Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Топ:
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2021-06-30 | 26 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть первообразный корень степени из единицы. Допустим, что . Тогда и , тогда: , то есть , где , противоречие.
Достаточность. Пусть , но пусть при этом не является первообразным корнем, то есть существует , для которого . Тогда .
Докажем, что , и тогда не будут взаимно просты.
Пусть . Тогда .
Получили , но остаток , а корень первообразный. Противоречие с тем, что (делится с остатком).
Значит, . Но так как , то , но оно было меньше, чем . Противоречие.
Теорема 3. Корень степени из 1 является первообразным он является образующим циклической группы .
Доказательство. Необходимость. Пусть - какой-нибудь первообразный корень степени из 1. Тогда при любом целом , число тоже будет корнем степени из 1, так как .
Рассмотрим все они являются корнями степени из 1. И среди них нет равных, так как если , то , где , что невозможно, так как - первообразный корень степени . Итак, = .
Достаточность. Пусть = . Докажем, что этот корень первообразный. Пусть при .
Тогда , для всех степеней, больших чем , повторяются уже учтённые корни, то есть , но тогда это не группа , так как в группе получилось меньше чем элементов.
Противоречие.
Пример. -1 не первообразный корень степени 4 из 1; возводя в разные степени, никогда не получим i или –i.
ЛЕКЦИЯ 15. 1.4.2021
Лемма. Сумма всех корней степени из 1 равна 0.
Доказательство. Пусть .
Но , ,..., (при умножении на каждая точка поворачивается на угол и переходит в следующую).
Тогда , так как это сумма тех же комплексных чисел. Но при этом . Значит, .
Области в комплексной плоскости и неравенства, задающие их.
правая полуплоскость.
верхняя полуплоскость.
- окружность радиуса R вокруг начала координат.
|
- круг радиуса R вокруг начала координат.
это круг радиуса 1 вокруг точки . Это неравенство задаёт следующее условие: удаление числа от фиксированного числа не превышает 1. Можно непосредственно преобразовать в уравнение круга в плоскости: а это уравнение круга, центр которого в точке (0,1), то есть как раз в точке . Чертёж:
Пример. это круг радиуса 2 с центром в точке , то есть точке (1,1) в плоскости.
Пример. Множество это кольцо вокруг точки .
Пример. это круг радиуса вокруг точки .
Функции комплексного переменного.
Обобщим на комплексную плоскость синус и косинус.
Верны такие формулы: , .
Доказательство.
Рассмотрим для действительного числа и покажем, что данные функции, а именно и , приведут именно к обычному синусу и косинусу действительного числа, т.е. они обобщают синус и косинус. Используя формулу Эйлера,
1) = = =
2) = = =
Неограниченность синуса и косинуса в комплексной плоскости.
Пример. .
Вычислим: = = .
Логарифм комплексного числа.
Обобщённый логарифм вводится с помощью формулы:
()
Доказательство.
Проверим, совпадает ли и при любом целом .
= = = =
=
синус и косинус не зависят от прибавления угла, кратного , поэтому получаем .
А это уже и есть тригонометрическая форма комплексного числа.
Итак, = .
Если вычислять логарифм положительного действительного числа, то , т.е. одна точка из бесконечного множества попадает на действительную ось, потому что исходный угол . Для любого числа, которое не является действительным положительным, , поэтому происходит сдвиг этой последовательности на часть деления, и ни одна точка не попадёт на действительную ось.
Пример. Вычислить .
Здесь , . Поэтому = .
Точки в комплексной плоскости: , , , и так далее.
Ни одного значения на действительной оси нет, и здесь, по сравнению со значениями логарифма положительного числа, сдвиг на половину деления: одна точка ушла вверх с действительной оси, а другая ещё не достигла этой оси. Чертёж:
|
Здесь легко сделать и проверку: = = = , то есть действительно, .
Пример. Вычислить .
= . Последовательность значений такова: каждая соседняя пара отличается на по высоте. Здесь сдвиг вверх всего на четверть деления, а не на половину, как для .
1) При фиксированном модуле исходного числа и увеличении его аргумента, эта последовательность точек плывёт вверх, при полном повороте на как раз следующая точка попадёт на место предыдущей.
