Основы теории потенциала электрического поля

Для определения удельного сопротивления горных пород в сква- жине используется источник тока, создающий в окружающей среде электрическое поле. Допустим, что в неограниченную проводящую среду при помощи электродов А и В вводится ток, создающий в ней электрическое поле (рис. 5). Такое поле тождественно электрическо- му полю зарядов электродов А и В, помещенных в непроводящую среду. Разница заключается лишь в том, что в электрическом поле заряды неподвижны, а в проводящей среде они находятся в движе- нии, непрерывно возобновляясь источником тока.

 

Рис. 5. Схема ввода тока в неограниченную проводящую среду с помощью заземлений (электродов) А и В

Электрическое поле характеризуется напряженностью Е, кото- рая является вектором, имеющим величину и направление. За едини- цу напряженности электрического поля принимается вольт на метр (В/м), т. е. напряженность электрического поля, при котором между точками, находящимися на расстоянии 1 м, вдоль линии напряженно- сти поля (отражающей ее направление) создается разность потенциа- лов 1 В. Под линией напряженности, называемой чаще силовой ли- нией, подразумевают такую линию, в каждой точке которой вектор напряженности направлен по касательной к ней. Силовые линии со- ответствуют путям, вдоль которых должен был бы двигаться поло- жительный заряд. При помощи этих линий можно наглядно изобра- зить силовое поле; при этом густота его линий выбирается пропор- ционально напряженности.

Работа, совершаемая силами электрического поля при переме- щении единичного положительного заряда из некоторой точки в бес- конечно удаленную, численно равна электрическому потенциалу данной точки (с обратным знаком). Потенциал есть величина скаляр- ная и в каждой точке поля имеет вполне определенное значение, по- этому может служить характеристикой поля наравне с напряженно- стью Е. За единицу электрического потенциала принимается вольт

(В) – разность потенциалов между двумя точками при постоянном токе силой 1 А, в котором затрачивается мощность 1 Вт.

Потенциал электрического поля представляет собой функ- цию, которая изменяется от точки к точке и убывает в направле- нии хода силовой линии. В каждом реальном случае можно выде- лить совокупность точек, потенциалы которых одинаковы. Гео- метрическое место точек постоянного потенциала называют эквипотенциальной поверхностью. Если путь перемещения заряда замкнут по эквипотенциальной поверхности, то работа электриче- ских сил равна нулю. Известно, что потенциал точечного заряда e в точке, отстоящей от него на расстоянии r,

U = e / r = E · r.

Следовательно, эквипотенциальная поверхность с постоянным зна- чением r есть сфера с центром в точечном заряде (рис. 6). Между напря- женностью поля Е и потенциалом U имеется определенная связь.

 

Рис. 6. Эквипотенциальные поверхности (пунктирные линии) и силовые линии (сплошные):

а – точечный заряд; б – два разноименных численно равных заряда; в – два точечных одноименных заряда

Существование такой связи следует из того, что работу элек- трических сил можно выразить через напряженность и разность потенциалов точек поля.

Рассмотрим однородное электрическое поле напряженно- стью Е (рис. 7, а).

 

Рис. 7. Однородное электрическое поле напряженностью Е (а)

и элементарный объем среды (б) с удельным сопротивлением ρ, длиной dr и сечением dS.

∆ r – расстояние между эквипотенциальными поверхностями U 1 и U 2

Расстояние ∆ r между эквипотенциальными поверхностями U ₁ и U ₂ бесконечно мало, следовательно, на всем расстоянии между ними можно считать напряженность поля постоянной. Работа пе- ремещения единичного заряда е на пути d r равна Е· d r. Эта же ра- бота может быть выражена через разность потенциалов начала U ₂ и конца U ₁ с обратным знаком:

U ₂ – U ₁ = – E · d r.

В неоднородном поле силовые линии не будут прямолиней- ными, а эквипотенциальные поверхности будут иметь сложную форму. Однако для бесконечно малых участков пространства мож- но пренебречь кривизной силовых линий и эквипотенциальных поверхностей и на основании предыдущих рассуждений записать:

d U = –E · d r; E = – d U / d r.

Знак минус указывает, что напряженность Е направлена в ту сторону, в которую действует сила на положительный заряд, т. е. в сторону убывания потенциала.

Величина d U / d r, характеризующая быстроту изменения по- тенциала при перемещении в направлении, перпендикулярном к эквипотенциальным поверхностям в сторону его увеличения, называется градиентом потенциала и обозначается grad U. Как видно из формулы, напряженность поля – это градиент потенциала с обратным знаком, т. е.

Е = –grad U.

Сила тока I представляет собой физическую величину, изме- ряемую количеством электричества, перенесенного через данную площадку за единицу времени, независимо от того, в каком направ- лении и под каким углом к площадке движутся частицы, несущие заряды.

Для учета направления переноса зарядов вводится в рассмот- рение вектор плотности тока j, который направлен в сторону поло- жительных зарядов, т. е. в направлении вектора напряженности Е. Под плотностью тока понимается количество электричества, про- текающее в единицу времени через единичную площадку, перпен- дикулярную к направлению тока.

Если ток I равномерно распределен по площади S, перпенди- кулярной к его направлению, то величина плотности тока

j = I / S.

В общем случае плотность тока определяется отношением силы тока d I, протекающей через перпендикулярный к направле- нию тока элемент сечения среды, к площади d S этого элемента:

j = d I / d S.

