Тригонометрические формулы Эйлера и Ленского

^{Формулы Эйлера}

Для функций комплексной переменной известна формула Эйлера, где из е^ιх = cosx + ιsinx, а так же е^-ιх = cosx – ιsinx получают е^ιх + е^-ιх = 2cosx.

Откуда

Точно так же получим для sinx.

е^ιх – е^-ιх = 2ιsinx.

Так как математики не заметили факт расщепления двухполярности до четырёхполярности, то, естественно, пропустили многообразие алгебр, где формула Эйлера есть частный случай, относящийся только к четырёхполярности.

Формулы Ленского

Если е^αх = cosx + αsinx, е^βх = cosx + βsinx, е^γх = cosx + γsinx, то в пространстве «сложения» получим е^αх + е^βх + е^γх = 3 cosx, так как α + β + γ = 0.

Отсюда получим выражение для cosx:

Точно так же для cosx любого числа пространств будет отношение соответствующего числа экспонент.

Если е^αх = cosx + αsinx, е^βх = cosx + βsinx,..., е^nх = cosx + nsinx, то

е^αх + е^βх +...+ е^nх = ncosx.

Для любого числа n изоморфных двухполярных алгебр «действительных чисел», но вошедших в непротиворечивое взаимодействие.

Если е^αх = cosx + αsinx умножить на α, то получим αе^αх = αcosx + α²sinx.

Аналогично βе^βх = βcosx + β²sinx, γе^γх = γcosx + γ²sinx.

Вводя во взаимодействие, получим αе^αх + βе^βх + γе^γх = (α + β + γ)cosx + (α² + β² + γ²) sinx.

Уже рассматривались три пространства, где α + β + γ = 0. В этой же харлоке α² = ι, β² = j, γ² = k.

Следовательно, αе^αх + βе^βх + γе^γх = (ι + j + k)sinx. Окончательно

Здесь полярности α, β, γ перешли в ι, j, k по законам трёхполярного пространства.

Для любого числа n изоморфных двухполярных алгебр, вошедших в харлоку

Следует подчеркнуть, что здесь синус и косинус - функции действительные.

 

 

Алгебры двух пространств

1. Класс с единицей 0 может иметь собственные полярности.

Запишем для класса с единицей ☼ и полярностями а, b, с закон а* b* с = ☼. Точно так же для класса с единицей 0 и полярностями A, B, C, D будет A + B + C + D = 0. Одновременно, как раньше было показано, а + b + с + ☼ = 0.

2. Это две изоморфные системы полярных отношений. Теперь они при введении в единый класс теряют свойство изоморфизма и становятся тождественными в различии.

3. Из предыдущего ясно, что класс с единицей ☼ выполняет законы отношений в этом классе. Например, а* b* с = ☼. Класс с единицей 0, тоже выполняет отношения этого класса. Например, A*B*C*D = 0.

Как соотносятся полярности разных классов?

Если между классами устанавливается отношение двух интенсивностей связей, то возможны варианты:

а) асимметричная алгебра, где в одном из пространств выполняется «умножение», а в другом – «сложение»;

б) алгебры, где симметрично происходят взаимодействия так, что, если в одном из них совершается «умножение», то эти полярности в другом пространстве совершают «сложение»;

в) пространства приобретают новый класс с охватывающей единицей ۞.

г) единицей может быть группа полярностей, или поляризованных объектов.

В современной арифметике и алгебре известен закон дистрибутивности, в котором для элементов а, в, с можно записать (а + в)с = ас + вс.

Если а* b* с = ☼ и A + B + C + D = 0, то интерес представляет отношение между полярностями разных пространств.

Что будет, например, в результате взаимоотношения а*А? Во-первых, это не может быть полярность из пространства «умножение». Однако возможно а*А = В. Тогда возьмём а*В = А, а*С = В, а*D =

Преимуществ у тех или иных полярностей нет, а общность классов полагает наличие охватывающего класса с единицей ۞. Поэтому в записи, например, (А + В)*а будет Аа + Ва. Если по привычке не смотреть на знак + как на «сумму», то эта запись очевидна и без доказательств, так как три объекта взаимодействуют друг с другом. Чтобы снять негативную привычку запишем отношение в классе с единицей 0 как (А)(В) и теперь (А) (В)*а. Естественно, что эти полярности должны «прореагировать» друг с другом. Поэтому (А)(В)*а = (Аа)(Ва).

4. Другое дело, если (А)(В)*(a)(b) = (Aa)(Ab)*(Ba)(Bb).

Теперь в привычной записи (А + В)*(a + b) = (Aa + Ab + Ba + Bb).

