Методы решения размерных цепей

При решении размерных цепей могут быть использованы два метода расчета:

· метод расчета размерной цепи на max - min;

· вероятностный метод расчета.

Метод расчета размерной цепи на max - min  - метод расчета размерной цепи, при котором требуемая точность замыкающего звена размерной цепи получается при любом сочетании размеров составляющих звеньев. При этом предполагают, что в размерной цепи одновременно могут оказаться все звенья с предельными значениями, причем в любом из двух наиболее неблагоприятных сочетаний (все увеличивающие звенья имеют наибольшее предельное значение, а все уменьшающие звенья наименьшее предельное значение или наоборот). В результате размер замыкающего звена будет максимальным или минимальным.

Преимущества такого метода заключаются в простоте, наглядности, небольшой трудоемкости вычислительных работ, полной гарантии от брака из-за неточности замыкающего звена. Недостатком является то, что полученные по этому методу результаты часто не соответствуют фактическим.

Метод экономически целесообразен лишь для цепей малой точности или для точных цепей с небольшим числом составляющих звеньев.

Вероятностный метод расчета – метод расчета размерной цепи, учитывающий явление рассеяния и вероятность различных сочетаний отклонений составляющих звеньев. Этот метод допускает малый процент изделий, у которых замыкающее звено выйдет за рамки поля допуска. При этом расширяются допуски составляющих цепь размеров, и тем самым снижается себестоимость изготовления деталей.

В данном практическом занятии используется только метод расчета размерной цепи на max - min, а вероятностный метод расчета рассматривается в спецкурсах.

Уравнения размерных цепей устанавливают взаимосвязь между параметрами замыкающего звена и составляющих звеньев.

Для конструкторских сборочных линейных скалярных цепей передаточное отношение принимается для увеличивающих звеньев ξ = +1, для уменьшающих звеньев - ξ = -1. Тогда уравнения размерных цепей при расчете на max - min  можно представить в следующем виде:

1. Уравнение номиналов

По определению размерной цепи, следует, что сумма всех номинальных размеров, включая и замыкающее звено, равна нулю:

;

Исходя из этого равенства, можно найти номинальный размер замыкающего звена:

,

где   ξ = ± 1– передаточное отношение, p - число составляющих звеньев.

Или с учетом характера звена (передаточного отношения) получим уравнение номиналов для расчета размерной цепи на max - min (номинал замыкающего звенаравен разности суммы номиналов увеличивающих звеньев и суммы номиналов уменьшающих звеньев): 

                А_Δ =                                         (36)

где n – число увеличивающих звеньев,

  k – числоуменьшающих звеньев;

2. Уравнение допусков, допуск замыкающего звена (или поле рассеяния размера замыкающего звена) равен сумме допусков составляющих звеньев:

                        ω _Δ = Т _Δ =                                         (37)

 где p = n + k – число составляющих звеньев;

3. Уравнения предельных отклонений:

- верхнее отклонение замыкающего звена равно разности суммы верхних отклонений увеличивающих звеньев и суммы нижних отклонений уменьшающих звеньев:

                             ES _Δ =                           (38)

- нижнее отклонение замыкающего звена равно разности суммы нижних отклонений увеличивающих звеньев и суммы верхних отклонений уменьшающих звеньев:

                             EI _Δ =                    (39)

При расчете конструкторских размерных цепей обычно решаются две задачи: прямая и обратная.

Прямая задача заключается в том, что по предельным размерам и допуску замыкающего звена определяются допуски и предельные отклонения составляющих звеньев. Это основная задача, решаемая при проектировании.

Дано: А_∆; Т _∆; Е S _∆; EI _∆ (параметры замыкающего звена).

Найти: А_j; Т _j; Е S _j; EI _j (параметры составляющих звеньев).

Обратная задача заключается в том, что по размерам, предельным отклонениям и допускам составляющих звеньев определяется размер, допуск и предельные отклонения замыкающего звена. Эта задача используется при проверочных расчетах.

Дано: А_j; Т _j; Е S _j; EI _j (параметры составляющих звеньев)

Найти: А_∆; Т _∆; Е S _∆; EI _∆ (параметры замыкающего звена).

Нахождение точности составляющих звеньев при решении прямой задачи может осуществляться двумя способами:

1. Способ равных допусков. Этот способ применим в случае, когда все размеры цепи входят в один интервал размеров. Тогда допуски составляющих звеньев будут равны среднему допуску Т _m:

Т _А1 = Т _А2 = … = Т _{А p} = Т _m.

Средний допуск определяется по формуле:   

                                 Т _m =                                   (40)

2. Способ одного квалитета. Все размеры могут быть выполнены по какому-либо одному квалитету (или двум ближайшим квалитетам), который определяется нахождением среднего числа единиц допуска а _m (средней относительной точности). Величины допусков при этом будут зависеть от номинального размера.

Известно, что допуск есть произведение единицы допуска на число единиц допуска. Это справедливо для любого звена размерной цепи:

T_j = i_j a_j,

где i _j - единица допуска для каждого звена, мкм;

       a_{j –} число единиц допуска каждого звена.

