Теория широкополосного согласования

Боде–Фано

Постановка задачи согласования по методу Боде–Фано. Условия физической реализуемости согласующей цепи и их математическая формулировка. Теоретические ограничения на качество и полосу согласования комплексной нагрузки. Определение структуры и параметров элементов согласующей цепи. Примеры синтеза согласующих цепей по методу Боде–Фано.

Методические указания

Конечной целью теории Боде–Фано, равно как и любой другой теории широкополосного согласования, является отыскание способа нахождения структуры и параметров элементов физически реализуемой СЦ, осуществляющей согласование заданной комплексной нагрузки в заданной рабочей полосе частот. Исходной в этой задаче является полученная на этапе аппроксимации функция коэффициента отражения, коэффициенты полиномов числителя и знаменателя которой выражаются через два неизвестных параметра аппроксимации – и  при тейлоровской аппроксимации,  и  – при чебышевской. Для определения этих параметров необходимо составить два уравнения, которые требуют двух условий. Такими условиями являются прежде всего условия физической реализуемости СЦ или эквивалентные им условия физической реализуемости функции коэффициента отраже-ния. В теории Боде–Фано эти условия сводятся к требованиям равенства конечного числа коэффициентов разложения функций  и  в нулях передачи, т.е. при наличии и отсутствии СЦ. Эти равенства являются математической формулировкой условий физической реализуемости согласующей цепи. Нулями передачи считаются нули коэффициента передачи реактивного четырехполюсника нагрузки, лежащие в правой полуплоскости и на мнимой оси. В простейшем случае одного простого (не кратного) нуля передачи при  или  получаем одно условие физической реализуемости и, следовательно, одно уравнение. Второе уравнение получается из условия оптимальности СЦ, т.е. обеспечения цепью наилучшего качества согласования в заданной полосе или максимальной полосы при заданном качестве согласования. Оптимизацию цепи можно произвести посредством сведения оптимизируемого параметра (модуля коэффициента отражения при заданной полосе согласования или полосы согласования при заданном качестве согласования) к функции одной переменной или с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа [7]. Эти методы применительно к решаемой задаче рассмотрены в [2]. Условия физической реализуемости и оптимальности цепи позволяют получить оптимальные значения параметров аппроксимации  и  (или  и ), с помощью которых определяются коэффициенты полиномов числителя и знаменателя , затем входное сопротивление  и осуществляется синтез СЦ.

Из теории Боде–Фано следует, что на качество и полосу согласования существуют теоретические ограничения, которые полностью определяются параметрами нагрузки. Для простых нагрузок типа параллельного или последовательного соединений индуктивности, емкости и резистора таким параметром является добротность, которая определяется как добротность контура, образованного достройкой нагрузки дополнительной емкостью или индуктивностью до резонанса на средней частоте полосы согласования. Достижимое (наилучшее) качество согласования при заданной полосе или максимальная полоса согласования при заданном качестве в теории Боде–Фано определяется из системы интегральных уравнений, которая разрешима лишь в частных случаях простых нагрузок при бесконечном числе элементов СЦ. Из теории следует, что при расширении полосы согласования качество согласования ухудшается. При увеличении числа элементов СЦ качество согласования в заданной полосе может быть улучшено или может быть увеличена полоса согласования при заданном качестве.

Литература: [2, с. 45–67; 3, с. 9–45].

Вопросы для самопроверки

1. Изложите исходные предпосылки и сформулируйте задачу согласования по методу Боде–Фано.

2. Что является условием физической реализуемости согласующей цепи в методе Боде–Фано?

3. Поясните математическую формулировку условий физической реализуемости в методе Боде–Фано.

4. Какими способами и в какой последовательности осуществляется оптимизация СЦ?

5. Изложите последовательность решения задачи широкополосного согласования по методу Боде–Фано.

6. Чем определяются потенциальные возможности согласования комплексной нагрузки?

7. Какими способами можно расширить полосу согласования заданной комплексной нагрузки?