Синтез линейных электрических цепей

 

Постановка задачи синтеза линейной электрической цепи. Системная функция цепи, ее аналитическое продолжение и условия физической реализуемости. Положительные вещест­венные функции. Методы проверки функции входного иммитанса цепи на фи­зическую реализуемость. Синтез линейных двухполюсников по Фостеру и Кау­эру.

 

Методические указания

 

При изучении материала этого раздела курса следует принять, что задача построения СЦ в конечном итоге сводится к синтезу двухполюсника по его входному иммитансу (входному сопротивлению или входной проводимости). Этим двухполюсником является нагруженная на заданную комплексную нагрузку СЦ. Среди большого количества разработанных на сегодня методов синтеза наиболее часто используются комбинированный метод Фостера и метод Кауэра, суть которых вам предстоит изучить.

Важным в теории линейных электрических цепей является понятие системной функции цепи и ее аналитического продолжения. Переход от функции цепи к ее аналитическому продолжению позволяет использовать при анализе электрических цепей хорошо разработанный аппарат теории функций комплексного переменного. В качестве системной функции при синтезе электрических цепей выступает функция входного иммитанса. Эта функция может соответствовать какой-либо физически реализуемой цепи, т.е. цепи, состоящей из неотрицательных индуктивностей, емкостей и резисторов. В этом случае системная функция цепи называется физически реализуемой. Прежде чем приступить к синтезу цепи, необходимо убедиться в ее физической реализуемости. Необходимыми и достаточными условиями физической реализуемости функции входного иммитанса являются ее вещественность и положительность. Однако проверка на вещественность и положительность достаточно сложна, поэтому ее проводят поэтапно, начиная с более простых необходимых, но не достаточных условий. Последним этапом является проверка на принадлежность функции к классу положительных вещественных функций, например, методом Штурма. Если результаты проверки показали, что функция входного иммитанса цепи физически реализуема, можно приступить к синтезу цепи, который осуществляется одним из известных методов, например методом Фостера или Кауэра. Метод Фостера основан на разложении функции входного иммитанса цепи на элементарные дроби, метод Кауэра – на разложении функции входного иммитанса цепи в цепную дробь.

Литература: [4, с. 164–193; 2, с. 23–30, 34–37].

 

Вопросы для самопроверки

1. Поясните исходные предпосылки и задачу синтеза линейной электрической цепи.

2. Дайте определение системной функции цепи и ее аналитического продолжения.

3. Что является условием вещественности и положительности линейной электрической цепи?

4. Изложите последовательность проверки функции входного иммитанса цепи на физическую реализуемость.

5. Изложите суть синтеза линейного двухполюсника по методу Фостера, по методу Кауэра.

 

Проблема аппрОксимации

В теории линейных электрических цепей

 

Постановка задачи аппроксимации. Максимально плоская (тейлоровская) и чебышевская аппроксимации функции рабочего затухания цепи. Спектральная факторизация и определение коэффициента отражения по функции рабочего затухания цепи. Нормирование элементов и частотные преобразования электрических цепей.

Методические указания

 

Синтез СЦ осуществляется по функции ее входного иммитанса, которой однозначно соответствует функция ее рабочего затухания. Функция рабочего затухания цепи должна по возможности минимально уклоняться от идеальной характеристики рабочего затухания. Выбор вида и параметров функции рабочего затухания осуществляется на начальном этапе построения СЦ. Выбор функции рабочего затухания, наименее уклоняющейся от идеальной характеристики при условии возможности ее реализации физически реализуемой цепью с конечным числом элементов, и составляет задачу аппроксимации в теории электрических цепей. Вид аппроксимации определяется критерием близости. При этом наиболее часто на практике используются тейлоровская (или Баттерворта, максимально плоская, максимально гладкая) и чебышевская (равноволновая) аппроксимации. По функции рабочего затухания с помощью метода спектральной факторизации определяется функция коэффициента отражения. Суть метода спектральной факторизации состоит в сортировании корней полиномов числителя и знаменателя произведения . Это произведение определяется по выбранной функции рабочего затухания. Корни полиномов числителя и знаменателя , лежащие в левой полуплоскости, относятся к функции , в правой полуплоскости – к . Таким образом, отыскав лежащие в левой полуплоскости корни полиномов числителя и знаменателя , можно определить . Затем по функции коэффициента отражения определяются функция входного иммитанса и синтез цепи.

Нормирование элементов цепи производится для удобства расчетов. Частотные преобразования позволяют из простой в расчете цепи типа фильтра нижних частот (ФНЧ) получить полоснопропускающую цепь. При таком преобразовании полоса и качество согласования сохраняются, а каждая последовательная индуктивность исходной цепи ФНЧ дополняется последовательной емкостью, каждая параллельная емкость – параллельной индуктивностью. Все образованные таким образом последовательные и параллельные контуры должны быть настроены на среднюю частоту полосы согласования.

Литература: [5, с. 86–109; 6, с. 269–283; 2, с. 37–45].

      

Вопросы для самопроверки

 

1. Для чего необходима и в чем состоит суть аппроксимации характеристик линейной электрической цепи?

2. Нарисуйте частотные характеристики рабочего затухания и модуля коэффициента отражения при максимально плоской и чебышевской аппроксимациях.

3. Поясните суть метода спектральной факторизации в процессе определения функции коэффициента отражения цепи.

4. Для чего применяются и в чем суть нормирования элементов цепи?

5. Изложите свойства и последовательность преобразования цепи типа ФНЧ в полосовую цепь.