Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Топ:
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2022-05-08 | 41 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
.
Также эта функция ещё обозначается и носит название «символ Похгаммера», при её значение совпадает с факториалом n!.
Запишем многочлены такого типа, начиная с младших степеней, как в формуле Тейлора.
, коэффициент
= , коэффициенты
= = ,
коэффициенты ,
= = , коэффициенты .
Обратим внимание на то, что последовательность коэффициентов точно такая же, как строка из чисел Стрилинга при том же .
Докажем, что этой действительно так, и закономерность будет верна при любом .
Вспомним, что мы доказали формулу для чисел Стирлинга 1 рода: .
Докажем, что точно такая же закономерность будет и для коэффициентов этих многочленов.
Пусть =
, впрочем, очевидно, старший коэффициент , исходя из строения множителей этого многочлена. Рассмотрим подробнее, как именно образуется коэффициент при степени у многочлена следующей степени.
либо на константу, либо на .
=
Итак, .
Это точно соответствует .
Для малых n мы непосредственно видели, что последовательность коэффициентов совпадает со строкой чисел Стирлинга 1 рода (база индукции). В каждой следующей строке последовательность коэффициентов вычисляется по такому же закону, как и числа Стирлинга 1 рода.
Если рассматривать многочлен
, то получим коэффициенты такие же по модулю, но со знакочередованием.
, коэффициент
= , коэффициенты
= = ,
коэффициенты ,
= =
.
обратим внимание, что при формировании, например, 2-й степени умножаются 2 отрицательных и 2 положительных коэффициента, при формировании 3-й оба раза отрицательный на положительный, то есть, коэффициенты получаются те же самые, что и в рассмотренном выше случае, но только с чередующимися знаками. Именно они и называются «числами Стирлинга 1 рода со знаком», обозначение .
|
Верны такие формулы:
.
Числа Стирлинга со знаком:
Матрица перестановки (подстановки). Орбита элемента, неподвижная точка перестановки.
Вернёмся к рассмотрению - «симметрической группы» перестановок степени . Смысл такого подробного изучения перестановок (подстановок) проявится ещё и на 2 курсе при изучении теории групп. Так, будет изучена теорема Кэли о том, что всякая конечная группа из элементов изоморфна некоторой подгруппе группы перестановок своих элементов .
Матрица подстановки.
Всякую подстановку из элементов можно представить в виде матрицы порядка , состоящей из единиц и нулей, причём множество таких матриц образует группу по умножению, изоморфную данной группе подстановок.
Строение матрицы таково: если в подстановке, то .
При этом множество таких матриц, имеющих определитель 1 (таковых ровно половина от ) соответствует подгруппе чётных подстановок.
Например, соответствует ,
соответствует , их произведение есть тождественная подстановка, умножим в то же время и матрицы, получим матрицу :
= .
Кстати, подстановка, квадрат которой равен тождественной, , называется инволюцией.
Метод построения отображения из множества подстановок во множество матриц такой структуры ясен, докажем окончательно для произвольного случая, что это изоморфизм.
1) Если в подстановке , , в остальных местах строки и столбца нули.
2) Если в подстановке , , в остальных местах строки и столбца нули.
При умножении матриц, строка матрицы умножается на столбец матрицы , в результате 1 на -м месте в обоих случаях, получаем . Все прочие в этой строке, так как при умножении на другие столбцы, там 1 не на -м месте, а на другом.
Нейтральные элементы в этих изоморфных группах соответственно - тождественная подстановка и матрица .
Взаимосвязь наличия циклов и строения матрицы.
|
соответствует матрице
Блочно-диагональная матрица, подматрица 2 порядка (1,2 стр и 1,2 столбец) содержит обе единицы, и в остальных местах в 1,2 стр и 1,2 столбце только нули.
Если для перестановки верно , то называется порядком перестановки .
Квадрат подстановки: = | Умножим 3-й раз (выч. куб) = тождественная Порядок 3. |
Функция Ландау: Для всякого , = наибольший порядок элемента в группе подстановок .
(для n, найти такую подстановку, чтобы умножение её на себя как можно дольше не приводило к тождественной).
равна наибольшему из НОК по всем разбиениям на суммы натуральных чисел. Например, если подстановки из 5 элементов, то возможны такие разбиения: 5=1+4, 5=2+3.
НОК(1,4)=4, НОК(2,3)=6. Максимальный порядок подстановки 5 порядка есть число 6. Можно разбить на 2 цикла, по 2 и 3 элемента, и тождественная подстановка получится только при 6 степени подстановки:
, последующие степени:
2-я , 3-я , 4-я ,
5-я , 6-я .
, так как 7=3+4, НОК = 12.
При разбиении на циклы из 3 и 4 элементов, повтор возникает только через 12 раз.
- подстановка 12 порядка.
Если , то называется неподвижной точкой перестановки (цикл длины 1).
Пусть дана перестановка . Если для некоторого , то говорят, что принадлежит -орбите элемента .
Если ни при каком , то эти числа находятся в разных классах. Орбиты - непересекающиеся множества, сумма мощностей равна . Количество разбиений на независимые циклы задаётся числами Стирлинга 1 рода, а количество разбиений на подмножества (орбиты) числами Стирлинга 2 рода.
ЛЕКЦИЯ 8. 6.3.2021.
ГЛАВА 2. Числовые системы.
|
|
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!