Широкополосного согласования

ОСНОВЫ ТЕОРИИ

ШИРОКОПОЛОСНОГО СОГЛАСОВАНИЯ

ПРОИЗВОЛЬНЫХ ИМПЕДАНСОВ

Программа, методические указания и контрольные задания

для студентов III курса факультета «Радиотехника, электроника

И физика» специальности 2301 заочного отделения

 

Новосибирск

2006

УДК 621.372.512(07)

О-753

 

Рецензент канд. техн. наук, доц. В.Р. Снурницин

 

Составитель канд. техн. наук, доц. В.А. Яковенко

 

 

Работа подготовлена на кафедре радиоприемных

и радиопередающих устройств

 

© Новосибирский государственный

                                                                         технический университет, 2006

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Целями изучения дисциплины «Теоретические основы широкополосного согласования произвольных импедансов» (ТОС) являются освоение студентами знаний основ теории широкополосного согласования комплексных нагрузок, приобретение навыков построения и расчета согласующих цепей, умений использования теоретических сведений в решении практических инженерных задач и получение навыков расчета, проектирования и исследования широкополосных радиоэлектронных устройств.

Настоящая работа предназначена для студентов заочного отделения факультета «Радиотехника, электроника и физика», обучающихся по специальности 2301 (Радиотехника), в качестве руководства при изучения ими дисциплины ТОС. В процессе изучения студент должен освоить теоретический материал в соответствии с программой по рекомендуемой литературе, решить задачи контрольной работы и выполнить лабораторные работы. По результатам выполнения контрольной и лабораторных работ осуществляется допуск к зачету, на который выносится теоретический материал дисциплины.

Ниже приведены программа, задания к контрольной работе, методические указания к изучению теоретического материала и выполнению контрольной работы, а также вопросы для самостоятельной проверки качества усвоения изучаемого материала и список рекомендуемой литературы.

 

 

I. ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

И КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Введение

Постановка задачи согласования комплексных нагрузок. Принципы, теоретические и технические проблемы согласования. Баланс мощности на входе согласующей цепи. Характеристики и параметры качества согласования. Роль согласования в радиотехнике. История развития теории широкополосного согласования.

Методические указания

 

При изучении материала этого раздела следует уяснить принципиальную необходимость применения согласующей цепи (СЦ) в том случае, когда требуется передать максимально возможную мощность от генератора в комплексную нагрузку в широкой полосе частот. Это объясняется тем, что выходное сопротивление генератора и сопротивление нагрузки задаются независимо, а для передачи максимальной мощности в нагрузку необходимо, чтобы сопротивление нагрузки было комплексно сопряженным по отношению к выходному сопротивлению генератора. Постановка между генератором и нагрузкой пассивной реактивной цепи (согласующей цепи) разрешает это противоречие, поскольку в этом случае выбором соответствующей структуры СЦ и параметров ее элементов возможно обеспечить с некоторым допуском в заданной полосе частот комплексную сопряженность входного сопротивления нагруженной на заданную нагрузку СЦ по отношению к выходному сопротивлению генератора. При этом, поскольку СЦ реактивная и в ней не рассеивается мощность, вся проходящая в СЦ мощность будет выделяться в активной составляющей сопротивления нагрузки.

В этом же разделе курса необходимо уяснить, что качество согласования может быть оценено с помощью частотных характеристик модуля коэффициента отражения, коэффициента стоячей волны, коэффициента бегущей волны или модуля коэффициента передачи. Следует также понять, что все эти характеристики с точки зрения оценки качества согласования эквивалентны и по любой из них могут быть определены все остальные характеристики.

Следует также понять место и важность проблемы согласования в радиотехнике.

Литература: [1, с. 3–6; 2, с. 5–9; 3, с. 5–9].

Вопросы для самопроверки

 

1. Обоснуйте необходимость согласующей цепи при передаче мощности от генератора в нагрузку.

2. Что является условием передачи максимальной мощности от генератора в нагрузку?

3. Какие характеристики и их параметры используются для оценки качества широкополосного согласования комплексных нагрузок?

4. Поясните связь между различными характеристиками качества согласования.