Следовательно, уравнение допусков размерной цепи можно представить в следующем виде при условии, что число единиц допуска a  у всех звеньев одинаковое (то есть точность звеньев одинаковая):

Т _Δ = = i_{1 ·} a ₊ i_{2 ·} a ₊…+ i_{P ·} a = а

Так как допуски составляющих звеньев не известны, на основании уравнения размерных цепей (37) сумму допусков составляющих звеньев заменим допуском замыкающего звена, который задан по условию задачи.

Определим среднее число единиц допуска размерной цепи − а _m:

                     a _m =                                                      (41)

Если в размерную цепь включены стандартные звенья (ширина подшипника), необходимо из допуска замыкающего звена исключить сумму допусков стандартных звеньев, т.к. допуск этих звеньев уже известен и изменять его нельзя. В этом случае число единиц допуска определяется только для нестандартных звеньев − а _mнест:

                   а _{m нест}   =                                          (42)

где t     – число стандартных звеньев;

p   – число всех составляющих звеньев;

          j – число стандартных звеньев;

         T_{j ст} – допуск стандартного звена;

         i_{j нест} – единица допуска нестандартного звена.

Для определения классов  допусков на размеры составляющих звеньев кроме квалитета необходимо назначить основные отклонения в зависимости от вида размеров: для охватываемых - h, охватывающих - H, остальных - j_s.

Например, на рис. 1.17, а размер  – охватывающий, размер − охватываемый; на рис. 1.17, б размер    – охватывающий,   – относится к группе остальных размеров, т.е. не относится ни к охватываемым, ни к охватывающим.

 

Порядок выполнения практического занятия 1.6

(расчет размерной цепи на max - min)

(3 уровень сложности)

Задание. По предельным размерам и допуску замыкающего звена определить допуски и предельные отклонения составляющих звеньев. Выполнить проверку, решив обратную задачу.

Даны предельные размеры замыкающего звена и номинальные размеры составляющих звеньев.

Варианты заданий указаны в приложении А.13.

 

Решить прямую задачу

1.1. Представить схему размерной цепи, и указать какие звенья охватываемые, а какие охватывающие.

1.2. Определить номинальный размер, предельные отклонения и допуск замыкающего звена

2.1. Определить номинальный размер (номинал) замыкающего звена по уравнению номиналов размерной цепи (36).

2.2. Определить предельные отклонения через предельные размеры и номинал замыкающего звена.

2.3. Рассчитать допуск замыкающего звена по предельным размерам или предельным отклонениям.

3. Определить характер составляющих звеньев (увеличивающие или уменьшающие звенья).

4. Определить точность составляющих звеньев, используя способ равных квалитетов (41 или 42). Назначить одинаковый квалитет на все звенья.

5. Определить вид и значения (Табл.Б.1)  основных отклонений полей допусков составляющих звеньев в зависимости от вида размера (для охватываемых - h, охватывающих - H, остальных - j_s).

 

6. Решить обратную задачу

6.1. Выполнить проверку по уравнению допусков (37). При большой разнице между полем рассеяния и допуском замыкающего звена выполнить согласование по квалитетам (изменить квалитет у одного звена).

6.2. Выполнить проверку по предельным отклонениям (38, 39). Для корректировки расположения поля рассеяния замыкающего звена выбрать самое простое по конструкции согласующее звено. Рассчитать новые предельные отклонения согласующего звена, подставив в левую часть уравнений требуемые значения предельных отклонений замыкающего звена.

7. Представить результаты расчета размерных цепей в виде таблицы (табл.1.10).

Пример выполнения практического занятия 1.6

(расчет размерной цепи на max - min)

Задание: Необходимо обеспечить собираемость деталей с валом (приложение А.13, табл. А.13, рис.А.13; вариант 1 –1).

 

Исходные данные:

1) предельные размеры замыкающего звена (зазор между торцами вала 13 и зубчатого колеса 3):

А_∆min =1,6 мм;

A_∆max = 2,0 мм;

2) номинальные размеры составляющих звеньев:

длина ступени вала 13 – А₁ = 53 мм;

буртик втулки 7 – А₂ = 3 мм;

длина втулки 7 – А₃= 22 мм;

длина (высота) зубчатого колеса 3– А₄ = 32мм.

 

Решение

Решить прямую задачу

1.1. На рис. 1.19 представлена схема размерной цепи, в которую включены размеры, влияющие на замыкающее звено, по одному от каждой детали.

Размеры А₂, А₃, А₄ − охватываемые; размер А₁ не относиться ни к охватываемым ни к охватывающим (группа остальных размеров).

 

 

Рис. 1.19. Схема размерной цепи

Для обеспечения полной взаимозаменяемости сборки решение следует вести методом расчета на max – min, так как цепь невысокой точности.

1.2. Определить номинальный размер, предельные отклонения и допуск замыкающего звена

2.1.Определить номинальный размер  замыкающего звена:

А_Δ = (32+22+3) – 55 = 2 мм.