Записан известный закон дистрибутивности. Кстати, его можно логически доказать (кстати, его можно доказать, а не постулировать, как это сделано в современной математике), если исходить из свойств двух различающихся классов, охваченных в единый класс.

5. Тема двух различающихся классов озвучивается не случайно. Ещё раньше математики должны были догадаться, что, вводя во взаимоотношения «умножение» и «сложение», фактически получают кроме алгебры, новый класс, с новой единицей. Либо один из классов становится полностью «полярным» объектом, а другой – единицей.

6. Если до этого мы имели дело с «расширением» существующих алгебр с операциями «сложение» и «умножение» и вместо двухполярности получили разнообразие поляризованных пространств и алгебр в них, то теперь образуется некоторое «растекание».

7. Чем отличается такое «растекание»? В конкретном пространстве каждый объект взаимодействует не с одним, а единовременно с двумя объектами.

8. Выразим теперь весь класс как некоторый объект. В современных алгебрах имеется два таких объекта «сложение» (С) и «умножение» (У). Следовательно, они представятся как двухполярная лока операций. По законам локи 2 отношения между полярными объектами («сложением» и «умножением») будут: А) в первом случае, когда умножение (У) примет роль единицы; Б) во втором случае, когда сложение (С) станет единицей.

9. Из двух альтернативных вариантов в арифметике, а затем, алгебрах выбрали случай А). Если вспомнить, то из двух альтернативных правил умножения А) и Б)

была выбрана система отношений А). Система Б) умом всё же используется, но в альтруистических и религиозных концепциях. Например, для (–)(–) = –, считая «минус» отрицательным, можно сказать «уничтожение зла это всё же зло». Специально это рассмотрено в разделе «Виды ума».

10. Как понимать системы операций А) и Б)? С*У = С мы встречаем в законе дистрибутивности так, что в ходе взаимодействий полярностей «умножения» и «сложения» итоговые полярности остаются в «сложении».

Например, (а + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd. Если каждому произведению поставить в соответствие элемент, то есть, ac = e; bc = f; ad = g; bd = h, то получим e + f + g + h.

11. Операция С*С = У будет понятна из примера: 4 + 4 + 4 + 4 = 4 х 4 = 42.

12. Операция У*У = У понятна из того, что (а)(в)с = авс.

13. Для контраста рассмотрим альтернативную систему операций Б). Выражение У*У = С можно выразить примером 4 х 4 х 4 х 4 = 4 + 4. Необычно? Нет, не привычно.

14. Правомочность альтернативных, но не совместимых, систем отношений занимает своё место тогда, когда их «равноправие» вынуждает искать такой компромисс, когда противоречия не будет. Этот компромисс найден в диалектике и в трёхполярном виде ума. В диалектике «добро» и «зло» приводятся к единству, а в трёхполярном уме две несовместимые двухполярные системы А) и Б) переходят в трёхполярную.

15. Изоморфных лок поставленных в отношении друг к другу могло бы быть три. Например, если бы современная алгебра была представлена двумя различающимися классами, включёнными в один класс, то появилась бы ещё одна единица. Преимуществ у тех или иных полярностей нет, а общность классов полагает наличие охватывающего класса с единицей ۞.

16. Если в новом классе законы определены то, какие будут отношения с новой единицей? Более того, если в новом классе тоже есть полярные элементы, то какие взаимоотношения установятся с ними? Впрочем, сначала закономерно выйдем из ограничения Законом Сброса.

 

 

Ряды

Пусть — последовательность чисел. Число называется n -ой частичной суммой ряда

Сумма числового ряда — это предел частичных сумм Sn, если он существует и конечен.

Таким образом, если существует число , то в этом случае пишут .

Последовательности

Последовательности. Пусть — последовательность чисел.

Если эта последовательность хаотична и не имеет закономерностей, то для деятельности ума и математики не представляет интерес.

Если же последовательность имеет закономерность, то именно эта закономерность определит отношение к числам, либо вещественным объектам. Возьмём, например, натуральный ряд чисел:

Уже здесь выражен закон, позволяющий сократить бесконечную запись конечно.

Что же «оконечивает» бесконечность?

Интерес к любой последовательности вызывает не сама последовательность, а закономерность, которая и есть почва и шанс для ума. Не будь закономерности ум не найдёт опору в хаосе пустых перечислений!

Нет закономерностей – нет мышления.

Таким образом, любая последовательность математических объектов выражается не самой последовательностью, а законом отношений, которые есть представительство конкретной локи(локализованного пространства).

Поэтому, касательно рядов, сразу же можно отметить:

1. Не существует хаотических рядов;

2. Любая бесконечномерная последовательность есть поле существования конечного и конкретного закона отношений.

