Движение точки по окружности

В общем случае движение точки может быть криволинейным. Если траектория точки произвольная кривая, то скорость и ускорение точки при ее движении по этой кривой меняются по величине и направлению.

Выберем произвольную точку M на траектории (рис. 3).

 

 

 

Рис. 3

Как всякий вектор, вектор ускорения можно представить в виде суммы его составляющих по двум взаимно перпендикулярным осям. В качестве одной из осей возьмем направление касательной в рассматриваемой точке траектории, тогда другой осью окажется направление нормали к кривой в этой же точке. Составляющая ускорения, направленная по касательной к траектории, носит название тангенциального ускорения a_τ, а направленная ей перпендикулярно — нормального ускорения a_n.

Получим формулы, выражающие величины a _τ, и a_n через характеристики движения. Для простоты рассмотрим вместо произвольной криволинейной траектории плоскую кривую. Окончательные формулы будут справедливыми и в общем случае неплоской траектории.

Благодаря ускорению скорость точки приобретает за время dt малое изменение . При этом тангенциальное ускорение, направленное по касательной к траектории, зависит только от величины скорости, но не от ее направления. Это изменение величины скорости равно dv. Поэтому тангенциальное ускорение может быть записано как производная по времени от величины скорости:

.                       (18)

С другой стороны, изменение , направленное перпендикулярно к , характеризует только изменение направления вектора скорости, но не его величины. На рис.4 показано изменение вектора скорости, вызванное действием нормального ускорения. Как видно из рис.4 , и, таким образом, с точностью до величины второго порядка малости величина скорости остается неизменной v = v'.

Найдем величину a_n. Проще всего это сделать, взяв наиболее простой случай криволинейного движения — равномерное движение по окружности. При этом a_t =0. Рассмотрим перемещение точки за время dt по дуге dS окружности радиуса R.

Рис. 5

Скорости v и v', как отмечалось, остаются равными по величине. Изображенные на рис.5 треугольники оказываются, таким образом, подобными (как равнобедренные с равными углами при вершинах). Из подобия треугольников следует , откуда находим выражение для нормального ускорения:

.                      (19)

Формула для полного ускорения при криволинейном движении имеет вид:

.         (20)

Подчеркнем, что соотношения (18), (19) и (20) справедливы для всякого криволинейного движения, а не только для движения по окружности. Это связано с тем, что всякий участок криволинейной траектории в достаточно малой окрестности точки можно приближенно заменить дугой окружности. Радиус этой окружности, называемый радиусом кривизны траектории, будет меняться от точки к точке и требует специального вычисления. Таким образом, формула (20) остается справедливой и в общем случае пространственной кривой.

Пройденный путь S, перемещение dr, скорость v, тангенциальное и нормальное ускорение a_t, и a_n, представляют собой линейные величины. Для описания криволинейного движения наряду снимиможно пользоваться угловыми величинами.

Рассмотрим более подробно важный и часто встречаемый случай движения по окружности. В этом случае наряду с длиной дуги окружности движение можно характеризовать утлом поворота φ вокруг оси вращения. Величину

                           (21)

называют угловой скоростью. Угловая скорость представляет собой вектор, направление которого связывают с направлением оси вращения тела (рис. 6).

Рис. 6

Обратим внимание на то, что, в то время как сам угол поворота φ является скаляром, бесконечно малый поворот dφ — векторная величина, направление которой определяется по правилу правой руки, или буравчика, и связано с осью вращения. Если вращение является равномерным, то ω = const и точка на окружности поворачивается на равные углы вокруг оси вращения за равные времена. Время, за которое она совершает полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2π, называется периодом движения Т. Выражение (21) можно проинтегрировать в пределах от нуля до Т и получить угловую частоту:

.                     (22)

Число оборотов в единицу времени есть величина, обратная периоду, — циклическая частота вращения

.                            (23)

Нетрудно получить связь между угловой и линейной скоростью точки. При движении по окружности элемент дуги связан с бесконечно малым поворотом соотношением dS = R·dφ. Подставив его в (21), находим

v = ω r.                                     (24)

Формула (24) связывает величины угловой и линейной скоростей. Соотношение, связывающее векторы ω и v, следует из рис. А именно, вектор линейной скорости представляет собой векторное произведение вектора угловой скорости и радиуса-вектора точки r:

.                       (25)

Таким образом, вектор угловой скорости направлен по оси вращения точки и определяется по правилу правой руки или буравчика.

Угловое ускорение — производная по времени от вектора угловой скорости ω (соответственно вторая производная по времени от угла поворота)

Выразим тангенциальное и нормальное ускорение через угловые скорости и ускорение. Можно получить:

a_t = · R, a = ω ² · R.                 (26)

Таким образом, для полного ускорения имеем

.                      (27)

Величина  играет роль тангенциального ускорения: если = 0.полное ускорение при вращении точки не равно нулю, a =R·ω² ≠ 0.

