Вероятность взаимоисключающих событий

 

Как рассчитать вероятность взаимоисключающих событий? Объяснять это удобно на примере банки, в которой лежит 90 конфет: 45 красных, 36 желтых и девять зеленых. Мы опускаем руку в банку и вытаскиваем конфету. Этот процесс можно даже визуализировать с помощью дерева сценариев (рис. 13.1): у нас есть три возможных и взаимоисключающих исхода, означающих, что мы вытаскиваем красную, желтую или зеленую конфету.

 

Рис. 13.1

 

Предположим, что конфеты распределены в банке случайным образом. Какова тогда вероятность того, что, запустив руку внутрь нее, мы не глядя вытащим красную конфету? Какова вероятность вытащить желтую? А зеленую?

В случае взаимоисключающих событий можно оценивать вероятность их наступления в процентах. К примеру, вероятность вытащить красную конфету из 90, лежащих в банке, равна доле красных конфет среди этих 90. Понятно? Возможно, будет понятнее, если я перефразирую: если 30 % конфет в банке красные, то вероятность вытащить именно красную конфету, запустив руку в банку лишь один раз, равна 30 %.

Как же рассчитать долю красных конфет в банке? Я использую традиционный подход, который освоил еще в школе и считаю самым наглядным способом структурировать решение (да, это еще один способ структурирования). Для расчета сформулируем простой вопрос: какой процент составляет число х от числа y? А потом делим х на y, то есть делим на то, процент от чего хотим рассчитать. К примеру, какой процент составляет 3 от 6? Делим 3 на 6, получаем 0,5, или 50 %.

Эта формула особенно удобна, когда контекст проблемы не позволяет быстро определить, что на что делить. Меня учили, что в этом случае как раз и нужно рассуждать упрощенно: что есть часть, а что – целое. Вот, скажем: в бушеле[24] 40 яблок, из которых десять гнилые. Какова доля гнилых яблок? Некоторым может быть сложно сразу решить, что должно быть в числителе и что в знаменателе. Для этого просто перефразируйте задачу: какую долю от 40 составляет 10? То есть какой процент составляет 10 от 40? И сразу понятно: 10 / 40 = 0,25, или 25 %. Прекрасно! (Господи, благослови моих школьных учителей.)

 

Упражнение 32. Конфеты (1)

 

Давайте используем нашу формулу и рассчитаем, какова в процентах доля красных, желтых и зеленых конфет в банке. Сделайте подсчеты и запишите результат.

 

 

Вот что у вас должно было получиться:

• красные: какую долю от 90 составляет 45? 45 / 90 = 0,5, или 50 %;

• желтые: какую долю от 90 составляет 36? 36 / 90 = 0,4, или 40 %;

• зеленые: какую долю от 90 составляет 9? 9 / 90 = 0,1, или 10 %.

 

Теперь давайте переведем проценты в вероятности и запишем цифры на нашем дереве сценариев (рис. 13.2).

 

Рис. 13.2

 

Так как это дерево содержит вероятности, я предлагаю называть его дерево вероятностей.

 

Дерево вероятностей

 

Дерево вероятностей обладает всеми свойствами дерева сценариев и имеет еще одну особенность: оно позволяет нам анализировать весь набор событий с точки зрения вероятностей, то есть оценивать, какой из сценариев наиболее или наименее вероятен и какие решения и события в рамках каждого из альтернативных сценариев более или менее вероятны. Из дерева сценариев мы видим лишь, что может или чего не может произойти, – а дерево вероятностей показывает, какие события более или менее вероятны. Добавление к анализу нового параметра, вероятности, приближает наши рассуждения и заключения к реальной жизни.

Дерево вероятностей помогает сфокусироваться на тех решениях и событиях, которые и определяют вероятность наиболее важных для нас сценариев: проверять допущения и предположения, собирать дополнительные факты. Мы можем по своему усмотрению менять вероятность каждого из решающих факторов: такой анализ называется сенситивным, или анализом чувствительности. Дерево вероятностей подсказывает нам, на каких решениях или событиях необходимо сфокусировать внимание, если мы хотим повысить вероятность того или иного сценария. Представляете, какое это преимущество: вы теперь можете рассчитать, на чем именно нужно сконцентрировать усилия, чтобы получить желаемый результат.

При построении дерева вероятностей необходимо строго придерживаться трех приведенных ниже правил.

1. Как и в случае с деревом сценариев, события должны быть взаимоисключающими, то есть каждое из них должно быть самостоятельным и независимым от других.

2. Совокупность событий должна быть исчерпывающей, то есть включать все возможные варианты.

3. Суммарная вероятность событий каждой из ветвей дерева должна равняться единице.

 

Тем, кто редко сталкивается с численной оценкой вероятностей, важно помнить, что событие не может произойти большее количество раз, чем указывает его вероятность. Вероятность не может превышать 100 %, или единицы.

 

Давайте немного усложним задачу про конфеты.

 

Какова вероятность вытащить красную или зеленую конфету, засунув руку в банку один раз?

 

Чтобы решить эту задачу, давайте рассуждать в процентах: каков процент красных или зеленых конфет в банке? У нас 45 красных и девять зеленых, то есть всего 54 такие конфеты. Какой процент от 90 составляет 54? Считаем: 54 / 90 = 0,6. То есть вероятность вытащить за один раз зеленую или красную конфету составляет 60 %. Мы сложили вероятности вытащить красную (0,5) или зеленую (0,1) конфеты.

 

Упражнение 33. Конфеты (2)

 

Какова вероятность вытащить за один раз красную или желтую конфету? Какова вероятность вытащить желтую или зеленую? Запишите ответы на листке бумаги.

 

 

Вероятность вытащить красную или желтую конфету: 0,5 + 0,4 = 0,9.

Вероятность вытащить желтую или зеленую конфету: 0,4 + 0,1 = 0,5.

 

Важно понимать: наше «или» означает необходимость сложить вероятности отдельных событий. Многие этого не осознают, пока как следует не разберутся, из чего я делаю вывод, что такая концепция человеку интуитивно не очевидна. И даже после объяснения многие этот принцип понимают не до конца. Как писал Кэмпбелл, люди не запоминают правил расчета вероятности, даже когда применяют их для решения задач. Поэтому большинству из нас нужно всякий раз выводить эти правила заново.

Давайте попрактикуемся: построим дерево вероятностей и рассчитаем вероятности.