Решение алгебраических уравнений средствами MathCad

 

Рассмотрим применение программы MathCad, позволяющее находить корни уравнений.

Известно, что многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. Такие уравнения могут решаться численными методами с заданной точностью (точность задается значением системной переменной TOL).

Численное решение нелинейного уравнения

Для определения корней уравнения в Mathcad встроена специальная функция root. Она может быть вызвана как с двумя, так и с четырьмя аргументами.

1). Вызов функции root с двумя параметрами.

rооt (Выражение, Имя_переменной)

Эта функция возвращает значение переменной, при котором выражение дает 0. Результат может быть и комплексным. Функция реализует вычисления методом секущих.

Пример:

Решить уравнение cos(x)=sin(x)

Необходимо выполнить следующую последовательность действий:

-- Привести уравнение к виду: f(x)=0

cos(x) - sin(x) =0 (Равенство вводим сочетанием клавиш ‘Ctrl’+’=’)

-- Определить как функцию левую часть уравнения.

f(x) = cos(x) - sin(x)

-- Задать начальное приближение. Оно может быть известно из постановки задачи либо может быть получено из графика функции.

Пусть начальное приближение

-- Вызвать функцию root и получить:

-- Выполнить следующую проверку:

Значение результата f(r) функции мало, однако это не 0. Это объясняется тем, что поскольку реализуется итерационный алгоритм, то решение получается лишь с заданной точностью. Точность регулируется заданием системной переменной TOL (по умолчанию TOL=10^-3). Перед вызовом функции значение TOL можно изменить, присвоив этой переменной новое значение, например:

Точность TOL можно определить также и в меню Math/Options.

При выводе результата отображается только три значащих цифры. Это можно отрегулировать в меню Format/Number/Displayed precision.

Полное решение данного примера с измененной точностью TOL представлено на листинге 4.

Листинг 4. Решение уравнения с измененной точностью вычислений и проверкой результата

2). Вызов функции root с четырьмя параметрами.

rооt (Выражение, Имя_переменной, Начало_отрезка, Конец_отрезка)

Третий и четвёртый параметры представляют собой отрезок на оси аргумента, в котором находится корень. Если корень единственен на этом отрезке, то значения функции на концах отрезка будут противоположных знаков. Например: x Î [2π; 5π/2]

Если на указанном отрезке корни отсутствуют или же их несколько, то будет выдано сообщение о том, что на концах отрезка знак у функции один и тот же. В случае, если корней на отрезке несколько, но требование разных знаков соблюдается, функция вернёт самый правый корень.

Задание №1

Построить график функции f(x) и приблизительно определить один из корней уравнения. Решить уравнение f(x) = 0 с помощью встроенной функции MathCAD root.

 

Таблица 1 – Варианты задания 1

Вариант	f(x)	Вариант	f(x)
	4sin x + x2 - 2=0		sin x2+cos x2-10x=0
	3X-4.5x-5.6=0		x2-ln(1+x)-3=0
	3 sin x +0.35x-8x=0		2xsin x – cosx=0
	0.25x2+x-1.25002=0		lnx – x + 1.8=0
	0.1x2-xlnx=0		0.6 ×3x – 2.3x – 3=0
	3x - 4lnx-5=0		2x – 4x=0
	ex - e –x -2=0		3x – ex + 4=0
	ex + lnx – 10x=0		(x - 1)2 - 0.5exp(- x) – 2=0