 

Методические указания

 

При изучении материала этого раздела курса следует принять, что задача построения СЦ в конечном итоге сводится к синтезу двухполюсника по его входному иммитансу (входному сопротивлению или входной проводимости). Этим двухполюсником является нагруженная на заданную комплексную нагрузку СЦ. Среди большого количества разработанных на сегодня методов синтеза наиболее часто используются комбинированный метод Фостера и метод Кауэра, суть которых вам предстоит изучить.

Важным в теории линейных электрических цепей является понятие системной функции цепи и ее аналитического продолжения. Переход от функции цепи к ее аналитическому продолжению позволяет использовать при анализе электрических цепей хорошо разработанный аппарат теории функций комплексного переменного. В качестве системной функции при синтезе электрических цепей выступает функция входного иммитанса. Эта функция может соответствовать какой-либо физически реализуемой цепи, т.е. цепи, состоящей из неотрицательных индуктивностей, емкостей и резисторов. В этом случае системная функция цепи называется физически реализуемой. Прежде чем приступить к синтезу цепи, необходимо убедиться в ее физической реализуемости. Необходимыми и достаточными условиями физической реализуемости функции входного иммитанса являются ее вещественность и положительность. Однако проверка на вещественность и положительность достаточно сложна, поэтому ее проводят поэтапно, начиная с более простых необходимых, но не достаточных условий. Последним этапом является проверка на принадлежность функции к классу положительных вещественных функций, например, методом Штурма. Если результаты проверки показали, что функция входного иммитанса цепи физически реализуема, можно приступить к синтезу цепи, который осуществляется одним из известных методов, например методом Фостера или Кауэра. Метод Фостера основан на разложении функции входного иммитанса цепи на элементарные дроби, метод Кауэра – на разложении функции входного иммитанса цепи в цепную дробь.

Литература: [4, с. 164–193; 2, с. 23–30, 34–37].

 

Вопросы для самопроверки

1. Поясните исходные предпосылки и задачу синтеза линейной электрической цепи.

2. Дайте определение системной функции цепи и ее аналитического продолжения.

3. Что является условием вещественности и положительности линейной электрической цепи?

4. Изложите последовательность проверки функции входного иммитанса цепи на физическую реализуемость.

5. Изложите суть синтеза линейного двухполюсника по методу Фостера, по методу Кауэра.

 

Проблема аппрОксимации

Методические указания

 

Синтез СЦ осуществляется по функции ее входного иммитанса, которой однозначно соответствует функция ее рабочего затухания. Функция рабочего затухания цепи должна по возможности минимально уклоняться от идеальной характеристики рабочего затухания. Выбор вида и параметров функции рабочего затухания осуществляется на начальном этапе построения СЦ. Выбор функции рабочего затухания, наименее уклоняющейся от идеальной характеристики при условии возможности ее реализации физически реализуемой цепью с конечным числом элементов, и составляет задачу аппроксимации в теории электрических цепей. Вид аппроксимации определяется критерием близости. При этом наиболее часто на практике используются тейлоровская (или Баттерворта, максимально плоская, максимально гладкая) и чебышевская (равноволновая) аппроксимации. По функции рабочего затухания с помощью метода спектральной факторизации определяется функция коэффициента отражения. Суть метода спектральной факторизации состоит в сортировании корней полиномов числителя и знаменателя произведения . Это произведение определяется по выбранной функции рабочего затухания. Корни полиномов числителя и знаменателя , лежащие в левой полуплоскости, относятся к функции , в правой полуплоскости – к . Таким образом, отыскав лежащие в левой полуплоскости корни полиномов числителя и знаменателя , можно определить . Затем по функции коэффициента отражения определяются функция входного иммитанса и синтез цепи.

Нормирование элементов цепи производится для удобства расчетов. Частотные преобразования позволяют из простой в расчете цепи типа фильтра нижних частот (ФНЧ) получить полоснопропускающую цепь. При таком преобразовании полоса и качество согласования сохраняются, а каждая последовательная индуктивность исходной цепи ФНЧ дополняется последовательной емкостью, каждая параллельная емкость – параллельной индуктивностью. Все образованные таким образом последовательные и параллельные контуры должны быть настроены на среднюю частоту полосы согласования.

