На рисунке 14. Набор ребер равен

E(Γ) = {a

1

, а

2

, а

3

, а

4

, в

1

, в

2

, в

3

, в

4

, c}. Пусть A - подграф с набором ребер

E(A) = {a

k

} и B график с E(B) = {b

k

}. При сворачивании ребер в A получается
график Γ /A, показанный слева на рисунке 15. Вырождение A ∪ B дает Γ /(A ∪ B),

18

Джей Зи

U

НИГА

a

1

a

2

a

3

a

4

b

1

b

2

b

3

b

4

c

Рисунок 14.

Элемент G

0,5
8

.

ւ

ց
0
1

0
1

ց

ւ
0
1
2

Рисунок 15.

График ленты вверху вырождается в различные

Полустабильные ленточные графики.

показано справа от рисунка 15. Числа справа от полустабильных графиков
представляют порядок, а пунктирные линии - то, как соединяются части разных порядков
. Для сворачивания графика подграф B генерирует тот же график,
что и сворачивание подграфа A справа. Однако ориентации
не одинаковы. Позволь

или = [a

1

, а

2

, а

3

, а

4

, в

1

, в

2

, в

3

, в

4

, c]
- ориентация графика в верхней части рисунка 15. Ориентации
свернутых графиков являются

Или

A

= [o

1

, а

1

, а

2

, а

3

, а

4

, в

1

, в

2

, в

3

, в

4

, с ],

Или

A ∪ B

= [o

1

, а

1

, а

2

, а

3

, а

4

, в

1

, в

2

, в

3

, в

4

, с ].

В свою очередь, сворачивание B на графике слева и сворачивание A на графике
справа создает тот же график внизу, но с ориентациями, заданными

(или

A

)

B

= [o

′
1

, o

′
2

, а

1

, а

2

, а

3

, а

4

, в

1

, в

2

, в

3

, в

4

, с ],

(или

A ∪ B

)

A

= [o

′
2

, o

′
1

, а

1

, а

2

, а

3

, а

4

, в

1

, в

2

, в

3

, в

4

, с ].

Теорема 3.2.

Карта d: G

г, н
к

→ G

г, н
к− 1

определяется как d = d

e

+ d

s

Это разница.

Доказательство. Если можно доказать, что d

2

e

= 0, d

2

s

= 0 и d

e

d

s

+ d

s

d

e

= 0, то результат

Следует, так как у нас есть

(d

e

+ d

s

)

2

= d

2
e

+ d

e

d

s

+ d

s

d

e

+ d

2
с

.

Для d

e

рассмотрим два ребра a, b ∈ E(Γ) со свойством, что множество вершин
, связанных с этими ребрами, имеет по крайней мере два элемента, которые не являются помеченными точками

ГОМОЛОГИЯ ПОЛУСТАБИЛЬНЫХ ГРАФОВ

19

Θ

Ω

1

Ω

2

Ω

3

Рисунок 16.

Комплекс G

0,3

.

и, кроме того, если один из них является помеченной точкой, то связанное ребро не является петлей
, а другая вершина этого ребра не является помеченной точкой. Это условие гарантирует
, что мы можем свернуть оба ребра без изменения характеристики Эйлера, и
, следовательно, топологический тип остается неизменным. Выберите представителя
ориентации Γ формы [a, b,...]. Затем сжатие сначала a, а затем b индуцирует
ориентацию [...]; но сжатие сначала b, а затем a изменяет порядок и, следовательно
, знак, получая таким образом − [...]. Эти два разных порядка появляются в d

2

e

И поэтому

Мы получаем d

2

e

= 0.

Чтобы показать d

2

s

= 0 возьмем два полустабильных подграфа W и Z с W ⊂ Z полностью

содержится в части фиксированного порядка, скажем Γ

i

. Есть два варианта для d

2

s

: либо
сначала сворачивается W, а затем Z, либо сначала сворачивается Z, а затем W. В первом
случае наведенная ориентация является (или

W

)

Z

= [o

k

, o

h

,...] где o

h

И о

k

создаются путем
коллапса W и Z соответственно. Во втором случае индуцированная ориентация
является (или

Z

)

W

= [o

h

, o

k

,...]. В обоих случаях о

k

соответствует порядку i + 1 и o

h

с

заказ i + 2. Как и в случае с d

e

, разница между этими двумя знаками и

Так как все рушится в d

2

s

Появившись в этом случае, мы заключаем, что d

2

s

= 0.

Наконец, чтобы показать d

e

d

s

+ d

s

d

e

= 0 рассмотрим ребро e так, чтобы обе его вершины
не были помечены точками, а Z- полустабильное подмножество, полностью содержащееся в фрагменте
фиксированного порядка. Выбор представителя формы или = [e,...] снова дает
два варианта: мы можем свернуть e, а затем Z, или наоборот. В первом случае
наведенная ориентация является (или

e

)

Z

= [o

k

,...] и во втором индуцированная ориентация является

(или

Z

)

e

= − [o

k

,...] из - за или

Z

= [o

k

, e,...] = − [e, o

k

,...].

Предыдущая теорема показывает, что

G

G,n

=





k≥0

G

г, н
к

, d = d

e

+ d

s





Представляет собой цепной комплекс.

На рисунке 16 представлено геометрическое представление G

0,3

показано, где Θ - тета

график и Ω

i

"s представляют три неизоморфных ленточных графика, полученных из
разных меток Ω - графа. Их лица также показаны на рисунке 3. В этом
примере дифференциал d

s

Тривиально равно нулю, потому что сфера с тремя метками не

Вырождается в сингулярную поверхность. Для G

0,4

Карта d

s

Не равно нулю, но d

2

s

Это тривиально

Ноль, потому что сфера с четырьмя метками не может вырождаться дважды.

20

Джей Зи

U

НИГА

Отличия от предыдущей работы. Цепной комплекс G

G,n

содержит комплекс
графов, изученный в [CV03] для формализации идей в [Kon93]. Несколько отличий
, о которых стоит упомянуть, заключаются в следующем.

В [CV03, раздел 4] комплекс графов обозначается (P OG)

S

где S-
поверхность топологического типа (g, n), сгенерированная графом,P относится к “ примитивной части ”,
что означает, что графики связаны, а O относится к “ операде ”, она
считается связанной операдой, так что комплекс основан на ленточных графах. Все
графики в [CV03] содержатся в G

G,n

Дополнительная полустабильная лента

Графики в G

G,n

Не входит в (P OG)

S

являются ли они полученными из коллапсирующих
петель, соответствующих помеченным точкам. Очевидно, что полустабильные графики (
соответствующие сингулярным поверхностям) представляют собой новые элементы графового комплекса.

Ориентация, описанная в [Kon93], дополнительно изучена в [CV03] и [LV08].
Ориентация ленточного графа в графовом комплексе представляет собой единичный вектор в det(RE(Γ) ⊕
H

1

(Γ, R)). В Ч

1

(Γ, R) термин, однако, не изменяется дифференциалом, определенным в
предыдущей работе, потому что графам не разрешается вырождаться настолько, чтобы изменить
его гомологию. Ориентация, используемая в G

G,n