Эти выводы в корне меняют отношение к работам математиков в области рядов (ряды Тейлора, Фурье, Лорана и пр.). Ряды «сходящиеся» и «расходящиеся», ряды арифметической и геометрической прогрессии и пр., в конечном итоге, сведутся к некоторой формуле.

Чем определяется эта формула?

Локальностью (а она не бывает бесконечномерной) и законами отношения в локализованном пространстве (локе).

Какое место теперь займёт любая последовательность или любой ряд?

Всего лишь область существования, на которую направлены локальные законы. Но, и сам ум определённо или не определённо всегда имеет область, в которой он и устанавливает закономерности. Стоит ли тогда говорить специально о рядах?

Стоит. Однако ровно настолько, насколько можно установить межлокальные переходы и соотношения различных локализованных пространств.

Работы исследователей рядов (Тейлора, Маклорена, Эйлера, Лорана, Фурье и пр.) лягут в основу понимания межлокальных соотношений с позиций современного знания.

Естественно, что в будущем эта надобность отпадёт, так как межлокальные переходы и взаимосвязи можно устанавливать не столь сложным путём.

Впрочем, вернёмся к определению ряда. Ряды

Поляризованные ряды

Ряды

Всё хорошо по определению ряда как обобщение (суммирование) однополярных объектов.

Но вот появляются знакопеременные ряды. Для нас уже не секрет, что знак определяет полярность. Следовательно, появляются поляризованные числа.

В приведённом классическом случае стоит полярность (– 1).

Не склеивая полярности и вещественные объекты, получим возможность их группирования по выбранной полярности, то есть в ряде сумма будет однополярной.

Ряд может быть «знакопеременным», то есть с меняющимися полярностями. Полярности могут принадлежать только заданной локе.

Закон сброса

В таком ряде надлежит учитывать «Закон Сброса». Согласно этому закону

или то же самое

Это легко понять по аналогии с комплексными числами, где

Поэтому многополярный ряд представляет «остаток». В этом «остатке» не должно хватать одной полярности.

Итак, ряды, имеют вид:

а) группирования (суммирование) однополярных объектов;

б) группирование (суммирование) полярностей.

При группировании однополярных объектов законы отношений между объектами не меняются. Здесь могут быть «бесконечные» ряды, «сходящиеся» ряды, так как, в итоге, определится всего лишь количество данной полярности.

«Группирование» полярностей есть не что иное, как алгебра. Здесь никакой «бесконечности» и «сходимости» быть не может.

Закон сброса

Содержание [убрать] · 1 Сущность сброса o 1.1 Понятие Сброса o 1.2 Сброс в плоскостных пространствах o 1.3 Сброс в объёмных пространствах

Сущность сброса

Понятие Сброса

Закон сброса становится особой темой в следствии того осмысления, что сочинения математиков нескольких поколений строились на недомыслии. В пример тому не только "склеиваие" полярных состояний с вещественными объектами и путаница в них, но и распространение отношений между объектами на "бесконечные", взятие производных без учёта локальных отношений и пр.

Теперь уместно обратить внимание на то, что в любом знакопеременном ряду, как и в любой алгебре есть некоторый сброс.

1. Для наработки понятий начнём с известного. В алгебре «действительных чисел» +7а – 5а = +2а. Куда делись +5а и – 5а? Это же самое в арифметике +14 – 9 = +5. Куда делись +9 и – 9? Давайте обратимся к конкретике, так как арифметика начиналась с вещественных объектов. Если было 14 лошадей, то они как были, так и остались. Лишь субъективное отношение по законам ума свершает сброс.

Итак, в мире действительных восприятий сброса вещественных объектов не совершается. Сброс есть в мире ума. Так как человечество живёт в мире реализованного ума, то и тут есть сброс; отдав долг, человек совершает сброс в своём кошельке, хотя деньги никуда не исчезают. Если поляризованных объектов много, то сброс может быть и не двухполярный, как в современных знаниях.

2. Если есть некоторое пространство (класс) с единицей 0, но так, что в нём существуют единичные полярности а, b, c, d, …, e, то можно записать a + 0 = a, b + 0 = b, …., e + 0 = е, где знак + есть символ взаимодействия для выбранного пространства. Для этого пространства выполним Закон Сброса, когда

a + b + c +…+e = 0.

3. Это касается любого подобного пространства. Такая оговорка сделана для того, чтобы по привычке не считалось, что сие относится к «сложению». Можно записать для полярностей i, j, …, k и единицы ☼ точно так же i*☼ = i, j*☼ = j, …, k*☼ = k, а так же Закон Сброса i*j*…*k = ☼, где *- знак полярных взаимодействий.