Распределение электрического поля в пространстве удовле- творяет двум основным законам: Ома и Кирхгофа, выраженным в дифференциальной форме. Для пояснения закона Ома выде- лим элементарный объем (рис. 7, б) среды с удельным сопро- тивлением ρ, длиной d r и сечением d S; через сечение d S и пер- пендикулярно к нему проходит ток d I, образуя на концах падение потенциала d U. Cопротивление элементарного объема d R = ρ (d r / d S), а падение потенциала на его концах ∆ d U = d I · d r / d S или d I / d S =

= –1 / ρ · d U / d r.

В итоге получаем

 

j = E / ρ.

Закон Ома в дифференциальной форме выражается так: плот- ность тока в каждой точке проводника равняется напряженности электрического поля в этой точке, деленной на удельное сопро- тивление вещества.

Физическая сущность первого закона Кирхгофа в дифферен- циальной форме заключается в том, что если какой-либо элемент объема не содержит источников, то сила тока, втекающего в этот объем, равна силе тока, вытекающего из него. Этим выражается непрерывность потока токовых линий через любую замкнутую поверхность, не содержащую дополнительных источников тока. Если считать, что входящие и выходящие из данного объема токи имеют разные знаки, то алгебраическая сумма их равна нулю, т. е. эти токи по величине равны. Невыполнение этого условия привело бы к накоплению электрических зарядов в некоторых точках, что исключается.

Закон Кирхгофа в дифференциальной форме записывается в виде следующего уравнения:

div j = 0.

Рассмотрим электрическое поле в однородной изотропной среде. Предположим, что имеется такая среда с удельным сопро- тивлением ρ. Введем в нее электрод А, из которого вытекает ток силой I. Допустим, что размеры электрода А малы и его можно рассматривать как точечный, а второй электрод удален (теорети- чески в бесконечность) и не оказывает влияния на электрическое поле вблизи электрода А. При этих условиях линии тока, исходя- щие из точки А, будут прямыми, а эквипотенциальные поверхно- сти – концентрическими сферами с центром в точке А. В пересече- нии с плоскостью чертежа эти сферы дают окружность с центром в точке А (рис. 8).

 

Рис. 8. Электрическое поле в однородной изотропной среде

Определим потенциал в точке М, расположенной на расстоя- нии r от источника тока А. Плотность тока j в точке М

j = I / 4 π r ²,

т. к., если Е = ∆d U /d r = j ρ, то ∆d U / d r = π · I / 4π r ².

Отсюда потенциал в точке М

U М = - r I d r =

4p r

r I

4p r

 

+ C.

Т. к. потенциал в бесконечности равен нулю, т. е. при r = ∞, U = 0, то постоянная интегрирования С = 0. Тогда выражение по- тенциала в точке М, созданного точечным электродом А, через который протекает ток I, в однородной изотропной среде с удель- ным сопротивлением ρ примет вид

U_М = ρ I / 4 π r.

Легко видеть, что если поменять местами точки А и М, т. е. источник тока поместить в точку М и определять потенциал в точ- ке А, то его величина выражается с помощью этого же уравнения. Это положение справедливо и для неоднородной среды, оно нахо- дит важное практическое применение в электрическом каротаже и известно под названием принципа взаимности.

Так, например, если через токовые электроды А и В четырех- электродной установки AMNB пропускать ток, то при помощи из- мерительных электродов М и N можно регистрировать разность потенциалов ∆ U между двумя точками этого электрического поля.

Подставляя в формулу вместо r величины АМ или АN, полу- чаем потенциал в точке М:

U_М = ρ · I / 4 π AM

и потенциал в точке N:

U_N = ρ · I / 4 π AN.

Если считать электроды зонда точечными, то разность потен- циалов между его измерительными электродами М и N

è            ø

∆ U = U_М – U_N = ρ · I / 4 π æ 1

- 1 ö = ρ · I / 4 π (AN -  AM),

 

                                                                          

 

где АN – АМ = MN.

ç  AM AN ÷

AM × AN

Тогда

 

∆ U = æ r I × MN ö.

 

ç 4p AM × AN ÷

è                ø

По этой формуле можно вычислить удельное сопротивление однородной среды:

ρ = D U × 4p AM × AN.

I      MN

Все величины, входящие в правую часть формулы, можно из- мерить и таким образом определить величину удельного сопро- тивления среды, что и является целью электрического каротажа по методу сопротивлений.

При каротаже разность потенциалов выражается в тысяч- ных долях вольта – милливольтах (мВ), сила тока – в тысячных долях ампера – миллиамперах (мА), а расстояния MN, AM и AN – в метрах (м), при этом удельное сопротивление будет выражено в омметрах (Ом · м).

Приведем последнюю формулу к виду, в котором она обычно применяется в практике электрического каротажа. Для этого пола- гая, что

4p AM × AN =  K,

MN

получим

ρ = K D U,

I

где K – коэффициент зонда – постоянный множитель, зависящий от расстояний АМ, АN и взаимного расположения электродов; ∆ U / I представляет собой сопротивление части среды, заключенной ме- жду двумя эквипотенциальными поверхностями, проходящими через точки М и N.

Это выражение справедливо для вычисления истинного удельного сопротивления изотропной и однородной среды. При каротаже мы имеем дело с неоднородной средой и поэтому вели- чина удельного сопротивления является условной (фиктивной) и названа кажущимся удельным сопротивлением (КС или ρ_к).