Динамика материальной точки

Динамика.

Законы Ньютона.

Первый закон Ньютона.

Инерциальные системы отсчета.

Понятие о силе.

Виды взаимодействий.

Принцип независимости действия сил.

Второй закон Ньютона.

Масса и ее измерение.

Аддитивность массы, импульс.

Третий закон Ньютона.

Момент импульса материальной точки.

Сохранение момента импульса материальной точки при движении под действием центральной силы.

Работа силы, мощность, кинетическая энергия.

 Потенциальные и непотенциальные силы.

Потенциальная энергия.

Связь силы с потенциальной энергией.

Сохранение полной энергии материальной точки в поле потенциальной силы.

 

Динамика

Динамика – раздел механики изучающий движение тел с рассмотрением причин вызывающих это движение.

Законы Ньютона

При рассмотрении кинематики использовалась неподвижная система отсчета. В природе не существует абсолютного движения, всякое движение имеет относительный характер: либо одного тела относительно другого, либо относительно выбранной системы отсчета. Возникает вопрос, все ли системы отсчета являются равноправными, а если нет, то какие являются предпочтительными. Единственное и естественное требование к системе отсчета состоит в том, что ее выбор не должен вносить усложнения в описание движения тел, т.е. законы движения в выбранной системе отсчета должны иметь наиболее простой вид. В частности, в такой системе должны оставаться неизменными свойства пространства и времени: пространство должно быть однородным и изотропным, а время однородным.

Однородность пространства и времени означает, что наблюдаемые физические свойства и явления должны быть одинаковы в любой точке пространства и в любой момент времени. Не существует выделенных в каком-либо отношении точек пространства и моментов времени.

Изотропность пространства означает, что все направления в пространстве равнозначны. Физические явления в замкнутой системе не должны изменяться при ее повороте в пространстве.

Система отсчета, которая использовалась до сих пор, отвечала этим требованиям, но возникает вопрос, как ее реализовать, т.е. с какими объектами, реально существующими в природе, можно ее связать. Оказывается, что выбор подобной системы отсчета является непростым делом, так как требуемым условиям отвечает специальный класс физических объектов. Если «привязать» неподвижную систему координат к какому-либо произвольно движущемуся объекту, например к вагону поезда, можно заметить, что в данной системе отсчета сразу произойдут странные явления, например груз, подвешенный на нити, будет время от времени отклоняться от вертикали (что связано с действием различных ускорений вагона: при торможении или ускорении и при поворотах). В результате для описания этих явлений в данной системе координат придется прибегнуть к представлениям о взаимодействиях, внешних по отношению к системе, и включить их в рассмотрение. В то же время ясно, что в другой системе координат, не испытывающей указанных ускорений, описание механических явлений будет гораздо проще.

Другой пример не очень подходящей системы отсчета — неподвижная система, связанная с Землей. В этой системе можно, напри мер, обнаружить вращение плоскости колебаний физического маятника (на самом деле связанное с вращением Земли вокруг своей оси), для объяснения которого нам также придется привлекать физические причины, являющиеся посторонними по отношению к данной системе отсчета. Вместе с тем, как показывает опыт, по отношению к Солнцу и звездам маятник будет вести себя стабильно, т.е. Солнце и звезды являются подходящими физическими объектами для выбора указанной системы отсчета.

Рис. 7

Как показывает опыт, нужным требованиям удовлетворяют системы отсчета, которые связаны с физическими объектами, не испытывающими внешних воздействий, т.е. не подвергающимися каким-либо ускорениям. В таких системах отсчета тела находятся в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока на них не действуют другие тела. Свойство тела сохранять такое состояние называется инерцией, и поэтому системы отсчета, о которых "идет речь, носят название инерциальных. Если наряду с выбранной инерциальной системой, рассмотреть другую, движущуюся относительно первой прямолинейно и равномерно, то свободное движение тела в новой системе будет также происходить с постоянной скоростью. Таким образом, существует бесконечное множество инерциальных систем отсчета. Во всех этих системах свойства пространства и времени одинаковы и одинаковы законы механики. Не существует никакой абсолютной системы отсчета, которую можно было бы предпочесть другим системам. В этом состоит принцип относительности Галилея. Его можно сформулировать и так: никакими механическими опытами невозможно установить, движется ли данная инерциальная система или покоится: оба состояния эквивалентны. Координаты точки в двух системах отсчета, одна из которых K' движется равномерно и прямолинейно относительно другой (K) со скоростью V, связаны соотношением (рис.7)

.                           (28)

При этом считается, что время абсолютно, т.е. течет одинаково в обеих системах: t' = t. Скорость точки в системе К связана со скоростью в системе К' формулой:

.                                 (29)

Математически принцип относительности Галилея можно сформулировать как требование инвариантности (неизменности) уравнений механики по отношению к преобразованию (28).