Литература: [5, с. 86–109; 6, с. 269–283; 2, с. 37–45].

      

Вопросы для самопроверки

 

1. Для чего необходима и в чем состоит суть аппроксимации характеристик линейной электрической цепи?

2. Нарисуйте частотные характеристики рабочего затухания и модуля коэффициента отражения при максимально плоской и чебышевской аппроксимациях.

3. Поясните суть метода спектральной факторизации в процессе определения функции коэффициента отражения цепи.

4. Для чего применяются и в чем суть нормирования элементов цепи?

5. Изложите свойства и последовательность преобразования цепи типа ФНЧ в полосовую цепь.

 

Боде–Фано

 

Постановка задачи согласования по методу Боде–Фано. Условия физической реализуемости согласующей цепи и их математическая формулировка. Теоретические ограничения на качество и полосу согласования комплексной нагрузки. Определение структуры и параметров элементов согласующей цепи. Примеры синтеза согласующих цепей по методу Боде–Фано.

 

Методические указания

 

Конечной целью теории Боде–Фано, равно как и любой другой теории широкополосного согласования, является отыскание способа нахождения структуры и параметров элементов физически реализуемой СЦ, осуществляющей согласование заданной комплексной нагрузки в заданной рабочей полосе частот. Исходной в этой задаче является полученная на этапе аппроксимации функция коэффициента отражения, коэффициенты полиномов числителя и знаменателя которой выражаются через два неизвестных параметра аппроксимации – и  при тейлоровской аппроксимации,  и  – при чебышевской. Для определения этих параметров необходимо составить два уравнения, которые требуют двух условий. Такими условиями являются прежде всего условия физической реализуемости СЦ или эквивалентные им условия физической реализуемости функции коэффициента отраже-ния. В теории Боде–Фано эти условия сводятся к требованиям равенства конечного числа коэффициентов разложения функций  и  в нулях передачи, т.е. при наличии и отсутствии СЦ. Эти равенства являются математической формулировкой условий физической реализуемости согласующей цепи. Нулями передачи считаются нули коэффициента передачи реактивного четырехполюсника нагрузки, лежащие в правой полуплоскости и на мнимой оси. В простейшем случае одного простого (не кратного) нуля передачи при  или  получаем одно условие физической реализуемости и, следовательно, одно уравнение. Второе уравнение получается из условия оптимальности СЦ, т.е. обеспечения цепью наилучшего качества согласования в заданной полосе или максимальной полосы при заданном качестве согласования. Оптимизацию цепи можно произвести посредством сведения оптимизируемого параметра (модуля коэффициента отражения при заданной полосе согласования или полосы согласования при заданном качестве согласования) к функции одной переменной или с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа [7]. Эти методы применительно к решаемой задаче рассмотрены в [2]. Условия физической реализуемости и оптимальности цепи позволяют получить оптимальные значения параметров аппроксимации  и  (или  и ), с помощью которых определяются коэффициенты полиномов числителя и знаменателя , затем входное сопротивление  и осуществляется синтез СЦ.

Из теории Боде–Фано следует, что на качество и полосу согласования существуют теоретические ограничения, которые полностью определяются параметрами нагрузки. Для простых нагрузок типа параллельного или последовательного соединений индуктивности, емкости и резистора таким параметром является добротность, которая определяется как добротность контура, образованного достройкой нагрузки дополнительной емкостью или индуктивностью до резонанса на средней частоте полосы согласования. Достижимое (наилучшее) качество согласования при заданной полосе или максимальная полоса согласования при заданном качестве в теории Боде–Фано определяется из системы интегральных уравнений, которая разрешима лишь в частных случаях простых нагрузок при бесконечном числе элементов СЦ. Из теории следует, что при расширении полосы согласования качество согласования ухудшается. При увеличении числа элементов СЦ качество согласования в заданной полосе может быть улучшено или может быть увеличена полоса согласования при заданном качестве.

Литература: [2, с. 45–67; 3, с. 9–45].

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Изложите исходные предпосылки и сформулируйте задачу согласования по методу Боде–Фано.

2. Что является условием физической реализуемости согласующей цепи в методе Боде–Фано?