2) При фиксированном аргументе исходного числа и увеличении его модуля, эта последовательность точек плывёт вправо, если исходная точка внутри единичной окружности то множество значений логарифма в левой полуплоскости, так как , а если вне единичной окружности, то в правой полуплоскости.
Динамическая анимация, показывающая поведение значений в зависимости от колебаний модуля или аргумента , показана в следующем обучающем видеоролике:
http://www.youtube.com/watch?v=LKFFn-TSLd0
Замечание. Единственная точка в комплексной плоскости, для которой не существует логарифма, это 0. Ведь в этом случае , и не существует .
Пример. Вычислить .
Решение. Представим , расположенную в основании, в виде . Тогда , причём чуть выше мы вычисляли
. Тогда = = т.е. получается бесконечное множество точек на действительной оси.
Для всякой функции можно отдельно выделить действительную и мнимую части, и представить в виде
. Таким образом, возникают понятия: действительная и мнимая часть функции, обозначения: , . Итак, комплексной функции можно поставить в соответствие некоторое отображение из в , а именно . Но график такого отображения был бы в 4-мерном пространстве, поэтому изобразить его в нашем 3-мерном пространстве невозможно. Но мы можем пользоваться неким подобием графика, а именно, рассматривать чертёж искажений плоскости, изучать, в какие линии отображаются горизонтальные либо вертикальные линии из исходной плоскости.
Пример. Разложить на сумму действительной и мнимой частей, изобразить искажения плоскости при переходе .
1) = = = .
Таким образом, , .
Чтобы исследовать, куда переходят горизонтальные прямые, зафиксируем , при этом изменяется от до , пусть движение задано с помощью параметра :
|
.
Чтобы составить уравнение, взаимосвязывающее , и узнать, какая это кривая, исключим параметр , выразив из второго уравнения: , тогда . Это парабола, лежащая на боку, ветвями направленная вправо, причём чем больше , тем левее вершина, и тем более пологая парабола получается, ведь при этом меньше. А если , то возникает предельный случай: обе ветви смыкаются в одну линию и образуют правую полуось. Действительная ось отображается на правую полуось в плоскости .
Аналогично, для какой-либо вертикальной прямой:
. Тогда, исключая параметр , получим . Это параболы, направленные ветвями влево, симметричные тем, что были рассмотрены чуть выше.
На чертеже зелёным цветом показаны горизонтальные прямые и их образы при отображении , а красным - вертикальные прямые и их образы:
Примечание. 4-мерный график можно было бы рассматривать таким образом: нужно как минимум 4 проекции на координатные пространства, а именно 0xyz, 0xzw, 0xyw, 0yzw.
Либо можно рассмотреть 2 поверхности, построенные по функциям и .
Линейные пространства над С
Над полем комплексных чисел тоже, как и над R, можно рассматривать линейные пространства различной размерности. Рассмотрим, чем отличается строение скалярного произведения в этом случае, и каким будет аналог евклидового пространства.
Напомним, что в линейном пространстве над полем задано евклидово скалярное произведение, если задана функция , т.е. каждой паре векторов можно однозначно поставить в соответствие число , причём:
1)
2) ,
3) ,
4) , причём .
Нормой (модулем) вектора называется число .
Эрмитово скалярное произведение :
1) , и в частности, , поэтому норма также определяется как действительная величина.
2) ,
Отличие в том, как выносится константа со 2 места:
3) , ,
4) , причём .
(полуторалинейная форма). Унитарное пространство.
Гауссовы числа.
Можно рассматривать множество комплексных чисел только с целыми координатами, G = , они образуют кольцо, что нетрудно доказать, так как коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность следует из комм., асс., дистрибутивности в поле С, отличие в том, что не каждый элемент обратим. Обратимы, к примеру, некоторые числа: , , , .
|
Если модуль числа больше , то модуль обратного меньше 1, и тогда оно не является гауссовым числом. Поэтому множество всех мультипликативно обратимых элементов ограничивается числами , они называются делителями единицы и образуют группу.
Два комплексных числа называются ассоциированными, если они отличаются на множитель, являющийся делителем единицы.
- множество попарно ассоциированных элементов.
Нормой гауссова числа называется квадрат его модуля:
.
Деление с остатком.
Для любых существуют , такие, что , и .
Пример. Поделить на с остатком в кольце гауссовых чисел.
