Классическая обработка результатов многократного измерения одной величины

 

Здесь, как сказано выше, подразумевается, что закон распределения результатов измерений нормальный и нет значимого влияния ни грубых, ни систематических погрешностей. В данной ситуации можно выделить следующие задачи:

– задача оценивания, или обработка одной многократно измеренной величины в равноточном, или неравноточном случае с получением всех точечных и интервальных оценок основных характеристик результатов измерений;

– задача эталонирования, т.е. задача, когда при достаточно хорошо известном эталонном (псевдоистинном) значении измеряемой величины оценить точность измерительного прибора и выявить мешающие параметры. 

 

Обработка результатов многократно измеренной равноточной

Величины

 

    Произведен ряд равноточных измерений одной величины. Исходя из классических предпосылок о соответствии погрешностей измерений нормальному закону распределения и отсутствии значимых систематических и грубых влияний наилучшей оценкой для математического ожидания, будет обычное среднее арифметическое (простая арифметическая середина)

 

.                                              (1)

 

Оценка меры рассеивания (стандарта), в данной ситуации будет в виде стандартного отклонения σ (старое название средняя квадратическая погрешность) на основе формулы Бесселя, или погрешность одного измерения

 

.                                 (2)

 

Не сложно доказать, что отклонения от среднего арифметического v_i обладают следующими свойствами:

 

.                                   (3)

 

Первое свойство (3) является контролем вычисления (1) и (2). Второе свойство говорит, что при принятых условиях оценка качества (2) является эффективной, т.е. имеет минимальную дисперсию.   

Используя формулу погрешности функции, представленной видом (1), получим стандартное отклонение среднего арифметического (среднюю квадратическую погрешность среднего арифметического) из n измерений

 

.                                                    (4)

 

Обычно, для выявления степени надежности оценок, ищут оценки оценок. Считается, что если оценка оценки не одного порядка с оцениваемой величиной, а хотя бы раза в 2 меньше, то она заслуживает доверия. Стандартное отклонение(2) при достаточно большом n,приближенно, но достаточно надежно, характеризуется стандартным отклонениемвида

 

,                                        (5)

 

а стандартное отклонениепогрешности среднего арифметического(4) как

 

.                                         (6)

 

Результаты необходимо представить в виде

 

.                      (7)

 

Оценки такого рода называют точечными. Для более детальной и достоверной обработки результатов многократно измеренной величины (особенно при малом п) в обязательном порядке ищутся интервальные оценки для истинных значений основных характеристик, оцененных по формулам (1), (2) и (4). Для них интервальные оценки имеют вид

 

                          (8)

 

Здесь t_p – квантиль t-распределения Стьюдента для доверительной вероятности p (или уровнязначимости α), с n – 1 степенью свободы; коэффициенты g с n – 1 степенью свободы при доверительной вероятности p находят на основе квантилей распределения c ², и в силу его несимметричности, получаемых по вычисленным вероятностям  для , а для  соответственно = , как

.                                (9)

 

Третья формула из (7) получена из второй простым делением левой и правой части на . Доверительные вероятности для практических целей целесообразно принимать от 90 до 95%.

Квантили соответствующих распределений рекомендуется получить с использованием  математического пакета Matlab (см. примеры ниже).

 

 

Порядок обработки

Исходные данные для обработки получаем следующим образом:

В программе Matlab следует набрать следующие строки

 

randn(‘ state’, sum(ГП*10* clock)); h = n + randn(20,1)*0.0ГП/Г;

rand(‘state’, sum(ГП *10*clock));  N = fix(rand(20,1)*ГП /Г)

Здесь n – номер студента по списку, ГП – группа/подгруппа одним числом, Г – номер группы. Например, для студента 3 группы 2 подгруппы и 12 по списку имеем

 

randn(‘state’, sum(320*clock)); h = 12 +randn(20,1)*0.032/3

rand(‘state’, sum(320*clock)); N = fix(rand(20,1)*32/3)

получив, таким образом,20 измерений h_i одного превышения и число станций N_i при измерении i -того превышения в виде вектора N из 20 целых величин. Процедура генерации в отчет не включается.