Законы Ньютона образуют основу динамики — раздела механики, рассматривающего взаимодействие тел.

Первый закон Ньютона

Первый закон Ньютона отражает свойство инерции, тел и часто называется законом инерции. Его можно сформулировать следующим образом:

Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние.

Отсюда следует что, во-первых, этот закон выполняется только в инерциальных системах отсчета. Во-вторых, поскольку изменение состояния покоя или равномерного движения связано с наличием в системе ускорения, последнее, в свою очередь, возникает как результат воздействия других тел. Это утверждение создает предпосылки для формулирования второго закона Ньютона.

Второй закон Ньютона

Мы сказали, что динамика изучает движение тел, рассматривая при этом причины вызвавшие это движение. Причиной движения всегда является действие на данное тело со стороны других тел или полей. При этом такое действие характеризуют физической величиной называемой силой.

Сила – векторная величина, являющаяся мерой механического действия на тело со стороны других тел или полей, в результате, которого тело приобретает ускорение или изменяет форму и размеры.

Механическое взаимодействие может осуществляться как между непосредственно контактирующими телами (например, при ударе, трении, давлении друг на друга и т. п.), так и между удаленными телами.

Особая форма материи,связывающая частицы вещества в единые системы и передающая с конечной скоростью действие одних частиц на другие, называется физическим полем или просто полем.

Взаимодействие между удаленными телами осуществляется посредством связанных с ними гравитационных и электромагнитных полей.

Пользуясь понятием силы, в механике обычно говорят о движении и деформации рассматриваемого тела под действием приложенных к нему сил. При этом, конечно, каждой силе всегда соответствует какое-то определенное тело или поле, действующее с этой силой.

Сила F полностью задана, если указаны три ее характеристики: модуль F, направление в пространстве и точка приложения.

Прямая, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы. Центральными называются силы, которые всюду направлены вдоль прямых, проходящих через одну и ту же неподвижную точку — центр сил, и зависят только от расстояния до центра сил.

Поле, действующее на материальную точку с силой F, называется стационарным полем,если оно не изменяется с течением времени.

Одновременное действие на материальную точку нескольких сил эквивалентно действию одной силы, называемой равнодействующей, или результирующей, силой и равной их геометрической сумме.

Единица силы — ньютон (Н): 1Н — сила, которая массе в 1кг сообщает ускорение 1м/с² в направлении действия силы.

Сила, действующая на тело, сообщает ему ускорение. Величина полученного ускорения пропорциональна приложенной силе. Но разные тела под влиянием одинаковых сил приобретают разные ускорения. Данный опытный факт есть проявление уже упоминавшегося свойства инерции тела. Это свойство количественно характеризуется инертной массой тела  – коэффициентом пропорциональности между приложенной к телу силой и полученным им ускорением.

Таким образом, второй закон Ньютона может быть записан в форме:

,                                    (30)

где фигурируют вновь введенные физические величины: вектор силы F и инертная масса тела m. В таком виде его можно сформулировать следующим образом: ускорение, приобретаемое телом, прямо пропорционально силе, действующей на тело, и обратно пропорционально массе тела.

Третий закон Ньютона

Любое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия. Этот факт составляет суть третьего закона Ньютона. Он утверждает, что силы, с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, равны по величине и противоположны по направлению (Рис.8):

 

 

,                               (31)

Рис. 8

Важно подчеркнуть, что силы, о которых идет речь, приложены к разным взаимодействующим друг с другом телам, поэтому вызывают разные ускорения.

Виды взаимодействий.

   Согласно современным представлениям тела взаимодействуют друг с другом посредством особых форм материи – физических полей. Сам механизм взаимодействия можно представить в виде следующей схемы:

Тело А оказывает воздействие на окружающее его физическое поле, которое передает это воздействие телу В. Аналогично действие тела В передается через поле телу А. Таким образом физические поля выступают в роли посредников в передаче взаимодействий между телами. Всего известно четыре основных или как говорят фундаментальных взаимодействия:

1. Сильное или ядерное, которое отвечает за удержание внутри ядер атомов частиц их составляющих – протонов и нейтронов. Это взаимодействие самое сильное, но короткодействующее. Радиус его действия порядка размера ядра ~ 10^{-15 м.}

2. Электромагнитное взаимодействие проявляется во взаимодействии тел обладающих электрическими зарядами. Второе по силе. Радиус действия - ∞.

3. Слабое взаимодействие – ответственно за распады частиц. Его название говорит само за себя. Оно очень слабое. Радиус его действия очень мал ~ 10^{-18 м.}

4. Последнее взаимодействие самое слабое, но в то же время и самое заметное. Это гравитационное взаимодействие. В нем участвуют все тела. Оно отвечает за притяжение тел друг к другу. Его радиус действия - ∞.

Силы в механике.