3. Поясните математическую формулировку условий физической реализуемости в методе Боде–Фано.

4. Какими способами и в какой последовательности осуществляется оптимизация СЦ?

5. Изложите последовательность решения задачи широкополосного согласования по методу Боде–Фано.

6. Чем определяются потенциальные возможности согласования комплексной нагрузки?

7. Какими способами можно расширить полосу согласования заданной комплексной нагрузки?

 

Методические указания

 

Теория Юлы базируется на понятии нуля передачи и уравнении физической реализуемости. Нулем передачи являются нули функции , лежащие в правой полуплоскости и на мнимой оси, а уравнением физической реализуемости является

 

.

 

Здесь  – фазовая функция, которая определяется полюсами , а . Нули передачи в теории Юлы делятся на четыре класса. Признаками отнесения нуля к тому или иному классу являются место расположения нуля на комплексной плоскости (в правой полуплоскости или на мнимой оси) и значение модуля сопротивления нагрузки в нуле передачи (нуль, конечное значение или бесконечность). Математической формулировкой условий физической реализуемости СЦ являются системы равенств, в которые входят коэффициенты разложения в ряды Лорана фазовой функции  и , полностью определяемые параметрами нагрузки, и коэффициенты ряда Лорана для , в которые входят неизвестные параметры аппроксимации и  (или  и ). В простейшем случае простого нуля передачи при  или  условие физической реализуемости дает одно уравнение. Второе уравнение получается из условия оптимальности СЦ. Оптимизация цепи осуществляется теми же способами, что и в методе Боде–Фано. Из полученных уравнений находят оптимальные параметры аппроксимации и  (или  и ), что дает возможность определить коэффициенты полиномов числителя и знаменателя , затем входное сопротивление  и осуществить синтез СЦ.

Литература: [2, с. 67–76; 5, с. 152–156].

Вопросы для самопроверки

1. Изложите исходные предпосылки и сформулируйте задачу согласования по методу Юлы.

2. Поясните понятие нуля и класса нуля передачи в теории Юлы.

3. Как определяется в теории Юлы фазовая функция ?

3. Что является условиями физической реализуемости согласующей цепи в теории Юлы?

4. Изложите последовательность решения задачи широкополосного согласования по методу Юлы.

 

Решение задачи согласования

Методические указания

 

При изучении материала этого раздела курса необходимо уяснить основные понятия теории одиночных и связанных контуров. Исходной при решении задачи согласования при этом является частотная характеристика модуля коэффициента передачи системы связанных контуров. Из этой характеристики при наложении определенных условий определяется минимальное значение максимума коэффициента стоячей волны как функция полосовой добротности нагрузки. Это соотношение, позволяющее оценить потенциальные возможности согласования комплексной нагрузки цепью с конечным числом элементов, может быть получено для полиномиальной и оптимальной СЦ при чебышевской и максимально плоской характеристиках рабочего затухания.

Определение параметров элементов согласующей цепи в виде системы связанных контуров производится с использованием понятия парциальных контуров системы и формул для определения резонансной частоты, добротности, характеристического сопротивления и коэффициента связи между контурами.

Литература: [2, с. 76–90].

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Поясните понятия характеристического сопротивления, резонансной частоты, добротности, резонансного сопротивления и частотной характеристики коэффициента передачи одиночных последовательного и параллельного контуров.

2. Как определяются приведенная добротность, коэффициент связи и парциальные контуры для системы двух связанных контуров?

3. Какой параметр нагрузки определяет потенциальные возможности ее согласования?

4. В чем различия полиномиальных и оптимальных согласующих цепей?

5. Изложите последовательность определения параметров элементов на конкретном примере двухзвенной согласующей цепи.

 

Заключение

 

Состояние теории и проблемы широкополосного согласования комплексных нагрузок.

Литература: [2, с. 90].

 

Вопросы для самопроверки

 

1. В чем состоит проблема широкополосного согласования сложных комплексных нагрузок?

