Уникальное максимальное полустабильное подмножество Z

Сст

З. ⊂

Доказательство. Начиная с Z удалите все ребра, содержащие немаркированную вершину валентности
один. Повторяйте этот процесс до тех пор, пока мы не сможем удалить дополнительные ребра. Все остальные
одновалентные вершины помечены. Теперь отбросьте все граничные подграфы без
помеченных вершин. Порядок здесь важен: сначала обрезаются края, а затем
удаляются граничные подграфы. Это связано с тем, что Z может иметь компоненты, являющиеся
объединением граничных подграфов с ребрами, содержащими немаркированную вершину валентности
один, следовательно, выполнение этого в обратном порядке не приведет к удалению в конце граничного
подграфа.

В конце концов, остается только Z

Sst

И у нас есть Z

Sst

= ∅ тогда и только тогда, когда Z равно

незначительно (см. рис. 11). Уникальность Z

Sst

Следует из конструкции.

Пусть Z - полустабильное подмножество Γ. Уменьшение Γ

Z

Является результатом удаления

Немаркированные вершины второй валентности. Это не изменяет характеристику Эйлера

10

Джей Зи

U

НИГА

−→

−→

∅

Рисунок 11.

Превращение множества Z в Z

Sst

На графике слева есть

Нет помеченных точек, и поэтому в этом случае Z

Sst

= ∅.

e

Γ

Γ /{e}

Рисунок 12.

Коллапс ребра Γ относительно петли, образованной {e}.

Справа у нас есть Γ /{e} = Γ / Γ

{e}

∪ ˆ

Γ

{e}

Sst

где ˆ

Γ

{e}

Sst

Кор -

Отвечает полустабильным кругом.

так как вершины не помечены. Обозначим сокращение на ˆ

Γ

Z

. Сокращение
гомотопического круга без помеченных вершин, соответствующих полустабильному подмножеству
, на самом деле является полустабильным кругом.

Полустабильное подмножество Z является стабильным, если каждый компонент Γ

Z

то есть топологический
круг содержит помеченную вершину. Произвольное собственное подмножество Z содержит уникальное
максимальное устойчивое подмножество Z

ST

, который получается из Z

Sst

Избавившись от ком -

Элементы, представляющие собой топологические окружности без помеченных вершин.

Если Γ представляет собой ленточный граф с P- меткой, а Z ⊂ E(Γ) является произвольным подмножеством, определите

Краевой обвал

Γ уважение к Z как непересекающемуся союзу

Γ /Z = Γ / Γ

Z

⊔ ˆ

Γ

Z

Sst

С индуцированной P- маркировкой.

Замечание 2.8. Это обобщает определение 2.3, потому что, когда Z пренебрежимо мал, у нас должно
быть Z

Sst

= ∅ по лемме 2.7. Также обратите внимание, что если Z

1

∩ З

2

= ∅ тогда Γ /(Z

1

⊔ З

2

) =

(Γ /Z

1

)/Z

2

.

Следующим шагом является введение обобщения ленточных графиков, которое даст
клеточное разложение оформленного пространства модулей полустабильных римановых
поверхностей. Это похоже на определение Лоойенги в [Loo95, раздел 9.1], но потребовались некоторые
изменения.

Пусть Z является полустабильным. Когда Z сворачивается, это создает новый граф с, возможно
, новыми вершинами и новыми граничными циклами, которые будут называться исключительными (см. Рис.13).
Вершина в Γ / Γ

Z

представлена орбитой V ∈ σ

Γ / Γ

Z

0

Если какой - либо из элементов в V

является ли изображение под σ

0

Из элемента H

Z

Мы называем эту вершину исключительной. Этот

Означает, что некоторые из полуребер, связанных с этой вершиной, принадлежат H

Z

И некоторые

не. В таком случае существует соответствующая орбита B ∈ σ

Γ

Z

∞

Это не орбита

σ

∞

И имеет половинные кромки в H

Z

. Такое B ∈ σ

Γ

Z

∞

Называется исключительной границей

ПОЛУСТАБИЛЬНАЯ ГОМОЛОГИЯ ГРАФОВ

11

−→

Γ

Γ / Γ

Z

⊔

ˆ

Γ

Z

Sst

Рисунок 13.

Слева Z представляет набор ребер тета
- подграфа. Справа, после коллапса Z, выделены исключительная
вершина и исключительная пограничная компонента

Цикл

и связанный с ним подграф - исключительный граничный подграф.
Интуитивно исключительная вершина и исключительный граничный цикл соответствуют
двум точкам, возникающим в результате нормализации двойной узловой особенности в Surf(Γ)
после коллапса Z.

Рассмотрим инволюцию i без фиксированных точек на подмножестве N ⊂ V (Γ) ⊔ C(Γ).
Элементы N будут называться узлами. Два элемента одной и той же орбиты
связаны

и в этом случае мы также можем сказать, что соответствующие связанные
компоненты графика связаны. Острие - узлы и вершинные узлы
определяются очевидным образом. Эта инволюция позволяет нам идентифицировать точки в прибое (Γ).
Обозначим прибоем (Γ, i) поверхность, полученную в результате предыдущей идентификации. Пусть
Γ = ∪

я... Я

Γ

i

, где Γ

i

’s являются связанными компонентами Γ. Таким образом, мы имеем

π

0

(Γ) = {[ Γ

i

]} ∼

= I. Установите V

i

= V (Γ

i

), С

i

= C(Γ

i

) и N

′

i

= N (Γ

i

) для вершин,

Острия и узлы в i

th

составляющая Γ.

Отныне мы будем рассматривать только графики с инволюциями, для которых следующие

Применяются свойства.

(1) Связанный компонент графика не может быть связан сам с собой.
(2) Два полустабильных круга не могут быть связаны.
(3) Два острия полустабильного круга являются узлами.
(4) Вершинный узел может быть связан только с вершинным узлом и наоборот.
(5) Поверхностный прибой (Γ, i) должен быть подключен.

Пусть N = {0, 1, 2,...}. Порядок для Γ - это порядок функций: π

0

(Γ) → N, удовлетворяющее

Следующие свойства.

(i) Если ord([ Γ

i

]) = k > 0, то существует j такое, что ord([ Γ

j

]) = k − 1.

(ii) Пусть p ∈ N

′

i

и q = ι (p) ∈ N

′

j

. Затем p ∈ C

i

тогда и только тогда, когда q ∈ V

j

по свойству (4) в предыдущем списке. В этом случае мы также требуем, чтобы
ord([ Γ

j

])

i

]) держится.