 

Саму обработку результатов проводят в следующем порядке:

1. Получить оценку математического ожидания (оценку среднего вероятного из результатов, или оценку сдвига) в виде среднего арифметического;

    2. Вычислить оценку стандарта в виде стандартного отклонения (средней квадратической погрешности) по Бесселю (погрешность одного измерения);

3. Получить погрешность среднего арифметического;

4. Вычислить погрешность средней квадратической погрешности по Бесселю;

5. Получить интервальную оценку среднего арифметического с доверительной вероятностью 95%;

6. Получить интервальную оценку стандартного отклонения по Бесселю с доверительной вероятностью 95%;

 

Пример обработки равноточных измерений

 

Обработать ряд измерений из 20 превышений.

В первую очередь генерируем в качестве исходных для обработки данных 20 значений измеренного превышения h_i которые следует округлить до 3 знаков, так как подразумевается геометрическое нивелирование и точность измерений, таким образом, до мм, а также число станций на секцию п _i (см. таблицу 1).

 

№	h.	Ni
1	4.595	10
2	4.601	8
3	4.602	8
4	4.592	10
5	4.597	6
6	4.601	8
7	4.600	8
8	4.601	4
9	4.602	3
10	4.604	4
11	4.599	7
12	4.600	9
13	4.597	9
14	4.593	7
15	4.598	3
16	4.592	9
17	4.601	7
18	4.595	10
19	4.601	8
20	4.607	8

 

Таблица 1. Исходные данные: превышения и число станций

 

Априорно считается, что все условия Гаусса-Маркова и центральной предельной теоремы Ляпунова соблюдены, т.е., постоянство математического ожидания и дисперсии, некоррелированность, отсутствие грубых измерений, значимого систематического влияния и нормальное распределение результатов измерений обеспечены в необходимой степени.

 

Последовательность обработки по пунктам следующая:

 

1. Краткое описание теоретических положений (можно по ходу вычислений).

2. Пользуясь данными таблицы, вычисляем оценку математического ожидания (сдвига, центра) в виде среднего арифметического (СА):

 

,

 

где четвертая индексная цифра в результате – запасная, которая необходима при представлении промежуточных вычислений.

 

2. Вычисляем оценку стандарта в виде стандартного отклонения (СКП)

 

где .

 

3. Находим оценку точности получения среднего арифметического, оценку оценки среднего арифметического и оценку точности стандартного отклонения

 

Так как оценка оценки среднего арифметического и стандартного отклонения величины не одного порядка, то значение оценок среднего арифметического и стандартного отклонения  вычислены по достаточному количеству элементов и заслуживает доверия. Окончательные результаты запишем как

 

 

4. Находим значения интервальных оценок, как более приемлемых для практических нужд, для истинных значений оцениваемых характеристик с вероятностью р = 0.95. Для получения вероятностного коэффициента t_р  (квантиля распределения Стьюдента) используем команду в Matlab для вероятности р = 0.95 и числа степеней свободы k = n – 1. У нас n = 20 и k = 19

 

tр=tinv((0.95+1)/2, 19),

 

и получаем значение t_р = 2.09. Здесь вероятность 0.95 модифицируется как (1 + p)/2, так как используется двухсторонний интервал. Теперь имеем

 

 

для оценки истинного значения измеряемой величины. Очевидно, что оцененное значение (среднее арифметическое) должно лежать в вычисленном интервале.

5. Получаем интервальные оценки теоретического значения стандарта и стандарта математического ожидания при p = 0.95. Для вычисления вероятностных коэффициентов (квантилей распределения хи-квадрат Пирсона) также воспользуемся командами Matlab при следующих модифицированных вероятностях ((1+ p)/2 = 0.975 для 1, или левой границы и (1- p)/2 = 0.025 для 2, или правой границы интервала)

 

chi1=chi2inv(0.975,19)

chi2=chi2inv(0.025,19).

 

В результате имеем вероятностные коэффициенты = 32.9 и = 8.9, по которым вычисляются коэффициенты интервала γ₁ и γ₂ (см. формулы теории выше). Тогда значения коэффициентов  будут. γ ₁ = 0.76,        γ ₂ = 1.46 соответственно.

Окончательные интервалы для точностных характеристик будут

 

,