Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Топ:
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2021-05-27 | 53 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ РАЗРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ (ИМПУЛЬСОВ).
Пустьзадана некоторая функция φ(t), график которой представлен на рис. 4.1. При умножении этой функции φ(t) на функцию Хевисайдаполучается функция-оригинал:
(4.1)
т.е. в результате умножения произошло обнуление значений заданной функции φ (t) при t < 0 (рис.4.2).
Рис. 4.1. | Рис.4.2. |
Рассмотрим теперь функцию - оригинал f (t), график которой представлен на рис. 4.3. Тогда функция
(4.2)
где τ – положительное число, имеет график (рис.4.4), который получается из графика f (t) сдвигом последнего на величину τ вдоль оси t. Таким образом, если функция f (t) определяет течение во времени некоторого процесса, то функция g (t) определяет тот же процесс, но начавшийся с опозданием τ.
Рис. 4.3. | Рис.4.4. |
С помощью единичной функции Хевисайда запаздывающую на τ функцию g (t) (4.2) можно записать в виде:
g (t) = h (t - τ) ·f (t – τ), (4.3)
так как h (t - τ) = 0 при t < τ (в этом случае аргумент отрицателен) и 1 при t ≥ τ.
При нахождении изображения оригинала в случае, когда его аргумент запаздывает, используется т е о р е м а з а п а з д ы в а н и я: если f (t) ←÷ F (p), то запаздывание аргумента оригинала на τ > 0 приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания на
е - рτ, т. е.
h (t - τ) f (t – τ) ≓ е - рτ F (p). (4.4)
Пример 4.1. Найти изображение оригинала f (t)= е t - 2 h (t - 2 ).
Решение. Здесь f (t) есть функция е t, но включаемая с «запаздыванием» τ = 2. Так как е t ≓ , то по теореме запаздывания (4.4) имеем: е t - 2 h (t - 2 ) ≓ .
|
З а м е ч а н и е. Если в записи f (t) опустить множитель h (t - 2 ), то получится функция е t – 2, которая означает оригинал е t - 2 h (t) без запаздывания смотри формулу (4.1)). Изображением этого оригинала будет:
е t - 2 h (t) = е – 2· е t h (t) ≓ .
Таким образом, н е д о п у с т и м о опускать множители вида h (t - τ) в записи функций (см. также пример 3.5).
Рис. 4.5. | Рис.4.6. |
Пример 4.2. Найти изображение функций f 1 (t) и f 2 (t), представленных соответственно на рис. 4.5 и 4.6.
Решение. Первая функция f 1 (t) есть импульс величины 4, «включаемый» в момент t = 0 и «погашаемый» в момент τ = 2; следовательно, согласно (4.3) запишем: f 1 (t)= 4· h (t) - 4· h (t - 2).
Аналитическое выражение функции f 2 (t) найдем, рассуждая следующим образом: в момент t = 0 появился импульс величины 2 - запишем: f 2 (t) = 2· h(t).
Затем в момент τ = 1 импульс увеличился на 2:
f 2 (t) = 2· h(t) + 2· h (t - 1 ).
Получившийся импульс в момент τ = 2 уменьшился на 3:
f 2 (t) = 2 · h(t) + 2· h (t - 1 ) - 3· h (t - 2).
Далее в момент τ = 3 исследуемый импульс, уменьшившись на 1, стал равным 0 (исчез); т.е. окончательное выражение для f 2 (t) запишется в виде:
f 2 (t) = 2 · h(t) + 2· h (t - 1) - 3· h (t - 2 ) -1· h (t - 3).
Применяя теорему запаздывания(4.4), находим:
f 1 (t) ≓ - = .
f 2 (t) ≓ + - - .
З а м е ч а н и е. В рассматриваемом примере импульс имел
п р я м о у г о л ь н у ю форму, поэтому удобно было в момент изменения его формы сразу «гасить» или «увеличивать» его на наблюдаемую величину. В случае импульса более сложной формы при нахождении его аналитического описания удобнее в момент изменения формы «гасить» его до нуля и сразу «включать» импульс требуемой формы (см. примеры 4.3 и 4.4).
Пример 4.3. Построить график функции
f (t)= (t 2 - 6 t + 11)· h (t – 2) и найти ее изображение.
Решение. Функция f (t) описывает некоторый процесс φ(t), «включаемый» с запаздыванием τ = 2. Для того, чтобы решить, какой это процесс, нужно представить заданную функцию в форме:
|
f (t) = φ (t - 2) .