2.2. Определить предельные отклонения замыкающего звена через его предельные размеры и номинал:

ES _Δ = A_∆max – А_Δ = 2 – 2 = 0;

EI _Δ = А_∆min – A_Δ = 1,6 – 2 = -0,4 мм.

2.3. Определить допуск замыкающего звена:

Т _Δ = A_∆max – А_∆min = 2 –1,6 = 0,4 мм = 400 мкм.

Записать номинал и предельные отклонения замыкающего звена в виде исполнительного размера: А_Δ = 2_-0,4 (нулевое отклонение не обозначается).

3. Определить характер составляющих звеньев.

Для этого обходим цепь слева направо в соответствии с левонаправленной стрелкой, указанной над замыкающим звеном. Расставляем стрелки над составляющими звеньями в направлении обхода. В соответствии с правилом обхода по контуру размерной цепи определяем характер составляющих звеньев: звено  − уменьшающее; звенья , ,  − увеличивающие звенья.

4.Определить точность составляющих звеньев.

Так как номинальные размеры составляющих звеньев относятся к разным интервалам размеров, для определения точности составляющих звеньев используем способ одного квалитета, т.е. рассчитаем среднее число единиц допуска с учетом отсутствия в цепи стандартных звеньев по формуле 41:

а _m =    =

Ближайшее к рассчитанному значению а _m = 74 стандартное число единиц допуска равно а _m = 64, что соответствует 10-ому квалитету. Поэтому принимаем для всех звеньев 10-й квалитет.

5. Определить вид и значения основных отклонений полей допусков составляющих звеньев в зависимости от вида размера (для охватываемых - h, охватывающих - H, остальных - j_s). Так как звено А₁ относиться к третьей группе размеров, назначим на него поле допуска js 10, а для звеньевА₂, А₃, А₄ (как на охватываемые) поле допуска h 10.

Составляющие звенья будут иметь следующие размеры:

   = 55 js 10 (±0,060);

                                           = 3 h 10 (_{- 0,040});

= 22 h 10 (_{- 0,084});

 = 32 h 10 (_{- 0,100}).

6.Решить обратную задачу

 

6.1. Выполним проверку по допускам. Рассчитаем поле рассеяния замыкающего звена: ω _Δ = 120+40+84+100 = 344 = 0,344< 0,4 на 0,056 мм.

Так как разница между полем рассеяния ω _Δ = 0,344 мм и заданным допуском замыкающего звена T _D = 0,4 ммполучилась слишком большая, изменим 10-й квалитет звена А₃ на 11-й квалитет.

Тогда, = 22 h 11(_-0,13).

Это позволяет расширить поле рассеяния замыкающего звена на следующую величину:

IT 11 – IT 10=0,130 – 0,084=0,046 мм,

т.е. поле рассеяния при этом будет равно: ω _Δ = 0,39 мм.

Примечание. Звено А ₃ выбрано потому, что разница между допусками 10-го и 11-го квалитетов для номинального размера этого звена наиболее близко приближает поле рассеяния замыкающего звена к полю допуска замыкающего звена.

 

6.2. Выполним проверку по предельным отклонениям:

ES _Δ = [0+0+0] – [-0,060] = +0,060 мм;

EI _Δ = [(-0,040)+(-0,13)+(-0,10)] – [(+0,06)] = -0,33 мм.

Следовательно, поле рассеяния замыкающего звена по предельным отклонениям равно:

ω _Δ = ES _Δ- E I_Δ = 0,06 – (-0,33) = 0,39 мм.

Это совпадает со значением поля рассеяния, полученным по уравнению допусков: ω _Δ = 0,39 мм, т.е. расчет предельных отклонений замыкающего звена выполнен правильно.

Однако расположение поля рассеяния замыкающего звена, полученное по отклонениям (рис.1.19, а), не соответствует заданному положению интервала допуска (рис. 1.19, б).

                             a)                                                 б)

Рис. 1.20. Графическое представление расположения интервала

 допуска замыкающего звена:

а – полученное по отклонениям; б – заданное

 

6.3. Для обеспечения заданного расположения интервала допуска замыкающего звена выберем согласующее звено по конструкции самое простое. Таким звеном будет звено А₂ (высота буртика втулки).

Принимаем его отклонения за неизвестные и решаем уравнения отклонений размерной цепи относительно этих неизвестных, подставив в левую часть уравнений требуемые отклонения (А_Δ = 3_-0,4) замыкающего звена.

0 = [ ES _A2 + 0 + 0] – [(-0,06)];

ES _A2 = - 0,06 мм;

-0,4 = [ EI _A2 + (-0,13) + (-0,10)] – [(+0,06)];  

EI _A2 = -0,11 мм.

В результате для звена А₂ получили новые предельные отклонения и допуск звена: = , T _A2 = 0,05 мм.

Таким образом, расширение допуска компенсирующего звена и изменение его предельных отклонений позволило получить замыкающее звено в заданных пределах (рис.1.19, б).

6. Все расчеты внесем в табл. 1.10.

Таблица 1.10