 

II. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ

УКАЗАНИЯ ДЛЯ ЕГО ВЫПОЛНЕНИЯ

 

1. Контрольное задание

Произвести расчет двухзвенной согласующей цепи комплексной нагрузки по методам Боде–Фано и Юлы. Исходные данные для расчета приведены в табл. 1. Вид аппроксимации частотных характеристик СЦ для расчета по методу Боде–Фано задан в последнем столбце таблицы. Для расчета согласующей цепи по методу Юлы следует взять другую из двух возможных аппроксимацию. Заданная параметрами ее эле-
ментов нагрузка последовательного типа (последовательное соединение  и ). Способ расчета (на наилучшее качество согласо-
вания или на максимум полосы) зависит от исходных данных таблицы. Если в таблице заданы , то расчет производится на минимум , т.е. на наилучшее качество согласования в заданной полосе.

 

Т а б л и ц а 1

 

Номер варианта	f н, ГГц	f в, ГГц	f 0, ГГц	| Г |max	R н, Ом	L н, нГн	С н, пФ	R г, Ом	Вид аппроксимации
1	0.4	0.6	–	–	5	3.9	40.0	75	тейлор.
2	–	–	0.8	0.20	4	3.2	15.0	75	тейлор.
3	0.8	1.0	–	–	6	4.6	8.5	50	чебыш.
4	–	–	0.9	0.18	3	2.4	18.0	50	чебыш.
5	1.0	1.2	–	–	5	3.8	6.8	75	тейлор.
6	–	–	1.0	0.16	2	1.6	18.3	75	тейлор.
7	1.3	1.5	–	–	4	3.0	5.6	50	чебыш.
8	–	–	1.1	0.18	3	2.2	6.4	50	чебыш.
9	1.6	1.8	–	–	5	3.6	2.2	75	тейлор.
10	-	–	1.2	0.15	4	3.0	5.3	75	тейлор.
11	1.9	2.1	–	–	5	4.0	2.5	50	чебыш.
12	–	–	1.3	0.20	3	2.5	5.1	50	чебыш.
13	0.7	0.9	–	–	6	4.9	7.1	75	тейлор.
14	–	–	1.4	0.22	5	3.7	5.8	75	тейлор.
15	1.1	1.3	–	–	3	2.3	6.0	50	чебыш.
16	–	–	1.5	0.20	4	3.3	5.4	50	чебыш.
17	0.9	1.1	–	–	3	2.1	18.0	75	тейлор.
18	–	–	1.6	0.25	5	3.1	5.4	75	тейлор.

 

Если же заданы  и , то расчет производится на максимум полосы согласования при заданном качестве согласования. Заданный в таблице способ расчета следует применить при расчете СЦ методом Боде–Фано. Для расчета СЦ по методу Юлы следует взять другой из двух возможных. При этом  или  и следует взять из результатов расчета по методу Боде–Фано.

 

Методические указания

 

Перед выполнением контрольной работы следует изучить теоретический материал курса. Исходные данные для расчетов сведены в табл. 1. Номер варианта задания определяется как сумма двух последних цифр номера зачетной книжки. Целью расчетов является определение структуры и параметров элементов согласующей цепи.

По каждому из методов расчета СЦ (Боде–Фано и Юлы) возможны четыре варианта расчета: на максимальное значение полосы согласования при заданном качестве согласования и на минимум  
в заданной полосе  при максимально плоской и чебышевской частотных характеристиках рабочего затухания СЦ. Все эти варианты расчетов имеют свои особенности и рассмотрены ниже.

Вариант расчета 1. Метод Боде–Фано.

В заданной полосе

     

В этом случае заданы нижняя и верхняя частоты полосы согласования , , параметры нагрузки и выходное сопротивление генератора. Расчет может быть проведен в следующей последовательности.

1. Достроим нагрузку до резонанса на средней частоте полосы согласования. Для этого определим среднюю частоту заданной полосы  и резонансную частоту нагрузки . Если , то последовательно с нагрузкой включают дополнительную индуктивность , где . Если же , то достройка нагрузки до резонанса на частоте  осуществляется последовательным включением дополнительной емкости , где . Вначале проведем расчет низкочастотного (НЧ) эквивалента СЦ с последующим преобразованием низкочастотного эквивалента в полосовую СЦ. При этом в качестве НЧ эквивалента нагрузки следует взять , если , если и R _н. Емкость нагрузки будет восстановлена при преобразовании НЧ эквивалента СЦ в полосовую цепь.

