего и второго, … (п +1 – i) – i в общем случае для i -того подразмаха.

 

----------------------

По результатам вычислений необходимо сделать выводы.

 

Пример вычислений альтернативных оценок масштаба

 

Схема оптимального вычисления оценок масштаба следующая: вычисляется традиционная оценка в виде стандартного отклонения σ. Далее вычисляем альтернативные оценки в виде средней абсолютной погрешности САП (h),   абсолютное медианное отклонение АМО (х). Интерквартильный размах IQR дополнительно. Через коэффициенты k_i пересчитываем их в стандартное отклонение. Дополнительно вычисляем линейную оценку Даунтона. Сравнивая традиционные и альтернативные величины, делаем вывод о конечном значении оценки сдвига.

Традиционное стандартное отклонение на основе (2) есть σ = 0.004 м.

Среднюю абсолютную погрешность САП (х) вычислим по (47) как

 

 м.                                               

 

Стандартное отклонение через коэффициент k ₁ и САП (х) будет равно 

 

 м.                       

 

Абсолютное медианное отклонение АМО (х) по (49) будет иметь значение

 м. 

                               

Стандартное отклонение через коэффициент k ₂ и АМО (х)  будет 

 

 м.

 

-------------------

* Дополнительно. Перед вычислением интерквартильного размаха   IQR (х) получим 3 квартили: нижнюю Q ₁, среднюю Q ₂ и верхнюю  квартиль Q ₃ используя формулы (51)

 

                                     

 

Эти числа есть номера соответствующих квартилей в вариационном ряду. Так как номера дробные, для вычисления окончательных значений проведем линейную интерполяцию. Нижняя  квартиль Q ₁ имеет номер 5.25, т.е. между 5 (4.595) и 6 (4.597) элементом вариационного ряда со сдвигом на 0.25. Для интерполяции разность между элементами 0.002 умножаем на сдвиг 0.25 и полученную величину прибавляем к меньшему значению

 

Q ₁ = 0.002 ∙ 0.25 + 4.595 = 4.595₅ м.

 

Средняя  квартиль Q ₂  с номером 10.5 есть ранее вычисленная медиана, равная 4.600 м.

Верхняя  квартиль Q ₃ имеет номер 15.75, т.е. между 15 (4.601) и 16 (4.601) элементом вариационного ряда со сдвигом на 0.75. Так значения одинаковы,  интерполяция не требуется и   Q ₃  = 4.601 м.

Теперь величина интерквартильного размаха будет

 

IQR (x) = Q ₃ – Q ₁ = 4.601 – 4.5955 = 0.005₅ м.                                      

 

Стандартное отклонение через коэффициент k ₃ и IQR (х)  будет 

 

 м.

 

------------------------

* Дополнительно. Из линейных оценок выделяют L -оценку Даунтона (1966 г.), которая имеет весьма хорошие свойства, устойчива к нарушению основных предположений и очень эффективна. Для её построения также используется вариационный ряд. На основе (54) значение оценки будет 

 

 

м.                         

 

* Дополнительно. Вычислим другую форму оценки Даунтона, которая называется оценкой (статистикой) в последовательных разностях Джини. Для этого вычисляют последовательные разности вперед d_ij между i и j измерением в нормальном ряде (по аналогии со средними Уолша).  Имея сумму абсолютных значений этих разностей [| d_ij |] = 0.866 (см. оценку Даунтона), на основе (55) получим  величину оценки Джини

 

 м.                      

 

которая отличается от оценки Даунтона только коэффициентом 1.7724.  

 

-------------------------

Выводы: По результатам вычислений можно сделать следующие выводы: традиционная оценка сдвига в виде стандартного отклонения σ = 0.004 м, с тандартное отклонение через среднюю абсолютную погрешность равно  м, стандартное отклонение через абсолютное медианное отклонение   будет  м,   стандартное отклонение через интерквартильный размах есть  м, а L -оценка Даунтона  м. Таким образом, все вычисленные характеристики не отличаются друг от друга на величину, большую чем погрешность вычисления стандартного отклонения и в качестве окончательной оценки масштаба можно принять стандартного отклонения σ = 0.004 м.

 

 

 

 

*4. Исследовательская работа (Дополнительно)

 

Исследовательская работа подразумевает следующие направления:

– внести искажения в хорошие нормально распределенные измерения;

– произвести расчеты по рассмотренным формулам, или другим, из дополнительной литературы;

– провести анализ и дать рекомендации по использованию тех или иных формул в зависимости от вида и степени искажения результатов измерений.

В качестве искажений можно использовать:

– 1 или несколько грубых (в 5-10 σ), с одной стороны, или симметрично в результатах измерений;

– систематическое влияние в виде тренда среднего;

– линейную, или другую неравноточность в результатах измерений;

– различные комбинации перечисленных выше вариантов.

Результаты попытаться обосновать теоретически.

Если студент считает, что полученные им результаты значимы, он может сделать доклад на студенческой научной конференции.