4. Над полем некоторой последовательности полярностей можно поставить правило отношений. Однако это правило будет чётко определено числом пространств и числом интенсивностей связи. Над полем предполагаемой алгебры производится исследование на не противоречие и установление законов отношений.

Например.

В современной теории групп «двум обратным элементам ставится в соответствие единица». Естественно, что это возможно, начиная с трёх полярных объектов в локе. Поэтому в теории групп берется «деление». Никто не заметил, что «деление» это не действие обратное «умножению», а увеличение пространства ещё на одну полярность. В умножении всего два полярных состояния + и –, а в умножении а*а ^-1= е, то есть их три. В «умножении роль единицы выполняет + так, что (+)(+) = +, то есть вторая полярность, а в «делении» эту роль выполняет третья полярность. Таким образом «умножение» есть двухполярное, а «деление» трёхполярное пространство. Кстати, заметим, что двухполярность и трёхполярность не «соизмеримы». По этой причине теория групп не была развита до трёхполярной алгебры. Однако алгеброй над полем двухполярного и трёхполярного пространства можно получить общность.

5. Запишем в общем случае постановку в соответствие двум полярностям третей: для некоторых полярностей i, j поставим в соответствие k. Теперь i*j = k.

Провозглашение этого правила не есть некоторая конечная декларация. В локе это сразу же повлечёт последствия. Например, возьмём локу с четырьмя полярностями А, В, С, ☼. Если А*В = С, то какими будут А*С, а так же В*С? Если А*С = ☼, то В*С = А. Это не противоречивая четырёхполярная лока. Однако в ней может появиться необходимость допустить взаимодействие полярности с самой собой. Такое мы встречаем в современных алгебрах. Например (–)(–) = +, (– i)(– i) = –. Такое правило доказывается по принципу тождества, Так, если А*В = А*С, то В ≡ С.

6. Если взаимодействие полярности с самой собой исключить, то опять произвола не будет. Например, для А*В = ☼ вариаций нет. Поэтому можно записать изоморфную локу C*D = ☼, тогда по принципу тождества можно записать А*В*С*D = ☼. Точно так же будет A*B*C*D*E*F = ☼. Это можно продолжить для любых чётных сочетаний полярностей, исключая единицу, например, A*B*C*D*E*F*G*H = ☼ содержит четыре «двойки».

7. Аналогично для четырёх полярностей А, В, С, ☼ можно исключить взаимодействие полярности с самой собой. Тогда А*В*С = ☼. Следовательно, для D, E, F, ☼ будет D*E*F = ☼. Отсюда по тождеству A*B*C*D*E*F = ☼. Можно вывести правило для любого сочетания полярностей кратного трём, если из числа полярностей исключить единицу.

8. Теперь видно, что это и есть Закон Сброса для полярных состояний. Остаётся добавить только вещественное количество а к этим полярностям. Применяем не знак *, а знак +, а так же в качестве единицы возьмём 0 и запишем Аа + Ва + С а +….+F а = 0. (по аналогии +а - а = 0).

9. Особо отмечу, что известные законы алгебр зачастую не применимы в многополярных алгебрах. Например, для Аа + Ва +….+F а = Са нельзя при переносе полярности через знак равенства менять его на «противоположный», то есть Аа +….+F а ≠ Са – Ва.

10. Выражение A*B*C*D*E*F = ☼ по числу полярностей, исключая единицу, кратно и двум и трём. Это и есть тот случай, когда законы одной локи выполняются в другой. В качества примера возьмём четырёхполярную алгебру «комплексных чисел», где для полярностей +, –, +i, – i выполняются двухполярные законы алгебры «действительных» чисел (+1) + (–1) = 0, (+ i) + (– i) = 0.

11. В целом, взаимодействию полярностей во всём их локальном наборе можно поставить в соответствие единицу, то есть A*B*C*…*F = ☼ или Аа +Ва +С а +….+F а = 0 или ia ^ ja ^ka ^….^ fa = ۞. При этом отношения двух или нескольких поляризованных объектов не определены результатом. Иными словами, для любых А*В или А*В*С и т.п. не определяются одна полярность, которую можно поставить им в соответствие. Эта оговорка сделана не случайно; существуют локи, в которых двум объектам нельзя поставить в соответствие третий или трём объектам нельзя поставить в соответствие четвёртый объект.

12. Таким образом, Закон Сброса охватывает сугубо специфические классы полярных объектов. Иными словами, это не единственная форма отношений в локах (пространствах и алгебрах).