2. Осуществим нормировку элементов  и  относительно  и частоты среза низкочастотного эквивалента СЦ . При этом . Штрихами помечены нормированные элементы.

3. Определим оптимальные значения параметров аппроксимации  и  из условий физической реализуемости СЦ и наилучшего качества согласования (минимального значения ) в заданной полосе. Реактивный четырехполюсник нагрузки (рис.1) имеет простой нуль передачи при , так как при  сопротивление индуктивности нагрузки бесконечно велико и от генератора в  мощность не проходит. Это дает одно условие физической реализуемости . Здесь  и  – коэффициенты разложения функций  и  в ряды Лорана в нуле передачи, а  и  – коэффициенты отражения в сечении подключения  при наличии и отсутствии СЦ соответственно (рис. 1, а и б).

 

 

                                      а                                             б

Рис.1

 

Коэффициент  зависит исключительно от параметров нагрузки и в данном случае равен . Коэффициент  определяется функцией , которая для двухзвенной цепи задается отношением полиномов второй степени

                           .

Коэффициенты полиномов числителя и знаменателя  выражаются через параметры аппроксимации  и , и в данном случае тейлоровской аппроксимации они равны [6, с. 40]

 

  

 

Здесь  принимает значения  – коэффициенты стандартных по-линомов Баттерворта. Для  (двухзвенная СЦ)

Выполняя разложение функции , получим условие физической реализуемости СЦ [2, с. 59]

.

 

Вторым необходимым для нахождения неизвестных параметров аппроксимации условием является условие оптимальности СЦ по критерию минимума . Для того чтобы учесть это условие, выразим из уравнения физической реализуемости :

 

 

и подставим это выражение в выражение для . В результате получим  как функцию одной переменной :

.

 

Оптимальное значение  определяется из условия [7, с. 319]

 

                       

 

Это уравнение не разрешается относительно . Вместе с тем для практически важных случаев малых   с достаточной для практики

 

точностью  может быть определено из приближенного выражения

 

Оптимальное значение  находят с помощью полученного выше из условия физической реализуемости выражения и известного значения .

Точные значения  и  могут быть определены из табл. 4.1 [2, с. 60].

4. По известным параметрам аппроксимации  и  определяем коэффициенты полиномов числителя и знаменателя  и получившееся минимально возможное значение масимума модуля коэффициента отражения:

 

  

 

5. Далее по найденному выражению для  определяем нормированное входное сопротивление цепи относительно точек подключения  (рис. 2):

.

 

Здесь .

6. Затем по найденной функции методом Кауэра синтезируем СЦ. Для этого дробно-рациональную функцию  разлагаем в цепную дробь [2, с. 34]:

.

Получившееся расчетное сопротивление генератора , как правило, не равно заданному. Поэтому на входе СЦ следует включить идеальный трансформатор с коэффициентом трансформации .
В результате синтеза приходим к низкочастотному эквиваленту СЦ (рис. 2, а).

               а                                                                   б

Рис. 2

 

7. Производим денормировку элементов и преобразуем низкочастотный эквивалент цепи в полосовую СЦ (рис. 2, б):

 

.

 

Если , то , а . Если же , то , а  (отсутствует). Величины  и  определены на первом этапе расчета.

На этом расчет заканчивается.

 

Вариант расчета 2. Метод Боде–Фано.

Расчет на максимум полосы

Вариант расчета 3. Метод Боде–Фано.

Чебышевская аппроксимация,

В заданной полосе

 

В этом случае заданны , , параметры нагрузки и выходное сопротивление генератора. Расчет может быть осуществлен в следующей последовательности.

1. Достроим нагрузку до резонанса на средней частоте полосы согласования. Для этого определим среднюю частоту полосы согласования  и резонансную частоту нагрузки . Если , то последовательно с нагрузкой следует включить до-
полнительную индуктивность , где . Если же , то достройка нагрузки до резонанса на средней частоте  осуществляется последовательным включением дополнительной емкости , где . Вначале проведем расчет низкочастотного эквивалента СЦ с последующим его преобразованием в полосовую соглас