Сначала разделим обычным образом, получив дробные значения действительной и мнимой части. = = = = . Берём целую часть по каждой координате, .
, исходное число было . Таким образом,
= , остаток равен 1.
Впрочем, гауссовы числа - линейно не упорядоченное множество, поэтому деление не однозначно: можем округлить до целого:
, тогда .
Верно также и = , остаток .
* Если при делении получается , где целые, то говорят, что делится на без остатка.
* В связи с этим, вводится понятие НОД аналогично тому, как было в кольце Z. Однако, из-за ассоциированности, НОД определяется не единственным образом.
Обратим внимание на то, что некоторые простые действительные числа не являются простыми гауссовыми: например,
= ,
- существует даже 2 разных разложения. Аналогично:
, .
, .
, . .
Обратим внимание на то, что во всех этих примерах числа вида , то есть имеющие остаток 1 при делении на 4. Сейчас мы докажем, что это не случайно, и только такие простые числа имеют разложение в виде произведения двух сопряжённых гауссовых.
Лемма 1. Если простое и является произведением двух гауссовых чисел, то оно должно иметь вид .
Доказательство.
1) Доказывали ранее (см. практику), что если действительное число есть произведение двух комплексных, то одно комплексное обязательно сопряжённое к другому, с точностью до действительного множителя, то есть .
2) Если , то , тогда оно не было бы простым, так как распадалось бы действительные на множители.
Таким образом, единственный вариант, это при .
Лемма 2. Числа вида не могут быть разложены в произведение двух сопряжённых.
Доказательство. Допустим, что .
Докажем, что числа вида не могут быть представлены в виде суммы квадратов.
Если число или чётное, то его квадрат имеет вид , то есть имеет остаток 0 при делении на 4
Если число или нечётное, то его квадрат имеет вид , то есть имеет остаток 1 при делении на 4.
Таким образом, сумма квадратов двух чётных имеет остаток 0, для чётного и нечётного остаток 1, для двух нечётных остаток 2, но ни в каком случае он не может быть равен 3.
|
Следствие. Из леммы 2 следует, что если простое нечётное число, то оно является и простым гауссовым.
Таким образом, составные гауссовы числа могут быть только среди чисел вида . Кроме того, мы докажем менее очевидный факт: что все простые числа вида представимы в виде произведения сопряжённых гауссовых чисел.
Лемма 3. Если простое нечётное число имеет вид , то существует , такое, что .
Доказательство. По теореме Вильсона, для простого числа:
делится на . В этом случае , кроме того, очевидно, чётное. Сопоставим остатки крайних чисел в этом факториале, затем соседних с ними и т.д.
, , , ,... таким образом, до выполняется закономерность: , .
Тогда , то есть
.
Если не делится на 4, то нечётно, и
, тогда .
Если делится на 4, то чётно, и .
Таким образом, существует , равное , такое что .
Теорема Эйлера-Ферма. Если простое нечётное число имеет вид , то оно представимо в виде суммы квадратов .
Доказательство.
Рассмотрим множество пар , где , .
Строго меньше, так как простое, значит оно не может делиться на целое число, то есть точно не будет целым.
Если обозначает целую часть корня из , то количество таких пар чисел составляет .
Напр, если p=17 (25 пар) 0 1 2 3 4
Рассмотрим для произвольного все числа вида .
Мощность множества пар больше, чем . При этом множество возможных остатков имеет максимальную мощность меньше или равную . Значит, для каких-то двух пар остатки одинаковы:
.
Обозначив , получим
, тогда .
Вспомним, что согласно предыдущей лемме, для числа вида , то существует , такое, что .
Тогда выберем такое и получим , то есть , что означает .
Так как , , то для квадратов модулей разностей , , и . При этом 0 быть не может, так как две пары были разные, тогда .
Единственное число во множестве , делящееся на , это само , так как 0 и не принадлежат множеству.
Тогда , что и требовалось доказать.
Следствие. Если простое нечётное число имеет вид , то оно является составным гауссовым числом: , .
ЛЕКЦИЯ 16. 3.4.2021
Замкнутость сумм квадратов относительно умножения (2 способа, обычный и через модули комплексных).
Лемма. Произведение двух сумм квадратов целых чисел также представляется в виде суммы квадратов:
.
|
|
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!