Сделаем это:
f (t)= (t 2 - 6 t + 11)· h (t – 2) =[(t – 2)2 + 4 t – 4 - 6 t + 11]· h (t – 2) =
=[(t – 2)2 – 2 t + 7)]· h (t – 2) = [(t – 2)2 – 2(t - 2)+ 3)]· h (t – 2).
Отсюда следует, что f (t) есть процесс φ(t) = t 2 – 2 t + 3, «включаемый» с запаздыванием τ = 2. На рис.4.7 представлены графики функций f (t) и φ(t). Так как
φ(t) = t 2 – 2 t + 3 ≓ - + ,
то применяя теорему запаздывания, находим:
f(t) = φ (t - 2 ) ≓ ( - + ) .
Рис. 4.7. | Рис.4.8. |
Пример 4.4. Найти изображение функций f (t), представленной на рис. 4.8.
Решение. Запишем заданную функцию в аналитическом виде:
С помощью единичной функции Хевисайда запишем f (t) одним аналитическим выражением:
В момент t = 0 «включается» функция, равная 3, следовательно, f (t) = 3 · h (t).
В момент τ = 4 функция, равная 3, «гасится» и «включается» функция : f (t) = 3 · h (t) - 3 · h (t - 4) + .
В момент τ = 6 функция «гасится» (сигнал исчез), следовательно, искомое выражение функции имеет вид:
f(t) = 3 · h (t) - 3 · h (t - 4) + -
или f(t) = 3 · h (t) + - .
Чтобы найти изображение этой функции, нужно представить ее в следующей форме (см. также пример 4.3):
f (t) = 3 · h (t) + φ 1(t - 4) - φ2(t - 6 ) .
Выполним следующие преобразования:
f (t) = 3 · h (t) + [ - =
= 3 · h (t) .
Так как
φ1(t)= ≓ и φ 2(t - 6) = ←÷ ,
то, применяя теорему запаздывания (4.4), находим:
f (t) ≓ + .
Пример 4.5. Найти оригинал по его изображению:
а) F (p)= ; б) F (p)= .
Решение. а) учитывая, что ≒ , по теореме запаздывания (4.4) находим: ≒ .
б) так как ≒ , применим (4.4) и получим:
≒ .
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА
ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ
В операционном исчислении обратная задача - определение оригинала f (t) по известному изображению F (p), является одной из главных.
Важным частным случаем изображений являются изображения F (p) в виде правильных (m < n) и неправильных (если m ≥ n) рациональных дробей:
, (5.1)
где Qm (p) и Rn (p) - многочлены от р степени m и n соответственно.
Неправильность дроби указывает, что оригинал будет содержать дельта функцию Дирака δ(t) или ее производные.
Во многих случаях заданное изображение можно преобразовать к такому виду, когда оригинал легко восстанавливается непосредственно с помощью свойств преобразования Лапласа и таблицы изображений. Иногда задачу удается решить с помощью теоремы об изображении свертки.
|
Изображения F (p) в виде неправильной рациональной дроби, удобно п р е д в а р и т е л ь н о п р е о б р а з о в а т ь: выделить в этой дроби, разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов «уголком»), целую часть – многочлен Mm - n (p) степени
m - n, и некоторую правильную дробь :
где Q ̃ r (p) - многочлен степени r, причем r < n.
П р и о б р а щ е н и и изображения в виде многочлена используетсясвойство линейности изображения и соответствие:
р к ÷→ δ (к)(t) (к = 0,1,...)
П р и о б р а щ е н и и изображения в виде правильной рациональной дроби широко используется следующий прием: разлагают эту дробь в сумму простейших дробей методом неопределенных коэффициентов и находят оригиналы для каждой.
Пример 5.1. Найти оригинал f (t), если .
Решение. П е р в ы й с п о с о б. Выделяя полный квадрат в знаменателе и далее, используя табличное изображение (10), получим:
= = ≒ .
В т о р о й с п о с о б. Раскладывая дробь в сумму простейших, используя изображение для е at, получим
= - ≒
≒ = = .
Пример 5.2. Найти оригинал f (t), если .
Решение. П е р в ы й с п о с о б. Используем теорему Бореля об изображении свертки, получим
= · ≒ * = =
= = .
В т о р о й с п о с о б. Раскладывая дробь в сумму простейших, используя изображение для е at, получим
= = + + ÷→
≒ + + = .
Пример 5.3. Найти оригинал f (t), если .
Решение. Найдем сначала оригинал для дроби , разложив ее в сумму простейших:
= = + =
= + = + +
≒ .
Учтем теперь сомножитель е –2 р : применив теорему запаздывания, найдем
≒ .
|
|
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!